答:(1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为: (a)若G(M,M)满足: △G(M,M0)=-6(M-M0) IG(M,Mo)ls=0 M,Mo∈Vs 则称G(MM为定义在ⅴs上的三维狄氏格林函数。 (b)若G(M,M满足: △G(M,M0)=-6(M-M0) IG(M,Mo)LL=0 M,M∈Ds 则称G(M,M为定义在Ds上的平面狄氏格林函数。 (2)物理意义是:
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 11 答: (1)泊松方程狄氏问题格林函数定义为： (a) 若G(M,M0 )满足： 0 0 0 0 ( , ) ( ) , ( , ) 0 S S G M M M M M M V G M M = − − = 则称G(M,M0 )为定义在VS上的三维狄氏格林函数。 (b) 若G(M,M0 )满足： 0 0 0 0 ( , ) ( ) , ( , ) 0 S L G M M M M M M D G M M = − − = 则称G(M,M0 )为定义在DS上的平面狄氏格林函数。 (2) 物理意义是:
(a)物理意义:首先,对于方程△GM4M)=8M)来 说,其物理意义是:空间中M点处有一电量为e(真空中 的介电常数)的正点电荷,在M处产生的电势为GM4M), 其大小为GM,M)=1/4πr; 其次,狄氏格林函数定解问题可以理解为:接地导 电壳内M处有正点电荷和它在边界面上产生的感应电 荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(MM,其大小为 G(M,M)=1/4πr+v(x,yz (b)物理意义:首先,对于方程△GM,M)=-6MM)来 说,其物理意义是:平面中M点处有一电量为e(真空中 的介电常数)的正点电荷,在M处产生的电势为GM4M) 其大小为GM,M)=1/2π1nr; 其次,狄氏格林函数定解问题可以理解为:接地导 电圈内M处有正点电荷:和它在边界上产生的感应电荷 在圈内M处产生的电势的叠加为G(MM,其大小为 GMM, Mo=1/4Inr +v(x,y)
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 12 (a) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0 )=-δ(M-M0)来 说，其物理意义是：空间中M0点处有一电量为ε(真空中 的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0), 其大小为G(M,M0)=1/4πr； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导 电壳内M0处有正点电荷ε和它在边界面上产生的感应电 荷在壳内M处产生的电势的叠加为G(M,M0 ),其大小为 G(M,M0 )= 1/4πr +v (x, y, z)。 （b) 物理意义：首先，对于方程ΔG(M,M0 )=-δ(M-M0)来 说，其物理意义是：平面中M0点处有一电量为ε(真空中 的介电常数）的正点电荷，在M处产生的电势为G(M,M0), 其大小为G(M,M0)=1/2πlnr； 其次，狄氏格林函数定解问题可以理解为：接地导 电圈内M0处有正点电荷ε和它在边界上产生的感应电荷 在圈内M处产生的电势的叠加为G(M,M0 ),其大小为 G(M,M0 )= 1/4πlnr +v(x,y)
例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么? 答:三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有 (1)狄氏格林函数在除去M=M点外处处满足拉氏方程。 当M→M时,G(M,M趙趋于无穷大,其阶数和1/rMm0相 同 (2)在边界上格林函数恒等于零。 ()在区域V内,有:0<GM,M、44xA (4)Gre函数具有对称性(物理上称为互易性),即 G(M1;M2)=G(M2:M1
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 13 例6、三维泊松方程狄氏格林函数的性质是什么？ 答：三维泊松方程狄氏格林函数的性质主要有： (1) 狄氏格林函数在除去M=M0点外处处满足拉氏方程。 当M→M0时，G(M,M0 )趋于无穷大，其阶数和1/rMM0相 同。 (2) 在边界上格林函数恒等于零。 (3) 在区域V内，有： 0 0 1 0 ( , ) 4 MM G M M r (4) Green函数具有对称性(物理上称为互易性)，即 ( ; ) ( ; ) G M1 M2 = G M2 M1
例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么? 答 例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么? 答 (Mo)= OGs-Gf(x,y)∠ on 例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数? 采用什么方法求?
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 14 例7、三维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？ 答： 0 0 0 ( , ) ( ) ( , ) S V G M M u M u dS G M M fdV n = − − 例8、二维泊松方程狄氏问题解的积分表达式是什么？ 0 ( ) ( , ) L D G u M dS Gf x y d n = − − 答： 例9、教材重点介绍了几种特殊区域上狄氏问题格林函数？ 采用什么方法求？
答:(1)球域、半空间;圆域、半平面、第一象限。 (2)采用镜像法 求三维空间中区域Vs上狄氏格林函数可考虑一接地导 体壳S,在Ⅴs内M处放置电量为a0的正点电荷,由格 林函数物理意义:G(M,M等于V内电荷0与感应电荷 在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求: 在Ⅴ外找一个M关于S的像点,在该点放置一负电荷, 使它与E0在S上产生的电势叠加为零,则它们在M处的 电势叠加等于G(M,M 平面上的求法类似。 例10、回忆球域、半空间;圆域、半平面、第一象限内的 格林函数表达式
0.8 1 0.6 0.4 0.2 0 x t 0 0.5 1 1.5 2 −1 −0.5 0 0.5 1 n 15 答: (1)球域、半空间；圆域、半平面、第一象限。 平面上的求法类似。 求三维空间中区域VS上狄氏格林函数,可考虑一接地导 体壳S，在VS内M0处放置电量为ε0的正点电荷，由格 林函数物理意义：G(M,M0 )等于V内电荷ε0与感应电荷 在M处产生的电势的叠加。这可以通过如下方法求： 在V外找一个M0关于S的像点，在该点放置一负电荷， 使它与ε0在S上产生的电势叠加为零，则它们在M处的 电势叠加等于G(M,M0 ). (2) 采用镜像法 例10、回忆球域、半空间；圆域、半平面、第一象限内的 格林函数表达式