22科学当万法 想超越经典的三维时，感官就舍弃我们。这难道意味着，超过感 官似乎希望把我们束绵丁其内的有限领域，我们只能依靠纯粹 解析，所有大于三维的几何学都是徒劳的和无目的的吗？前一 辈的大师们可能回答“是"；今天，我们如此熟悉这个概念，以致 我们甚至能在大学课程中谈及它了，而不会引起过多的惊讶。 但是，它有什么刑处呢？这很容易看到：首先，它给我们以 分方使的术语，这种术语简洁地表达了通常解析语言用冗长 的刑语才能讲清的东西。而且，这种语言使我们用同一名称称 谓相似的事物，使我们突出类似性，让我1永远不冉忘心它。因 此，这种语言还能使我们在对我们]来说太重要的而我们却无法 看见的空间中找到我们的道路，这种空间使我们总是回想起视 觉空问，视觉空间无疑只是它的不完善的图像，但不管怎样总是 一种图像。与前面所有的例子一样，这里又一次出现了与简单 事物的类似性，这使我们能够理解复杂事物。 这种大于三维的几何学不是简单的解析几何学：它不是纯 粹定量的，而是定性的，正是在这方面，它变得尤其有趣。有一 种学科叫拓朴学，它把研究图形的不同要素的位置关系作为它 的对象，而不管各要素的大小。这种几何学是纯粹定性的：即使 图形不是精密的，是核千粗略地辈拟的，其定理却依然为真。我 们也可以创造出大于三维的拓朴学。拓朴学的重要性是巨大 的，但也不能强调得太过分了：拓朴学的主要创始人之一黎曼 (Riemann)从中得到的好处足以证明这-一点。我们必须得到它 在多维空间中的完备结构：我们因而将有一种工具，能使我们实 际上能在多维空间内现察，以弥补我们的感官。 假如只讲解析语言，那么拓朴学问题也许还不会提出：或者 确切地讲，我弄错了，这些问题确实出现了，由于它们的解答对 于.…大堆解析问题是必不可少的，但是它们是一个接一个地单 独来到的，我们未能察觉到它们共同的结合物
鹏一弱弟二登23 康托尔主义 上面我已经说过，我们需要继续回到数学的第一原理，还说 过这对于研究人类心智有什么好处。这种需要唤起了两种努 力，它们在最近的数学编年史上占据了十分突出的位置。第一 种是康托尔主义，它对数学提供了显著的帮助。康托尔(Ca- ta)把一种新的考虑数学无穷的方法引入科学。康托尔主义的 特征之一在于，它不是通过建立越来越复杂的构造上升到一一般， 不是通过构造来定义的，正如学究们所说的，它从最高类出发， 只通过量近类和种差来定义。它有时在某些心智上引起的极端 厌恶便由此而来，例如埃尔米特(ermite)即是其中之-~，他特 别偏爱的观念就是把数学科学和自然科学加以对阻。就我」大 多数人而言，这些偏见已经烟消云散了，但是却出现了这样的情 况：我们意外地碰到了某些悖论，即某些表面上的矛盾，它会 使爱利亚人芝诺〔Zeoo the Eleatic)和迈加拉学派(the schol ol Megara)①感到高兴a因此，每一个人都必须寻求补数办法。就 我个人一不仅仅是我个人一而言，我认为，重要的事情水 远是引入能用有限的词完备定义的实体。不管采纳什么治疗力 案，我们都可以指望像请来的医生那样高兴，因为他是仿效绝妙 的病理学方面的案例来诊治的。 公设的操讨 另一方面，人们曾努力列举或多或少隐藏的公理和公设，把 它们作为各种不同的数学理伦的基础，希尔伯特(Hilbert)教授 获得了最辉煌的成果。乍看起来，这个领域似，乎是很有限的，当 ①这一学系为古希臂边州论哲幸宋欧克兼得断（中公元前450一前380）所创，国其 出生地连如拉（暴拉】而得名，它计斯多属采有影附。一中译者注
24科学与方法 花不了多长时间把目录编好后，就不会有什么事可做了。但是。 当我灯清点了所有的东西后，就将有多种分类这一切的方法：一 个健全的图书馆总可以找到某些要做的事情，每一种新分类法 都会对哲学家有所启发。 在这里，我要结束这一考察了，我不会梦想使考察完善。我 认为，这些例子将足以表明，数学科学通过什么机制在过去取得 了进步，它们将来必须在什么方向土进展
第一场第三華25 第三章 数学创造 数学刨造的发生是·一个应使心理学家强烈感兴趣的可题。 它是一种活动，在这种活动中，人类心智似平从外部世界取走的 东西最少，在这种活动中，人类心智起着作用，或者似平只是自 行起作用和凭靠白己起作用，以致在研究几何学恩维的步廉时， 我们可以期望达到人类心智的最本质的东西。 长期以来，人们已经懂得这一点，若千时间之前，由莱桑 (Laisant)和费尔(Fchr)编辑的《数学教学)杂志开始调查不同数 学家的思想习惯和工作方法。当那项调查的结果发表时，我巴 写完了我的这篇文章的主要轮廓，因此我不可能利用它们，我只 想说明，大多数证据确认了我的结论：我设有说全部证据，因为 当诉诸全体投票时，不可能希望会取得-致同意。 最初的事实应使我们感到惊奇，或者更确切地并，如果我们 还不这样习惯它，它就会使我们感到惊奇。有人不理解数学，这 是怎么发生的呢？既然数学只求助干诸如所有正常心智都能接 受的逻辑规则，既然数学的证据建立在对-一切人都是共同的原 理的基础上，既然设有一个不发疯的人会否认这一点，那么在这 里为何出现如此之多执拗的人呢？ 并非每一个人都能够发明，这决不是难以理解的。并非每 一.个人都能够记住一次学到的证明，这也可以略而不提。但是， 当把数学推理加以说明之后，并非每一个人都能够理解它，我们 想想这件事，似乎是十分奇怪的。可是，大多数人只能够相当吃
16科学与万活 力地仿效这一惟理：这是不可否认的，中学教员的经验确实不能 否定这-·点。 进而要问：在数学中为何也可能出错？健金的心智不应当 犯逻耕理误之罪，可是有一些十分敏锐的心智，他们在诸如发生 在日常的生活活动中的简短推理方面未犯错误，但是却不能毫 无错误地仿放或重复数学证明，这些证明虽则较长，但华章只是 完仑类似于他们容易作出的简短准理的堆积。我们还需要补充 说数学家本人也不是一贯正确的人吗？ 答業对我来说是显而易见的。设想一个长系列的三段论， 第一个的结论是下一个结论的前提：我]将能够理解这些三段 论的每-·个，在从前提向结论的过镀中，我们没有处于受骗的危 险之中。但是，我们在某一时刻遇到一个命题作为·一个三段论 的结论，在过去一些时间后，我们又偶然地重新遇到它却作为另 一个三段论的前提，在这两个时刻之间，这个链条的几个环节将 展现出来；这样一来，可能会发生下述情况：我们忘掉了这个命 题，或者还要精糕，我们忘掉了它的意义。因此，可能碰巧，我 可以用一一个稍微不同的命题代替它，或者在保特同一阐述时，我 们却赋予它以稍微不同的意义，我们面临的错误就是由此而来。 数学家常常使用法则。他当然以证明这个法叫开始：当这 个证明在他的记忆中还很鲜明之时，他完全理解它的意义和它 的关系，他投有陷人改变它的危险中。可是后来，他相信他的记 忆，并进面仅仅以机械的方式应用它：不过，如果他的记忆使他 失望，他就会统统把它用错。举一个简单的例子，这就像我们之 所以有时在运算中出差错，是因为我们忘记了我们的乘法表。 照此看来，数学的特殊才能也许仅仅是由于十分可靠的记 忆或惊人的注意力。它是一种类似于玩惠斯特伸的人的能力， 玩牌人记着所玩的伸：或者再进一步，它类似于棋手的能力，棋 手能够想像为数众多的组合，并把它们记在心里。每一个高明