电子科技大学：《数理方程与特殊函数》第三次复习课

答:(1)球域 1R1 G(M,Mo) 4x|-4zl1| Rr (2)上半空间 G(M,M0)1 4丌 MMo MMI 4丌 x-x)+(y-y)2+(=-=)(x-x)+(y=y)2+(=+:)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 16 答: (1)球域 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) 4 4 R G M M   r r r r r = − − − 2 0 1 0 0 R r r r r = (2)上半空间 0 1 0 1 1 1 ( , ) 4 MM MM G M M  r r   = −       ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 4 x x y y z z x x y y z z ( ) ( ) ( )    = −     − + − + − − + − + +  

(3)上半平面狄氏问题的 Green函数 G(M,Mo)=Ln Ln 2兀 MMO MMI (4)圆域上狄氏问题的Gren函数 (M,M)=11n2 R 2丌r 42 MoM (5)第一象限上狄氏问题的 Green函数 G(,MO) In In 2nrM2rn2xr,2丌rn (x+x)2+(y-y)2(x-x0)2+(y+y)2 4x(x-x0)2+(y-y)2‖(x+x)2+(y+y)

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 17 (3) 上半平面狄氏问题的Green函数 0 1 0 1 1 1 1 ( , ) 2 2 MM MM G M M Ln Ln   r r = − (4) 圆域上狄氏问题的Green函数 1 0 0 0 1 1 ( , ) ln ln 2 2 MM M M r R G M M   r r = − (5) 第一象限上狄氏问题的Green函数 0 1 2 3 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( , ) ln ln ln ln 2 2 2 2 MM MM MM MM G M M     r r r r = − − + 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ln 4 ( ) ( ) ( ) ( ) x x y y x x y y  x x y y x x y y     + + − − + +     =     − + − + + +    

例11、写出球域、半空间;圆域、半平面、第一象限内的 泊松方程狄氏问题解的积分表达式 解:(1)球域内泊松方程狄式间题解的积分表达式: 由于泊松方程狄氏问题的解为: l(M6)= OG(M, Mo) dS-‖lG(M,M0)f an 在球面上 aG aG an S

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 18 例11、写出球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的 泊松方程狄氏问题解的积分表达式 解：(1) 球域内泊松方程狄式问题解的积分表达式： 由于泊松方程狄氏问题的解为： 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) S V G M M u M dS G M M fdV n     = − −        在球面上 S S G G n r   =  

在球域上,由于: 1R1 G(M,M0)= 4x|-64x7 I R 4兀、r2-2 rro cos y+0 24兀o 2-2rr cosy +r I R 4兀 2rr cos y+r 24x R R 2r-coSy+

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 19 在球域上，由于： 0 0 0 1 1 1 1 1 ( , ) 4 4 R G M M   r r r r r = − − − 2 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 4 4 2 cos 2 cos R r   r rr r r rr r   = − − + − + 2 2 2 4 0 2 0 0 2 0 0 1 1 1 1 4 4 2 cos 2 cos R r rr r r R R r r r r     = − − + − +

所以 aG R2-70 an 4兀K(R 2 Rn cos r 所以,球域上狄氏问题的解为: R (M0) 时4zR (R2+62-2R6csy)2 +llG(M,Mo)fdv

0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 20 ( ) 2 2 0 3 2 2 2 0 0 1 4 2 cos S G R r n R R r Rr    − = −  + − 所以： 所以，球域上狄氏问题的解为： ( ) 2 2 0 0 3 2 2 2 0 0 0 1 ( ) 4 2 cos ( , ) S V R r u M dS R R r Rr G M M fdV        − =     + −   +  