定理1（开映射定理）设X是Banach空间，Y是线性赋范空问，T：X一→Y是有界线性算子并且R(T)是Y中的第二纲集，则T必是开算子且是到上的：特别地，从Banach空间到Banach空间上的有界线性算子是开算子
定理 1 (开映射定理) 设 是Banach空间， 是线性赋范空间， 是有界线性算子并且 是 中的第二纲集，则 必 是开算子且是到上的. X T X Y : → Y Y R T( ) T 特别地，从Banach空间到Banach空间上的有界 线性算子是开算子
证明：1）我们知道，对于线性赋范空间的任意子集A, B,A+B A+B.现在设=(x [1),U=:[3<)于是由T的连续性，则 U, +U, EU,-U, =U1,-T(U)C-T(U) = T(U)从而T(U)-T(U)= T(U,)+T(U))C T(U)+T(U)C T(U)
证明：1) 我们知道，对于线性赋范空间的任意子集 A B A B A B , , . + + 现在设 1 1 : 1 , : , 2 U x x U x x = = 则 1 1 1 1 U U U U U + − = , , 于是由 T 的连续性， 1 1 1 − − = T U T U T U ( ) ( ) ( ). 从而 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). T U T U T U T U T U T U T U −=+ +