§83全微分及其应用 全微分的定义 二*全微分在近似计算中的应用 自
一、全微分的定义 二*、全微分在近似计算中的应用 §8.3 全微分及其应用 首页 上页 返回 下页 结束 铃
一、全微分的定义 ◆偏增量与偏微分 根据一元函数微分学中增量与微分的关系,有 fx+Ax,y)f(x,y)≈/f(x,y)△x, f(x, y+Ay)f(x, y)f(x, y)Ay, fx+△x,y)-fx,y)—函数x,y)对x的偏增量 f(x,+△y)f(x,y)-—函数(x,y)对y的偏增量 f(x,y)△x 函数f(x,y)对x的偏微分 fiG, yA 函数f(x,y)对y的偏微分 今全增量 △2f(x+△x,y△y)-f(x,y) 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 一、全微分的定义 ————函数f(x, y)对x的偏微分 ——函数f(x, y)对y的偏增量 ————函数f(x, y)对y的偏微分 ❖全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y). ❖偏增量与偏微分 f(x+x, y)−f(x, y)f x (x, y)x, f(x, y+y)−f(x, y)f y (x, y)y, ——函数f(x, y)对x的偏增量 下页 根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有 f(x+x, y)−f(x, y) f(x, y+y)−f(x, y) f x (x, y)x f y (x, y)y
今全微分的定义 如果函数z(x,y)在点(x,y)的全增量 △z=fx+△x,y△y)-f(x,y) 可表示为 △z=A△x+BAy+O()(P =√(△x2+(△y)2), 其中A、B不依赖于Ax、4而仅与x、y有关,则称函数z(x,y) 在点(x,y)可微分,而A△x+BAy称为函数z=(x,y)在点(x,y)的全 微分,记作dz,即 dz=A△x+B△y 如果函数在区域D内各点处都可微分,那么称这函数在D 内可微分 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖全微分的定义 其中A、B不依赖于x、y而仅与x、y有关, 则称函数z=f(x, y) 在点(x, y)可微分, 而Ax+By称为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全 微分, 记作dz,即 dz=Ax+By. 如果函数在区域D内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 下页 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) 可表示为 ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 z = Ax+By+o = x + y
◆可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 这是因为,如果z=f(x,y)在点(x,y)可微,则 2=f(x+△x,y△y)-f(x,y)=A△x+B△y+o(m 于是im△z=0, 0 从而 (x(x+Ax,y+△y)=m(xy)+△-]=f(xy) 因此函数=1(x,y)在点(x,1)处连0 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 这是因为, 如果z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则 z=f(x+x, y+y)−f(x, y) =Ax+By+o(), 因此函数z=f(x, y)在点(x, y)处连续. 下页 lim 0 0 = → z 于是 , lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + = → → 从而 lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) . ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + = → → lim ( , ) lim [ ( , ) ] ( , ) . ( , ) (0,0) 0 f x x y y f x y z f x y x y + + = + = → →
◆可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 今可微分的必要条件 如果函数z=(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点的偏导 数、必定存在,且函数=(x,y)在点(x,y)的全微分为 d=c2△x+c△y.> ☆应注意的问题 偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件> 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 ❖可微分的必要条件 >>> ❖应注意的问题 >>> 下页 ❖可微分与连续 偏导数存在不一定连续,但可微分必连续. 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 则函数在该点的偏导 数 x z 、 y z 必定存在, 且函数 z=f(x, y)在点(x, y)的全微分为 y y z x x z dz + = . 偏导数存在是可微分的必要条件,但不是充分条件