中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第23届全国中学生物理竞赛复赛题 本卷共七题，满分160分 得分 一、(23分)有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管，管内为真空，管内有一 小球自某处自由下落（初速度为零），落到玻璃管底部时与底部发生弹性 阅卷 碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳动.现用支架固定一照相 机，用以拍摄小球在空间的位置.每隔一相等的确定的时间间隔T拍摄一 复核 张照片，照相机的曝光时间极短，可忽略不计，从所拍到的照片发现，每 张照片上小球都处于同一位置求小球开始下落处离玻璃管底部距离（用 H表示)的可能值以及与各H值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值， 二、(25分)如图所示，一根质量可以忽略的 得分 细杆，长为21，两端和中心处分别固连着 B D 阅卷 质量为m的小球B、D和C,开始时静止在 光滑的水平桌面上.桌面上另有一质量为 复核 M的小球A,以一给定速度o沿垂直于杆 DB的方向与右端小球B作弹性碰撞.求刚碰后小球A、B、C、D的速度，并 详细时论以后可能发生的运动情况。 三、(23分)有一带活塞的气缸，如图1 分 所示.缸内盛有一定质量的气本.缸 卷 内还有一可随轴转动的叶片，转轴伸 到气缸外，外界可使轴和叶片一起转 动，叶片和轴以及气缸壁和活塞都是 绝热的，它们的热容量都不计轴穿 气缸处不漏气， 如果叶片和轴不转动，而令活塞缓慢移动，则在这种过程中，由实验测得，气体的压强？和体积 从以下的过程方程式 p"= 其中。、k均为常量，a>1(其值已知).可以由上式导出，在 此过程中外界对气体做的功为 -g 式中2和分别表小末态和初态的体积 如果保待活塞固定不动，而使叶片以角速度仙做匀角速 转动，已知在这种过程中，气体的，压猫的改变量△印和经过的 时间△：遵从以下的关系式 = 式中为气体的体积，L表示气体对叶片阻力的力知的大小。 图2 上面并没有说气体是理想气体，现要求你不用理想气体的状态方程和理想气体的内能只与温 度有关的知识，求出图2中气体原来所处的状态A与另一已知状态B之间的内能之差（结果要用状 态A,B的压强PA,Ps和体积V、Vn及常量a表示)， 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 四、(25分)图1所示的包路具有把 得分 R 输人的交变旦压变成直流电压并加 阅卷 以升玉、输出的功能，称为整流倍压 本D 电路。图中D1和D是理想的、点 复核 接触型二极管（不考虑二极管的电 C:物出 容)，C,和C是理想电容器，它们 输入 的电容都为C,初始时都不带电，G点接地.现在A、G 本D 间接上一交变电源，其电压4随时间：变化的图线如 图2所示.试分别在图3和图4中准确地画出D点的 G 电压D和B点的电压ug在t=0到1=2T时间间隔 内随时间1变化的图线，T为交变电压，的周期 图1 图2 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 图4 五、(25分)磁悬浮列车是一种高速运载工具.它具有两个重要系统.一是 得分 悬浮系统，利用磁力（可由超导电磁铁提供）使车体在导轨上悬浮起来与 阅卷 轨道脱离接触.另一是驱动系统，在沿轨道上安装的三相绕组（线圈）中， 通上三相交流电，产生随时间、空间作周期性变化的磁场，磁场与固连在 复核 车体下端的感应金属板相互作用，使车体获得牵引力、 为了有助于了解磁悬浮列车的牵引力的来由，我们求解下面的问题。 设有一与轨道平面垂直的磁场，磁感应强度B随时间：和空间位置x变化规律为 B(x.t)=Bocos(at -kx) 式中B,m,k均为已知常量，坐标轴x与轨道平行.在任一时刻t,轨道平面上磁场沿x方向 的分布是不均匀的，如图所示，图中Oy平面代表轨道平面，“×”表示磁场的方向垂直O) 平面指向纸里，“.”表示磁场的方向垂直Oy平面指向纸外.规定指向纸外时B取正值.“× 和“，”的疏密程度表示沿着x轴B的大小分布.一与轨道平面平行的具有一定质量的金属矩 形框MNPQ处在该磁场中，已知与轨道垂直的金属框边MN的长度为L,与轨道平行的金属 框边MQ的长度为d,金属框的电阻为R,不计金属框的电感.1.试求在时刻1，当金属框 的M小边位于x处时磁场作用于金属框的安培力，设此时刻金属框沿x轴正方向移动的速度 为.2试讨论安培力的大小与金属框几何尺寸的关系。 ××××××× 米XX X XXX XX XX X XX×XX× XX XXX XX XX X××X×X× ×X×X××× 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 六、(23分)有一种称为直视 分光镜的光谱学仪器，所有光学 元件均放在一直长圆筒内，筒内 有：三个焦距分别为f2和方 的透镜L,L2和L,=f方> 观察屏P,它是一块带有刻度的 图1 玻璃片：由三块形状相同的等腰棱镜构成的分光元件（如图1所示），棱镜分别用折射率不同的玻璃 制成，两侧棱镜的质料相同，中间棱镜则与它们不同，棱镜底面与圆筒轴平行.圆筒的一端有一与圆 筒轴垂直的狭缝，它与圆简轴的交点为S,缝平行于棱镜的底面.当有狭缝的一端对准简外的光源 时，位于圆筒另一端的人眼可观察到屏上的光谱。 已知：当光源是钠光源时，它的黄色谱线（波长为589.3m,称为D线）位于圆筒轴与观察屏相 交处.制作棱镜所用的玻璃，一种为冕牌玻璃，它对钠D线的折射率D=1.5170:另一种为火石玻 璃，它对钠D线的折射率n6=1.7200. 1.试在图2中绘出圆筒内诸光学元件相对位置的示意图并说出各元件的作用. 2.试论证三块棱镜各应由何种玻璃制成并求出三棱镜的顶角α的数值 圆简轴 图2 得分 七、(16分)串列静电 加速器是加速质子、重离 阅卷 子进行核物理基础研究以 及核技术应用研究的设 复核 备，右图是其构造示意图。 S是产生负离子的装置，称 为离子源：中间部分N为充有氮气的管道，通 过高压装置H使其对地有5.00×10V的高压.现将氢气通入离子源S,S的作用是使氢分子变 为氢原子，并使氢原子粘附上一个电子，成为带有一个电子电量的氢负离子氢负离子（其初速 度为0)在静电场的作用下，形成高速运动的氢负离子束流，氢负离子束射入管道N后将与氮 气分子发生相互作用，这种作用可使大部分的氢负离子失去粘附在它们上面的多余的电子而 成为氢原子，又可能进一步剥离掉氢原子的电子使它成为质子.已知氮气与带电粒子的相互作 用不会改变粒子的速度.质子在电场的作用下由N飞向串列静电加速器的终端靶子T试在考 虑相对论效应的情况下，求质子到达T时的速度。. 电子电荷量g=1.60×10-19C,质子的静止质量m0=1.673×10-2”kg 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
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中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 第23届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及各题得分 一、参考解答： 解法一 小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间1变化的关系如图所示.设 照片拍摄到的小球位置用A表示，A离玻璃管底部的距离为4，小球开始下落处到玻璃管 底部的距离为H.小球可以在下落的过程中经过A点，也可在上升的过程中经过A点.现以 表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需 h 的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的 时间)，表示小球从最高点下落至A点所需的时间（也 就是从A点上升至最高点所需的时间)，t2表示小球从A 点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反 跳后上升至A点所需的时间).显然，T1+t2=T.根据题 意，在时间间隔T的起始时刻和终了时刻小球都在A点.用表示时间间隔T内（包括起 始时刻和终了时刻)小球位于A点的次数(2).下面分两种情况进行讨论： 1,A点不正好在最高点或最低点. 当n为奇数时有 T=(n-1)x1+(n-1)x2=(n-1)z n=3,5,7,… (1 在(1)式中，根据题意x可取0<x<x中的任意值，而 T,=t-7 (2 当n为偶数时有 T=nr2+(n-2)x1=m1+(n-2)z2 n=2,4,6,… (3 由(3)式得 T1=T2 (4 由(1)、(3)、(4)式知，不论n是奇数还是偶数，都有 T=(n-1)x n=2,3,4,… (5 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理
第 23 届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答及各题得分 一、参考解答： 解法一 小球沿竖直线上下运动时，其离开玻璃管底部的距离h随时间 t 变化的关系如图所示．设 照片拍摄到的小球位置用 A 表示，A 离玻璃管底部的距离为 hA，小球开始下落处到玻璃管 底部的距离为 H.小球可以在下落的过程中经过 A 点，也可在上升的过程中经过 A 点.现以 表示小球从最高点（即开始下落处）落到玻璃管底部所需 的时间（也就是从玻璃管底部反跳后上升到最高点所需的 时间）， 1 表示小球从最高点下落至 A 点所需的时间（也 就是从 A 点上升至最高点所需的时间）， 2 表示小球从 A 点下落至玻璃管底部所需的时间（也就是从玻璃管底部反 跳后上升至 A 点所需的时间）.显然， 1 2 .根据题 意，在时间间隔的起始时刻和终了时刻小球都在 A 点．用 n 表示时间间隔 内（包括起 始时刻和终了时刻）小球位于 A 点的次数（n≥2）.下面分两种情况进行讨论： 1．A 点不正好在最高点或最低点． 当 n 为奇数时有 1 2 T n n n 1 1 1 n 3,5,7, （1） 在（1）式中，根据题意 1 可取 1 0 中的任意值，而 2 1 （2） 当 n 为偶数时有 2 1 1 2 T n n n n 2 2 n 2,4,6, （3） 由（3）式得 1 2 （4） 由（1）、（3）、（4）式知，不论 n 是奇数还是偶数，都有 T n 1 n 2,3,4, （5） t H O hA T h 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理 中国科学技术大学物理学院叶邦角整理