集合之间的关系 子集、相等、真子集 空集、全集 癱幂集、n元集、有限集 癱集族 2005-7-5 《集合论与图论》第3讲
2005-7-5 《集合论与图论》第3讲 11 集合之间的关系 子集、相等、真子集 空集、全集 幂集、n元集、有限集 集族
子集( (subset) B包含于A,A包含B BGAX(XeB→X∈A 秦B不是A的子集: BA彐(X∈B∧∈A) 秦yX(X∈B→∈A)÷→X-(—X∈BX∈A) →X(X∈B∧X∈A)<→X(X∈B∧XA) 2005-7-5 《集合论与图论》第3讲
2005-7-5 《集合论与图论》第3讲 12 子集(subset) B包含于A, A包含B: B⊆A ⇔ ∀x(x∈B→x∈A) B不是A的子集: B⊄A ⇔ ∃x(x∈B∧x∉A) ¬∀x(x∈B→x∈A)⇔∃x¬(¬x∈B∨x∈A) ⇔∃x(x∈B∧¬x∈A)⇔∃x(x∈B∧x∉A)
相等(equa) 相等:A=B分→AcB∧BA VXX∈AXEB) 静A=B台→ ACBABCA(定义 台X(X∈AX∈B)八X(X∈B→X∈A)(∈定义) X(X∈A→XEB)∧(XB→X∈A)(量词分配) 台→X(X∈A∈B)(≥等值式) 2005-7-5 《集合论与图论》第3讲 13
2005-7-5 《集合论与图论》第3讲 13 相等(equal) 相等: A=B ⇔ A⊆B ∧ B⊆A ⇔ ∀x(x∈A↔x∈B) A=B ⇔ A⊆B∧B⊆A (=定义) ⇔∀x(x∈A→x∈B)∧∀x(x∈B→x∈A) (⊆定义) ⇔∀x((x∈A→x∈B)∧(x∈B→x∈A))(量词分配) ⇔∀x(x∈A↔x∈B) (↔等值式)
包含()的性质 ACA 证明:AcA→X(XA∈A)分1 若AcB且A≠B,则BdA 证明:A≠B分-(A=B) 台_( ACBABCA)(定义) 台→(AcB)-(GBA)(德·摩根律) AcB(知) BA(即BxA)(析取三段论)# 2005-7-5 《集合论与图论》第3讲
2005-7-5 《集合论与图论》第3讲 14 包含(⊆)的性质 A⊆A 证明: A⊆A⇔∀x(x∈A→x∈A) ⇔1 若A⊆B,且A≠B,则 B⊄A 证明: A≠B ⇔ ¬(A=B) ⇔ ¬(A⊆B∧B⊆A) (定义) ⇔¬(A⊆B) ∨ ¬(B⊆A) (德•摩根律) A⊆B (已知) ∴¬B⊆A (即B⊄A) (析取三段论) #
包含()的性质(续) 若AcB,且BcC,则AcC 证明:AB分X(X∈A∈B) VX,X∈A XEB ( ACB) →X∈C(BcC X(X∈A→X∈C),即AcC.# 2005-7-5 《集合论与图论》第3讲 15
2005-7-5 《集合论与图论》第3讲 15 包含(⊆)的性质(续) 若A⊆B,且B⊆C, 则A⊆C 证明: A⊆B ⇔ ∀x(x∈A→x∈B) ∀x, x∈A ⇒ x∈B (A⊆B) ⇒ x∈C (B⊆C) ∴ ∀x(x∈A→x∈C), 即A⊆C. #