第一场磨三章27 的数学家都应该是高明的棋手，反过来也是这样：同样地，他也 位该是一位高明的计算家。不用说，这有时会出现：例如，高斯 (Cuss)同时是天才的几何学家和十分早慧的、精确的什算家 但是也有例外：或者确切地讲，我弄错了：在例外不多于常 规的情况下，我不能把它们叫做例外。相反地，正是高斯，才是 一个例外。至于我自己，我必须承认，即使止我做法，我也绝 对不可能不出错。按同样的方式，我无非是一位整脚的棋手，我 察觉到，采用某种走法，我会陷于某种危险：我逐一审查了几种 其他走法，因另外的理由放弃了它们，而最后我走了第-一你考察 的步子，其间我忘记了我曾经有见到的危险。 换句话说，我的记性不是不好，但它不足以使我成为一位高 明的棋羊。在一段困推的数学推理中，最高明的棋手也会晕头 转向，可是我为什么不会失败呢？显然，这是因为一般的推理步 虢引导着我。数学证明不是三段论的简单并列，它是按某种秩 序安置三段论，这些要东安置的顺序比要素本身更为重要。如 果我具有这种秩序的感党，也可以说这种秩序的直觉，以便一眼 就觉察到作为…个整体的推理，那么我已无需再害怕我忘记这 些要素之一，因为它们之中的每一个都在排列中得到它的指定 位置，而且不要我本人费力记忆。 于是，在我看来，在重复已学到手的椎理时，好像我能够发 明它。这往住只是一种错觉：但是，即便如此、即便我本人没有 剑造它的天赋，就我重复它而言，我本人也是重新发明它。 我们知道，对数学秩序的这种感觉、这种直觉，使我们惟测 隐截的和谐与关系，但它并不是每一个人都具有的。有些人或 者没有这种如此难以定义的微妙的感觉，或者没有超常的记忆 力和注意力，因此他们将绝对不可能理解较高级的数学。这种 人是多数。另一些人仅略有这种感觉，但是他们具有非同寻常 的记忆力和高度的注意力这样的天赋。他们将-…个接一个地记
28科学与方法 住各种细节：他们能够理解数学，有时也能应用，但是他们不能 创造。最后，还有一柴人或多或少地具有所提到的特殊的直觉， 因此，即使他们的记忆力毫无非同寻常之处，他们却不仅能够理 解数学，而且可以成为创造者，并试图作出发明，其成功之大小 取决于这种直觉在他门身上发服的程度之大小。 数学创造实际上是什么呢？它并不在于用已知的数学实体 作出新的组合。任何一个人都会作这种组合，但这样作出的组 合在数目上是无限的，它们中的大多数完全没有兴趣。创造拾 恰在于不作无用的组合，而作有用的、为数极少的组合。发明就 是辨别、选择。 我以前已说明过如何进行这种选择：值得加以研究的数学事 实是这样一些事实，通过它]与其他事实的类比，能够导致我们 了解数学定律，正像实验事实导致我们了解物理学定律一样。它 们是向我们揭示其他事实之间意料之外的关系的事实，我们虽然 早就知道其他事实，但却错误地认为它们彼此之间是陌生人。 在所选择出来的组合中，最富有成果的组合常常是从相距 很远的领域取出的要素形成的组合。我的意思并不是说，把尽 可能相异的对象汇集到一~起就足以作出发明；这样形成的大多 数组合都毫无成效。但是，它们之中的某些极稀有的组合却是 最富有成果的。 我说过，发明就是选择；但是，这个词也许不完全精密。它 使人想起采购员，在他面前陈放奢大量的货样，他逐个审视他 们，以便作出选择。这里的货样多得不可胜数，他的整个一生也 不足以把它」审查完。事情的实际状况并不是这样。无成效的 组合甚至不出现在发明家的心智中。除了他抛弃的一些组合 一尽管它们也在某种程度上具有有用组合的特征一之外， 在他有意识作出的组合的范围内，仿佛实际上从来也设有无用 的东西。这一切就好像发明家是一位复试主考人那样进行着
弟一编弟三音29 他只询问已经通过初试的候选人。 不过，我迄今所说的都是在读几何学家的著作时可以观察 到或可以猜测到的东西，当然要动脑筋读。 现在，比较深刻地洞察一下，看看在数学家的心灵本身中发 生着什么。关于这一点，我相信，回忆一下我自已的心灵是最好 不过的了。但是，我将只限于讲述我是如何写出我的第一篇关 于富克斯(Fuchs)函数的论文的。我请求读者原惊：我正准备使 用…些专门的表述，但是读者不要害怕它们，因为没有人强迫他 理解它们。例如，我将说，我是在这样的情况下找到了这样一个 定理的证明的。这个定理将有一个不规范的名字，许多人都不 知道它，不过这并不重要：心理学家感兴趣的不是这个定理，而 是发明这个定理的情况。 我曾用了十五天时间力图证明，不可能存在任何类似于我 后来称之为富克斯函教的函数。我当时一无所知；我每天独自 一人坐在我的办公桌前，呆一~两个小时，尝试了大壁的组合，什 么结果也没有得到。一天夜晚，我违反了我的习惯，饮用了黑咖 啡，久久不能入睡。各种想法纷至沓来：我感到它们相互冲突， 直到成对地联结起来，也就是说，造成了稳定的组合。到第二天 早晨，我已确立了··类盘克斯函数的存在，它门来源于超几何级 数：我只是必须写出结果，仅花费了几个小时。 接着.我想用两个级数之商把这些函数表示出来：这种想法 完全是有意识的和深恩熟虑的，与椭圆函数的类比指导着我。 孢问我自己，如果这些级数存在，它们必须具有什么性质，我毫 无困难地获得了成功，形成了我所谓的西塔()富克斯函数。 恰恰在这时，我离开了我当时居住的卡昂，参加了矿业学校 主办的地质考杂旅行。沿途的联致使我忘却了我的数学丁作。 到达库唐塞后，我登上公共马车去某个地方。当我的脚踩上踏 板的“剂那，一种想法涌上我的心头，即我通常定义富克斯函数
0科学与万法 的变换等价于非欧几何学的变换，在我先前的思想中，似平没有 任何东西为它铺平道路。我没有证实这一想法：我坐在公共马 车座位上，此时不可能有时间证实，而是继续进行已经开始的谈 话，但是我感到它是完全确定的。返回卡昂，为了问心无愧起 见，我抽空证实了这-一结果。 然后，我把注意力转向一些算术问题的研究，表面看来没行 取得许多成果，也没有想到它灯与我以前的研究有什么关联。 我为我的失败而扫兴，于是前往海滨消磨几天时间，想一些其他 事情。一天兄展，当我正在悬岸旁散步时，一种想法浮现在我的 心头，即不定三元.二次型的算术变换等价于非欧几何学的变换， 它正好具有同样的简洁、突然和即时确定的特征。 回到卡昂以后，我深思了这个结果，惟导出一些结论。二次 型的例子向我表明，存在窘富克斯群，这些群不同于与超几何级 数对应的群；我看到，我可以把（富克斯级数理论应用子这些 群，从而存在着一些富克斯函数，它们不同于当时我知道的、从 超几何级数得到的函数。我自然而然地让我自己开始构造这一 切函数。我向它们发起了系统的攻击、一个接一个地攻克了所 有的外国工事。有一处外围工事无论怎样进攻还是岿然不动， 只有攻陷它才能占领整个阵地。但是，我的全都努力乍看起来 只是使国难更情楚地呈现在我的面前，事情实际上就是这样。 所有这些作完全是有意识的。 紧接着、我要去配莱里昂山服军役：这样，我便从事截然不 同的职业。一天，我正沿大街行走，曾经阻碍我的闲难的答案突 然呈现在我的面前。我无法立即下功夫深入探讨它，只是在服 役结束后，我才再次着手处理这个问题。我已有全部要素，只需 排列它们和整理它们。就这样，我-一举写出了我的最后的论文， 丝毫没有感到什么图难。 我只限于举这一个例子；多举也无用。关于我的其他研究
第一细知三章31 工作，我可以讲出类似的情况.其他数学家在《数学教学)杂志中 所给出的观察意见只会确认它们。 起初，最为引人注目的是顿悟的显现，这是先前长期无意识 上作的明显征兆。在数学发明巾，这种无意识工作的作用在我 看来似乎是不可否认的，在其他不大明显的情况下，也可以发现 它的痕迹。当人们研究-…个艰难的问题时，在第一坎进攻中往 往达不到良好的效果。于是，人们或长或短地休息一下，坐下来 重新工作。在起初半小时内，像以前一样，什么也找不到，然后 一个决定性的想法冷不防地浮现在脑海。可以说，有意识的工 作之所以比较富有成效，是因为它被打断了，休息使心智生气勃 勃、精力饱满。但是。很可能是这样：这种休息充满了无意识的 工作，这种工作的结果此后向几何学家揭示出与我所举的例子 恰好一样的东西：只是这种揭示不是在散步或旅行时发生，而是 在有意识的工作期间发生的，不过它与有意识的工作无关，而有 意识的工作至多起了兴奋剂的作用，优如它是一种刺傲物-一样， 它激发了在休息时已经达到的结果，但依然是无意识的，尽管它 来取了有意识的形式 关于这种无意识工作的条件，还可以评论如下：如果一方面 有意识的工作期间在它之前，另·方面有意识的工作期间又屠 随其后，那么它就是可能的，而且肯定才是富有成果的。这些突 如其来的灵感（已经引用的例子充分证明了这一点）除非在自愿 的努力若干天之后，否则就不会出现，尽管这些努力好像毫无成 果，从中也没有得出什么好东西，面且所采取的路线似乎是完全 误人歧途的。可是，这些努力并不像人门设想的那样一点成效 也没有：它们驱动着无意识的机器，没有它]，无意识的机器就 不会运转，也不会生产出任何东西。 在灵感之后，对下第二个时期的有意识的工作之篇要，还比 较容易理解，必须使灵感的结果成形，从它们之中惟导出直接