§84多元复合函数的求导法则 设=(,),而v=0(0,y=(0,如何求生? 设=f(u,),而v=0(x,y),v=Wx,y),如何求和? ax 自
§8.4 多元复合函数的求导法则 首页 上页 返回 下页 结束 铃 设 z=f(u v) 而 u=(t) v=(t) 如何求 dt dz ？ 设 z=f(u v) 而 u=(x y) v=(x y) 如何求 x z 和 y z ？
中间变量为一元函数的情形 定理1如果函数v=(1)及v=(都在点可导,函数z=f(l,y) 在对应点(,)具有连续偏导数,则复合函数z=(,v在点 可导,且有 dz az di au dt +m》) °定理1的推广 设=u,v,),=),v=(0),v=o(, dz az du az dy az du dt au dt oy dt aw dt 上述称为全导数 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 设z=f(u v w) u=(t) v=(t) w=w(t) 则 下页 >>> 定理1 如果函数u=(t)及v=(t)都在点t可导 函数z=f(u v) 在对应点(u v)具有连续偏导数 则复合函数z=f[(t) (t)]在点 t可导 且有 dt dv v z dt du u z dt dz + = •定理1的推广 dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz + + = ❖中间变量为一元函数的情形 上述 dt dz 称为全导数
设=(n,,=0(0,y=(0,则生=92.业+92,迎 ☆中间变量为多元函数的情形 定理2如果函数=0x,y),=(x,y)都在点x,y)具有对x及 y的偏导数,函数z=(4,)在对应点(,v)具有连续偏导数,则复 合函数z1o(x,y),vx,y)在点(x,y)的两个偏导数存在,且有 az az au az a az au az av ax au v OX Ou ay av oy °定理1的推广 设z=(l,v,),=(x,y),v=v(x,y),w=0(x,y),则 az az au az ay az aw az ay az o 十一 1+ ax au ax ay ax aw ax Ou ay Ov ay aw a 首页上页返回 页结束铃
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = dt dv v z dt du u z dt dz + 设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 = 定理2 如果函数u=(x y) v=(x y)都在点(x y)具有对x及 y的偏导数 函数z=f(u v)在对应点(u v)具有连续偏导数则复 合函数z=f[(x y) (x y)]在点(x y)的两个偏导数存在且有 ❖中间变量为多元函数的情形 •定理1的推广 设z=f(u v w) u=(x y) v=(x y) w=w(x y) 则 x w w z x v v z x u u z x z + + = y w w z y v v z y u u z y z + + = 下页
设=(n,,=0(0,y=(0,则生=92.业+92,迎 设z=(,y),l=(x,y),p=(x,y),则 azaz au az av az az Ou az Ov ax Ou ax ay ax ay ou ay av ay 例1设=c“sm,v=xy,=x+y,求和 ax a 解=0=.+02.o ax au ax ay ax Feusin v.+ecoS v 1=e-xylysin(x+y)+cos(x+y) az az au ay a 4+OzCv = eusin1…x+ ecos v 1=eylx sin(x+y)+cos(x+D)] 首页上页返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = 设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 例 1 设 z=e u sin v u=xy v=x+y 求 x z 和 y z 例1 解 x v v z x u u z x z + = 解 =e xy =e [y sin(x+y)+cos(x+y)] usin v +e 1 u y cos v y v v z y u u z y z + = =e usin v =e xy +e 1 [x sin(x+y)+cos(x+y)] u x cos v dt dv v z dt du u z dt dz + 设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 = 下页
设=(n,,=0(0,y=(0,则生=92.业+92,迎 设z=(,y),l=(x,y),p=(x,y),则 azaz au az av az az Ou az Ov ax Ou ax ay ax ay ou ay av ay 讨论: )设=f(4,v,l=g(x,y),v= (),则a=2a OX (2)设=(u,x,y,且v=0(x,y,则=?=? aX 提示: azaz au azaz au az dv ax au ox Ou ay av dy az af Ou, af az of Ou, of x Ou ax ax ay ou oy o 上页 返回 结束
首页 上页 返回 下页 结束 铃 x v v z x u u z x z + = y v v z y u u z y z + = 设z=f(u v) u=(x y) v=(x y) 则 dt dv v z dt du u z dt dz + 设z=f(u v) u=(t) v=(t) 则 = (1)设 z=f(u v) u=(x y) v=(y) 则 = x z ？ = y z ？ (2)设 z=f(u x y) 且 u=(x y) 则 = x z ？ = y z ？ 讨论 提示 (1) x u u z x z = dy dv v z y u u z y z + = (2) x f x u u f x z + = y f y u u f y z + = (1) x u u z x z = dy dv v z y u u z y z + = (2) x f x u u f x z + = y f y u u f y z + = 下页