第一折第二草17 他们是怎样突然地发现它们不知何故这么接近，他]原以为它 们彼此相距甚远呢。 今天，我们可以说，他们处理的是同构群。我们现在知道， 在一个群中，内容几乎没有什么兴趣，唯有形式才有考虑的价 值：当我们了解一个群时，我们从而也就了解所有的同构群：由 于“群“和“同构“这些名词把这个微妙的法则浓缩在儿个符子 内，并使所有的心智迅速地通晓它，因此转变是即时的，能够以 充分的思维经济努力完战。此外，群的观念归属于变换的观念。 我们为什么要把这样的价值放在新变换的发明上呢？因为从一 个定理，能使我们得到十个或：十个定理：这与在紧靠整数的右 边加一个零具有同样的价值。 于是，这就是迄今决定数学进展方向的东西，将来肯定还将 同样地决定它。可是，所提出的问题的性质同样有助于这个目 标。我们不能忘记，我们的目的应当是什么。按照我的观点，这 个目的是双重的。我们的科学与哲学和物理学二者相毗邻，我 们为我们的两个邻居而工作：因此，我]总是看到，而.且还将继 续看到，数学家在两个相反的方向上前进。 另一方面，数学科学必须反思自身：由于反思自身就是反省 创造它的人类心智，因面它是有用的：因为它真正是人类心智从 外界所借取的东西最少的创造物之一，所以它就更加有用了。 这就是为什么某些数学准测是有用的，例如专门研究公设、非寻 常几何、特珠函数的推测。这些惟测距通常的概念以及距自然 界和应用恋远，它们就愈加充分地向我们表明，当人类心智越来 越多地摆脱外部世界的羁华时，它能够创造出什么东西，因此它 们就愈加充分地让我们在本质上了解人类心智。 但是，我们必须指挥我们的主力部队向其他方面前进，即向 自然界方而前进。在这里，我们通到了物理学家和工程师，他们 对我们说：“请给我积分这个微分方程吧；我可能在一周后希要
利学与万法 它，由于到那时我要完成一项建筑图。”我们回答说：“这个方程 不能」人可积类型之一：你也知道可以积分的方程并不多。”“是 的，我知道：但是到那时你有什么作用呢？”通常相互惊解也就够 了：工程师实际上不需要无限项的积分：他需要知道积分函数总 的慨貌，或者他只要求实际上能够从这个积分推演出来的某一 个数，惝若这个积分心知的话。通常它不是已知的，但是没有它 我[也能算出这个数，只要我们确切地知道工程师诺要什么 数以及要达到补么近似程度就可以了 从前，只有片一个方积的解能够借助于有限数目的已知函 数表示时，人们才认为解了方程：但是，这种可能性百中唯得其 -一。我们经带能移做的，或者拾当地讲，我]应该经常力图去做 的，可以说是定性地解决问题：也就是说，力图去了解表示未知 数的曲线的一般形状。 依然要寻找问题的定量的解：可是，加果未知数不能用有限 的运算决定，邯么它总是可以坩能使我们计算它的无限收敛级 数来表示。能够认为这是它的真实解吗？我们听说，牛顿曾给 莱布尼兹(Leibnitz)奇了一个字迷，其内容大致是aaaabbbeeeeii 等。莱布尼兹当然一点也不理解它：但是，我1掌倔这个字谜的 秘决，了解它的意思，把它详成现代词语就是：“我能够积分一切 微分方”：而我们却被诱使说，牛狮要不就是上分幸运，要不就 是有奇怪的错觉，牛顿只是想说，他能够形成（用未定系数法） 一个形式止满足所提出的方程的幂级数分 这样的解今天不公使我们满意，其理由有二：因为收敛太 慢，因为相互紧随的项不服从任何规律。相反地，白级数在我」 看来好像是完美无缺的，首先因为它收敛很快（这有利于希望尽 可能快地得到个数的实际人)，其次因为我」-悔即见项的规 律（这可以满足理论家的审美腊求）。 但是，这样-来，就不再有已解的阿题和术解的问题；有的
席一塌羌二章1y 只是或多或少已被解决的问题，或者它们可以通过程度不同的 迅速收敛的级数来解，或者它们由程度不同的和谐的定律来支 配。不过，往往发生这种情况：不完美的解把我们引向比较完美 的解。有时.级数收敛过慢，以致计算无法实际进行，我们仅仅 得以证明问题的可能性。 于是，这位工程师觉得这是一种嘲弄，这恰恰山丁它没有郁 助他在规定的日期完或他的建筑图。他不想了解，它是否将会 有益于十二世纪的工程师们。但是，至于我们，我们却不这么 认为，能为我们后代省却一天工作，有时也比为我们同代人节约 一个小时更为使我们感到幸福 可以说，有时通过在经验上摸索，我们达到一个充分收敛的 公式。工程师说：“你们还需要什么？“可是.不管怎样，我们仍不 满足：我们希望预见那个收敛。为什么？因为只要我们-次知 道怎样预见它，我们就会知道下一次如何预见它。我们成功了： 如果我们]不能再饮有效地预期这样做，那么成功在我们看来也 不过是小事-·桩而已。 随香科学的发展，对它作整体的理解也变得更如困难；于 是，我们企图把它分割成小块.而满足于这些小块之一：换句话 说，企图使它专门化。如果我们在这条道路上继续走下去，那就 会为科学的进步设置严重的障碍。正如我」所说，科学进步正 是出于它的各部分之间未曾料到的结台[起的。过分专门化便 会妨碍这些结合。希望像海德堡会议和罗马会议这样的会议， 通过使我们彼此之间接触，将向我们打开邻近领域的视野，促使 我们把邻近领域与我们自己的领域加以比较，以便探寻我们自 己的小群落之外的东西；因此，它们将是对刚才所提到的危险的 最好补救办法。 然而，我在概括上拖延的时间太长了；现在是逐一详述的时 候了
20科学与方法 让我们分别审查一下各门特珠学科，它们联合起来构成了 数学：让我们看看，每门学科完成了什么，它向哪里发殷，我们对 它可以有什么希望。如果原先的观点是正确的，那么我们就会 看到，过去的最大进展发生在这些学科中的两个结合之时，发生 在我」开始意识到它们形式的类似性而不管它们内容的差别之 时，发生在它们相互之间如此模仿以致一个获胜而另一个也会 受益之时。与此同时，我们可以在同类的结合中预见未来的进 步。 算术 与代数和分析相比，算术的进步慢得多，容易看到其中的原 因。连续性的感觉是一种宝贵的指导，但是算术家却缺少它：每 一个整数都与其他童数相分离一也就是说它具有自己的独立 存在性。它]中的每一个都是一种例外，这就是在数论中普遍 定理比较稀少的原因；这也是存在的定理隐裁得比较多，而且比 较长期地使研究人员为难的原因。 如果说算术落后于代数和分析，为此最有效的做法是，力對 使算术仿效这两门学科，以便从它们的进展中扶得好处。因此， 算术家应当把与代数的类似作为指导。这些类似是大量的，在 许多情况中，即使还没有充分仔细地研究它们是否可以利用，但 至少长期以来巴预见到它们，甚至这两门学科的语盲表明，人] 已清楚地认识它们。我们这样谈论超越数，我们这样阐明超越 数的未来分类，已经让超越函数的分类作为模型，我们迄今还没 有十分明确地看到如何从一种分类过疲到另一种分类：但是，假 1人们已认识到它，那么它已经被完成了，它己不再是将来的工 作了。 我想起的第一个例子是同余理论，在其中可以找到与代数 方程理论完全的平行性。的确，我们将会成功地完成这种平行
第一细第二章21 性，例如这种平行性必须在代数曲线理论和两个变量的同余理 论之间成立。而且，当要解决与几个变量的同余有关的问题时， 这将是通向解决许多不定分析问题的第一步。 代数 代数方程理论还将长期地引起几何学家的注意，人们可以 着手研究的方面是很多的、很不同的。 我们无需认为代数走到了尽头，因为它给我们以形成所有 可能组合的规则：依然要寻找满足某种条件的有趣的组合。这 样来将形成一种不定分析，其中的未知数将不再是艷数，而是 多项式。这时，代数本身将仿效算术，以致整数与具有任意系数 的整多项式成具有整系数的整多项式可以类比。 几何学 看起来，好像几何学包含的无非是在代数或分析中已经包 括的东西：几问学事实只不过是用另一种语言表达的代数事实 或分析事实。因此，可以认为，在我们考察之后，没有多少特别 与几何学有关的东西供我们谈论了。这也许是没有明确认识到 精心构造的语言的重要性，不理解侍助于表示这些事物的方法 以及分类它们的方法把什么振加到事物本身之中。 首先，几何学的考虑导致我们向我们自己提出新问题：如果 你乐意的话，这些问题可以是解析问题，但是在解析方面，我们 向我们自己水远也提不出这样的问题。不过，解析因这些问题 受益，正如它因为了满足物理学的希要而必须解快的问题受益 一样。 几何学的巨大优点在于下述事实：在其中感官能够帮助思 维，有助于发现前进的道路，许多心智都偏爱把解析问题化为几 何学形式。不幸的是，我们的感官不能把我们带得很远，当我们