12科学与方法 外行人的眼硝和科学家的眼睛。但是，唯有名副其实的物理学 家才知道如问观案，把其类似是深刻的但却是隐蔽的许多事实 结合起来的结合物是什么。牛颅(Newto)的苹果故事恐怕不 是真实的，矿地象征性的；不过，让我们把它当做真实的谈-一炎 吧。好啦，我」必须认为，在牛顿之前，好多人都看见过苹果落 地：投有一个人知道从中如何得出任何结论。假如没有能够在 事实中选择，分辨在哪些事实背后隐藏某种东西以及识别什么 正在隐藏着的精神，假如没有在未加工的事实下紫觉事实精随 的梢神，享实也许是毫无成果的。 我们在数学中正好发现同样的东西。从我们正在处理的各 种各样的要素中，我能够得到无数个不同的组合：但是，这些 组合中的一个倘若是孤立的，侧其毫无价值可言。我们常常含 辛茹苦地构造它，但是它却没有效用，也许至多不过是为初等教 育提供综习面已、当这个组合在一组类似的组合中找到了位置 时，当我们生意到这神类似时，它就完全是另外…个样子了。我 们就不斥是面对一个事实，而是面对一个定律。在那夫，真正 的发现者将不是耐心地建造某些组合的工匠：真正的发现者将 是揭示它们的亲缘关系的人。前者看到的只是未加工的事实。 只有后者才能察觉到事实的精髓。住往为了确定这种亲缘关 系，足以使他构思出新名词，这个名同是有创造力的。科学史向 我们提供了大鼠的大家熟知的例子。 著名的维也纳哲学家马赫曾经说过，科学的作用在于产尘 思维经济，汇像机器*生劳力经济一一样。这是十分正确的。原 始人用他的平指或借助卵石来算。在给儿宜教乘法表时，我 们使他们以气竹省了用无数堆卵石进行什算的辛劳。某人已经 发现，用卵石或其他东西计算，6乘7等于42，他特意把这个结 果记录下来，因此我们]不需要重复它了。他没有白费他的时间， 即使他是为消造而计算的：他的运算只花了两分钟；如果十亿个
第一第二章13 人在他之后重复作这个运算，那总共就要花费二十亿分钟时间。 子是，事实的重要性刑它产生的效益来衡量，也就是说，用 它容许我们节省的思维数量来衡量。 在物理学中，具有最大效益的事实是进入十分普遍的定律 中的事实，由于这些事实能够使我们根据定律预见大量的其他 事实，在数学中情况正是如此。设想我从事··项复杂的运算，费 力地达到了-·个结果：如果我由此还不能而见其他类似运算的 结果，还不能可靠地指导运算以避免人们在首次尝试必须用 从的摸索，那么我就没有补偿我的辛劳。另一方面，如果这些摸 东本身最终向我揭示出刚刚处理的问题深刻类似于更为广泛一 类的其他问题，如果它」一举向我表明这些问题的相似和差异， 一句话，如果它]使我察觉到概括的可能性，那么我设有白费 我的时间。因此，这不是我辽经赢得的一个新结果，而是一一种新 的能力， 首先想到的简单例千是代数公式的例子，当我们最后刑数 字代替字母时，这些公式便把一种类型的数值问题的答案给予 我们。多亏它，·次代数运算就使我们省去不断重新开始新的 数值计算的辛苦。但是.这只是一个粗缝的例子；我们大家都知 道，还有不能用公式表示的、更为珍贵的类似性。 概然在把早就己知的而迄今依然分离的、似乎相互陌生的 要素统-起米时，新结果突然在表面上由无序统治的地方引入 秩序，那么它就是有价值的。于是，它容许我们一一跟看到这些要 素中的每一个以及它在集合中的位置。这个新事实不仪仅因其 自身而珍费，而且唯有它才能使它所结合的一切旧事实具有价 值。我]的心智像我们的感官一样，也是软弱的：如果世界的复 杂性不是和谐的，它就会在这种复杂性中迷失；它像一个眼请近 视的人一样，以能看到细微末节，在审查下一个技节前，它又会 放迫忘掉先前的每一个细节，由子它不能囊括毫体。唯-一值得
14 科学与方法 我们注意的事实是那些把秩序引入到这种复杂性中去的事实， 从而是使它可以理解的事实。 数学家把重大的意义与他们的方法和他们的结果的雅致联 系起来。这不是纯粹的浅薄涉猎。在解中、在证明中给我们以 雅致感的实际上.是什么呢？它是各部分的和谐，是它们的对称、 它们的巧妙半衡；·句话，它是所有引入秩序的东四，是所有给 出统一、容诈我们清楚地观察和·举理解整体和细节的东西。 可是，这正好就是产生重大结果的东西：事实上，我们越是清楚 地、越是一目了然地观察这个集合，我们就越是彻底地察竟到它 与其他邻近对象的类似性，从而我们就有更多的机会推测可能 的概括。在意外地遇见我]通常没有汇集到一起的对象时，雅 致可以产生未曾料到的感觉；在这里，它再次是富有成果的，因 为它这样便向我们揭示出以前设有辨认出的亲缘关系。甚至当 它仅仅起因于方法的简单性和提出的问题的复杂性之阿的强烈 对照时，它也是富有成效的；于是，它促使我们想起这种悬殊差 别的理由，而且每每促使我们看到，偶然性并不是理由：它必定 能在某个意想不到的定律中找到。简言之，数学雅致感仅仅是 由于解适应子我们心智的需要而引起的满足，这个解之所以能 够成为我们的工具，正是因为这种适应。因此，这种审美的满足 与思维经济密切相关。我又一次想到厄瑞克式翁庙的雅致的女 像柱的比喻，但是我没有必要过于经常地利用它。 正是由于同样的理由，当相当冗长的运算导致出某-一简单 的引人让目的结果时，只要我们还未证明，我们即使不能预见完 整的结果，至少应该能够预见它的大多数特性，那我们就不会心 满意足。为什么昵？这个运算似平把我们想要知道的一切都告 诉给我们，究竞是什么东西妨碍我们]以此为满足呢？这是因为， 在类似的情况中，冗长的运算不可能再起作用了，而关子能使我 们预见的推理一它常常有一半是直党的一却不是这样。由
觞一垢塘二章15 于这种惟理简短，我朴]一管即见它的所有部分，以致我们即时地 觉察到，为了使它适应于能够出现的问一本性的问题，我们必须 改变什么。于是，它能够使我们预见这些问题的解是否将是简 单的，它至少能够向我们表明是否值得从事这运算。 我们刚才所说的一切足以表明，企图用任何机械程序代替 数学家的自由的首创精神，将是多么愚誉啊。为了得到具有真 正价值的结果，刻苦地进行运算，或者拥有整理事物的机械，都 是不够的：值得花时间追求的不只是跃序，而是来曾料到的跌 序。机械可以啮噬米加工的事实，而事实的精懂将总是逃脱它。 自十九世纪中期以来，数学家越来越想望得到绝对的严格 性：他们是对的，这种倾向将越来越受到强调。在数学中，严格 性不是一切，但是没有它便没有一切。不是严格的证明微不足 道。我想没有人辩驳这个真理。但是，如果过分照字面来理解 严格性，我们可能会被锈使得出结论，例如在1820年之前还不 存在数学：这显然是过分了；当时的几问学家自慰地理解了我们 现在用冗长的论述说明的东西。这并不意味着他们根本设有语 到严格性：而是他们太迅速地越过了它，要明确地额会它，就必 须耐心把它讲一讲。 但是，总是需要这么多的次数来讲它：在所有其他人之前第 一个强调精密性的人，把我们可以力图仿效的论据给予我]；可 是，如果将来的正明都建立在这个模型的基础上，那么数学论文 就会十分沉长；我担心长起来，不仅因为我不赞成书刊塞满图书 馆，而且因为我担心这样心长下去，我]的证明就可能失去和特 的外观，我刚才已说明了和谐的有用性。 思堆经济是我们应该对准的目标，因此提供仿效的模型还 是不够的。需要使我们之后的人能够省却这些模型，不去重复 已经作出的论据，而用几句话概括它。而且，这一点有时已经达 到了。例如，有-一种到处都可找到的、而且处处相似的推理模
16科学与万法 式。它们是完全精密的，但却颂为冗长。于是，“收敛的一致性” 这个用语突然被想到，这个用语使这些论据变得不需要了：我们 不再必须重复它们了，由于它们可以被理解。这样一来，那些克 服困难的人就给我们双重的帮助：他们首先告诉我门在紧急时 像他们那样去做，但是尤其是，他们能络使我们在不牺性精峦性 的条件下，尽可能经常地避免像他们那样去做。 我们刚才通过一个例子已经看到名饲在数学中的重要性， 不过还可以引用许多其他例子。人们很难相信，正如马赫所说， ~一个精选的名词就能使思维有多么经济。也许我在某处已经说 过，数学是把同一名称给予不同事物的艺术。可以说，把这些在 内容上不同而在形式上有可能相似的事物纳入同一模式中是恰 当的。当选好语言时，我们不胜惊讶地发现，对某一对象所作的 论证可直接用于许多新对象：这里什么也没有改变，甚至连名词 也没有改，由于名称已变成相同的了。 一个精选的名词通常足以消除用旧方式陈述的法则所遵受 的例外：这就是为什么我门创造了负数、虔数、无穷远点等等。 我们一定不要忘记，例外是有害的，因为它掩盖普定律。 好了，这是我们用以辨认产生巨大结果的事实的特征之一， 多产的事实是容许这些巧妙的语言革新的事实。再者，未工 的喜实往往没有多大兴趣：我们可以多次指出它，但对科学并没 有提供多大帮助。只有当比较有见地的思想家觉察到它所代表 的关系，并用名词把它符号化时.它才会获得价值。 此外，物理学家的做法正好相同。他们发明了“能“这个词， 这个词格外官有成放，因为它通过消除例外而创造了定律，由于 它把同一名称给予内容不同而形式相似的事物。 在具有最幸运的影响的名词中，我可以挑选出“群”和“不变 量”。它们使我们看到许多数学椎理的实质：它们向我们表明， 在多少情况下，以往的数学家是在不明其义的情况下考虑群的