s32函数极限 1自变量x无限趋近于有限数x0的情形 2左极限和右极限 3自变量x的绝对值无限增大时的情形 4函数极限的性质
§3.2 函数极限 1.自变量x无限趋近于有限数x0的情形 2.左极限和右极限 3.自变量x的绝对值无限增大时的情形 4.函数极限的性质
自变量x无限趋近于有限数x的情形 例1考察函数y=fx)=x+1(x∈R)当x趋近 于常数x=1时的变化趋势 x|0.90.980,990.99911.0011.011.0211 x)191.981991.9922.0012.012.022.1 可见,当x从点x-1的左右近旁越来 越接近于1时,函数f(x)的值越来越接近 于常数2
一、自变量x无限趋近于有限数x0的情形 例1 考察函数y=f(x)=x+1 (xR)当x趋近 于常数x0=1时的变化趋势 x f(x) 1 2 0.9 1.9 0.98 1.98 0.99 1.99 0.999 1.999 1.1 2.1 1.02 2.02 1.01 2.01 1.001 2.001 可见,当x从点x0=1的左右近旁越来 越接近于1时, 函数f(x)的值越来越接近 于常数2
例2考察函数y=8(叫女 x∈R 且x≠1)当x时的变化趋势 与fx)不同,g(x)在点x=1处无定义 由于x≠1,则g(x)=x+1 当x-1时,函数f(x)与g(x)均以2为 极限,与函数在点x处是否有定义无关
例2 考察函数 (xR 且x1)当x→1时的变化趋势 1 1 ( ) 2 − − = = x x y g x 与f(x)不同，g(x)在点x0=1处无定义 由于x1,则g(x)=x+1 当x→1时, 函数f(x)与g(x)均以2为 极限,与函数在点x0处是否有定义无关
定义1设函数y=x)在点x0的近旁有定义 (在点x处可以无定义,如果对于任意正数 E(不管它有多小,总存在相应的正数6使 得满足04x-xl<δ的一切x能使f(x)-4|<E 恒成立,则称函数fx)当x>x时以A为极限 ,或称函数fx)在点x有极限 记作limf(x)=A或fx)→)A(x-xo) x→>x0 E-68定义:∨E>0,38>0,使当0<x-xo<8时, 恒有f(x)-4<E
>0, >0,使当0<|x−x0 |< 时, 恒有|f(x)−A|< 定义1 设函数y=f(x)在点x0的近旁有定义 (在点x0处可以无定义),如果对于任意正数 (不管它有多小),总存在相应的正数, 使 得满足0<|x−x0 |< 的一切x能使 |f(x)−A|< 恒成立,则称函数f(x)当x→x0时以A为极限 , 或称函数f(x)在点x0有极限 记作 f x A x x = → lim ( ) 0 或 f(x)→A (x→x0 ) − 定义:
注意 1.函数极限与八x)在点x是否有定义无关 2.与任意给定的正数6有关 用cδ定义证明imf(x)=A的步骤: x→ 1.给定任意正数E 2.由x)-4求满足0x-xo<-正数 3.按照定义的模式写出结论
用- 定义证明 f x A x x = → lim ( ) 0 的步骤： 1. 给定任意正数 2. 由|f(x)−A|<求满足0<|x−x0 |<的正数 3. 按照定义的模式写出结论 注意: 1. 函数极限与f(x)在点x0是否有定义无关 2. 与任意给定的正数有关