(A)y=x4 (B)y=x3 (c)y=x (D)y=sinx. 答(1)(D):(2)(C):(3)(B):(4)(D):(5)(C):(6)(A). 2.填空题 (1)函数y=tanx-x在[0，)上的单调性是」 (2)fx)=e6在(0，+o)内的单调性是」 (3)f(x)=2x3-6x2-18x-7的单调增加区间是，单调减少区间是 答（①因为xe0孕时，广=s如c2x-l=amx>0,所以函数在0，马上单调锵： (2)因为x∈(0，+o)时，y'=- 2G<0,所以函数在(0，+o)内单调减少. (3)在函数定义域(-0，+0)内，令y=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0,得驻点 x=-1,x=3.而x∈(-0，-1)及(3，+o时，'(x)>0:x∈(-1,3)时，f'(x)<0时.因此函数的 单调增加区间是(-0，-1)及[3，+o),单调减少区间是[-1,3] 3.确定下列函数的单调区间 2x (1)y=x-ln(1+x): (2)y= (3)y=(x-1)x3 Inx 解(1)在函数定义域(-l,+0)内，令y'(x)=1-, =x=0,得驻点x=0.列表得 +x1+x (-1,0) (0,+∞) y'(x) <0 >0 故函数在(-1,01上单调减少，在[0，+∞)上单调增加. (2)在函数定义域(0，I)U(1,+0)内，令y'(x)= 2nx-)=0,得驻点x=e.列表得 In2x (0,1) (L,e) (e,+o) y'(x) <0 <0 >0 故函数在(0，I)及(L,e]上单调减少，在[e,+oo)上单调增加. (3)在函数定义域(，+四内，当x≠0时，令y)=5-=0,符驻点x= 而 2 3x 6
6 （A） 4 y x （B） 3 y x （C） 3 1 y x （D） y sin x． 答 （1）（D）；（2）（C）；（3）（B）；（4）（D）；（5）（C）；（6）(A)． 2．填空题 （1）函数 y x x tan 在 [0, ) 2 上的单调性是 ; (2) x f x e ( ) 在 (0,) 内的单调性是 ; (3) ( ) 2 6 18 7 3 2 f x x x x 的单调增加区间是 ，单调减少区间是 ． 答 （1）因为 0, ) 2 x （ 时， 2 2 y x x sec 1 tan 0 ，所以函数在 [0, ) 2 上单调增加； （2）因为 x （0, ) 时， 0 2 x e y x ，所以函数在 (0,) 内单调减少； (3) 在函数 定义域 ( , ) 内 ，令 2 y x x x x 6 12 18 6( 3)( 1) 0 ， 得驻点 x x 1, 3 ．而 x f x ( , 1) (3, ) ( ) 0 及 时， ； x f x ( 1,3) ( ) 0 时， 时．因此函数的 单调增加区间是 ( , 1) 及 [3, ) ，单调减少区间是 [1,3] ． 3．确定下列函数的单调区间 （1） y x ln(1 x) ； （2） x x y ln 2 ； （3） 3 2 y (x 1)x ． 解（1）在函数定义域 ( 1, ) 内 ，令 1 ( ) 1 0 1+ 1+ x y x x x ，得驻点 x 0 ．列表得 x ( 1,0) (0, ) y x ( ) 0 0 故函数在 ( 1,0] 上单调减少，在 [0,) 上单调增加． （2）在函数定义域 (0,1) (1, ) 内 ，令 2 2(ln 1) ( ) 0 ln x y x x ，得驻点 x e ．列表得 x (0,1) (1, ) e ( , ) e y x ( ) 0 0 0 故函数在 (0,1) 及 (1, ] e 上单调减少，在 [e,) 上单调增加． （3）在函数定义域 ( , ) 内 ，当 x 0 时，令 3 5 2 ( ) 0 3 x y x x ，得驻点 2 5 x ，而
x=0为函数不可导点，列表得 x (-0,0) @3 y'(x) >0 <0 >0 故面数在0，子上单调碱少，在(-0】及（后，+m)上单词增加， 1 4证明：X>0时，1+x>G。 作1时-.0网时2-是 令f(x)=0 得驻点x=1.又了0=}>0，f0=号为极小值，从而x>0时，)>0>0，即证得 1+x>. 5.求下列曲线的凹凸区间及拐点 (1)y=x3-3x2+x-1: (2)y= 1+x29 (3)y=ln(x2-1). 解(1)在函数定义域(-，+w)内，y'=3x2-6x+1,y=6(x-1)=0.令y=0得 x=1.当x∈o)时，y”<0:当x∈网时，y”">0.故曲线在(-0，]上是凸的，在[l,+∞) 上是凹的，拐点为(1，-2) （2)在函数定义域(-0+o)内，y=1- 4,”=-2+1.令少=0得 (+x2 x=0,±√5.列表 (-0,-V5) (-5,0) (0,V5) (5,+o) >0 <0 >0 <0 由表可知，曲线弧在(-0，-√3]及[0，V3]上是凸的，在[-V3,0]及(W3,+0)上是凹的：拐点为 (0,0)和 (3)在函数定义域(-0，-1)U(-1,+∞)内，y= 2x 2二少”=2x+》<0.因此曲线弧 (x2-102 在(-0，-1)及(1，+0)上是凸的，无拐点. 7
7 x 0 为函数不可导点，列表得 x ( ,0) 2 (0, ) 5 , ) 5 2 ( y x ( ) 0 0 0 故函数在 ] 5 2 [0, 上单调减少，在 (,0] 及 , ) 5 2 ( 上单调增加． 4．证明： x 0 时， x x 2 1 1 ． 解 作辅助函数 1 ( ) 1 2 f x x x ．则 x 0 时 1 1 1 ( ) (1 ) 2 2 x f x x x ．令 f x ( ) 0 得驻点 x 1 ．又 1 1 (1) 0, (1) 4 2 f f 为极小值，从而 x 0 时， f x f ( ) (1) 0 ，即证得 x x 2 1 1 ． 5．求下列曲线的凹凸区间及拐点 （1） 3 1 3 2 y x x x ； （2） 2 1 x x y ； （3） ln( 1) 2 y x ． 解 （1）在函数定义域 (,) 内， 2 y x x 3 6 1， y x 6( 1) 0 ．令 y 0 得 x 1 ．当 x ( ,1) 时，y 0 ；当 x (1, ) 时， y 0 ．故曲线在 (,1] 上是凸的，在 [1,) 上是凹的，拐点为 (1,2)． （２）在函数定义域 (,) 内， 2 2 2 2 2 2 4 1 2 ( 3)( 1) , (1 ) (1 ) x x x x y y x x ．令 y 0 得 x 0, 3 ．列表 x ( , 3) ( 3,0) (0, 3) ( 3, ) y 0 0 0 0 由表可知，曲线弧在 (, 3] 及 [0, 3] 上是凸的，在 [ 3,0] 及 ( 3,) 上是凹的；拐点为 (0,0) 和 4 3 3, ． （３）在函数定义域 ( , 1) ( 1, ) 内， 2 2 , 1 x y x 2 2 2 2( 1) 0 ( 1) x y x ．因此曲线弧 在 ( , 1) 及 (1,) 上是凸的，无拐点．