第24届全国中学生物理竞赛决赛试题 2007年11月宁波 ★理论部分 一、 A,B,C三个刚性小球静止在光滑的水平面 上.它们的质量皆为m,用不可伸长的长度皆为1 的柔软轻线相连，AB的延长线与BC的夹角a=π/ 3,如图所示.在此平面内取正交坐标系Oxy, B 原点O与B球所在处重合，x轴正方向和y轴正方 向如图.另一质量也是m的刚性小球D位于y轴 上，沿y轴负方向以速度o(如图)与B球发生弹性正碰，碰撞时间极短.设刚碰完后， 连接A,B,C的连线都立即断了.求碰后经多少时间，D球距A,B,C三球组成的系 统的质心最近. 二、 为了近距离深测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的 携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点 到太阳的距离为0.01AU(AU为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU= 1.495×101m),并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运 动).试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度0（发射速度是指在关闭火箭发动 机，停止对飞船加速时飞船的速度)发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地 球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入 符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径R。=6.37×10的m,地面处的重力加速度g= 9.80m/s2,不考虑空气的阻力. 三、 如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为H、内壁横截面积为S的绝热气缸内，有一 质量为m的绝热活塞A把缸内分成上、下两部分.活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动.缸 内顶部与A之间串联着两个劲度系数分别为k1和2(k1≠2)的轻质弹簧.A的上方为真空：
1 第 24 届全国中学生物理竞赛决赛试题 2007 年 11 月 宁波 ★ 理论部分 一、 A ，B ，C 三个刚性小球静止在光滑的水平面 上．它们的质量皆为 m ，用不可伸长的长度皆为 l 的柔软轻线相连，AB 的延长线与 BC 的夹角 α = π / 3 ，如图所示．在此平面内取正交坐标系 Oxy ， 原点 O 与 B 球所在处重合，x 轴正方向和 y 轴正方 向如图．另一质量也是 m 的刚性小球 D 位于 y 轴 上，沿 y 轴负方向以速度 v0（如图）与 B 球发生弹性正碰，碰撞时间极短．设刚碰完后， 连接 A ，B ，C 的连线都立即断了．求碰后经多少时间，D 球距 A ，B ，C 三球组成的系 统的质心最近． 二、 为了近距离探测太阳并让探测器能回到地球附近，可发射一艘以椭圆轨道绕太阳运行的 携带探测器的宇宙飞船，要求其轨道与地球绕太阳的运动轨道在同一平面内，轨道的近日点 到太阳的距离为 0.01AU（AU 为距离的天文单位，表示太阳和地球之间的平均距离：1AU = 1.495 ×1011 m），并与地球具有相同的绕日运行周期（为简单计，设地球以圆轨道绕太阳运 动）．试问从地球表面应以多大的相对于地球的发射速度 u0（发射速度是指在关闭火箭发动 机，停止对飞船加速时飞船的速度）发射此飞船，才能使飞船在克服地球引力作用后仍在地 球绕太阳运行轨道附近（也就是说克服了地球引力作用的飞船仍可看做在地球轨道上）进入 符合要求的椭圆轨道绕日运行？已知地球半径 Re = 6.37 ×106 m ，地面处的重力加速度 g = 9.80 m / s2 ，不考虑空气的阻力． 三、 如图所示，在一个竖直放置的封闭的高为 H 、内壁横截面积为 S 的绝热气缸内，有一 质量为 m的绝热活塞 A把缸内分成上、下两部分．活塞可在缸内贴缸壁无摩擦地上下滑动．缸 内顶部与 A 之间串联着两个劲度系数分别为 k1和 k2（k1≠k2）的轻质弹簧．A 的上方为真空； y D C v0 l α O x A l B
A的下方盛有一定质量的理想气体.己知系统处于平衡 状态，A所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离） 与两弹簧总共的压缩量相等皆为h1=H14.现给电炉丝 R通电流对气体加热，使A从高度1开始上升，停止加 热后系统达到平衡时活塞的高度为m=3H/4.求此过 程中气体吸收的热量△Q,已知当体积不变时，每摩尔 该气体温度每升高1K吸收的热量为3R/2,R为普适 气体恒量.在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律。 四、 为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式.在传 输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端 A挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端B.绝缘子的结构如图乙所示：在半径为 R的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为R2的半球形导 体球壳.己知当导体球与导体球壳间的电压为U时，介质中离球心O的距离为”处的场强 为E=ERU R2一R产，场强方向沿径向. 半球形导体球壳 绝缘层 导体球 图甲 图乙 1.已知绝缘子导体球壳的内半径R2=4.6cm,陶瓷介质的击穿强度Ek=135kV/ cm.当介质中任一点的场强E>Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能.为使绝缘子所能承 受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径R1应取什
2 A 的下方盛有一定质量的理想气体．已知系统处于平衡 状态，A 所在处的高度（其下表面与缸内底部的距离） 与两弹簧总共的压缩量相等皆为 h1 = H / 4 ．现给电炉丝 R 通电流对气体加热，使 A 从高度 h1开始上升，停止加 热后系统达到平衡时活塞的高度为 h2 = 3H / 4 ．求此过 程中气体吸收的热量△Q ．已知当体积不变时，每摩尔 该气体温度每升高 1 K 吸收的热量为 3R / 2 ，R 为普适 气体恒量．在整个过程中假设弹簧始终遵从胡克定律． 四、 为了减少线路的输电损耗，电力的远距离输送一般采用高电压的交流电传输方式．在传 输线路上建造一系列接地的铁塔，把若干绝缘子连成串（称为绝缘子串，见图甲），其上端 A 挂在铁塔的横臂上，高压输电线悬挂在其下端 B．绝缘子的结构如图乙所示：在半径为 R1的导体球外紧包一层耐高压的半球形陶瓷绝缘介质，介质外是一内半径为 R2的半球形导 体球壳．已知当导体球与导体球壳间的电压为 U 时，介质中离球心 O 的距离为 r 处的场强 为 E = R1R2 R2－R1 U r2 ，场强方向沿径向． 1．已知绝缘子导体球壳的内半径 R2 = 4.6 cm ，陶瓷介质的击穿强度 Ek = 135 kV / cm ．当介质中任一点的场强 E ＞Ek时，介质即被击穿，失去绝缘性能．为使绝缘子所能承 受的电压（即加在绝缘子的导体球和导体球壳间的电压）为最大，导体球的半径 R1 应取什 H A B 图甲 半球形导体球壳 绝缘层 导体球 图乙
么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？ 2.一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有 电容C,每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容C:(导体球 与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容)： 每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容C2·若高压输电线对地电 压的有效值为U6.试画出该系统等效电路图， 3.若C0=70pF=7×101F,C1=5pF,C2=1pF,试计算该系统所能承受的最大 电压（指有效值）. 五、 y 如图所示，G为一竖直放置的细长玻璃管，以其底 端O为原点，建立一直角坐标系Oy,y轴与玻璃管的 G 轴线重合.在x轴上与原点O的距离为d处固定放置一 电荷量为Q的正点电荷A,一个电荷量为g(q>0)的 粒子P位于管内，可沿y轴无摩擦地运动。设两电荷之 间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响. 0 1.求放在管内的带电粒子P的质量m满足什么条 件时，可以在y>0的区域内存在平衡位置. 2.上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的：它依赖于粒子的质量m,以y(m) 表示质量为m的粒子P处于平衡位置时的y坐标.当粒子P处于稳定平衡状态时，y(m) 的取值区间是 :当粒子P处于不稳定平衡状态时，y(m)的取值区间是 (请将填空答案写在答题纸上). 3.己知质量为m1的粒子P处于稳定平衡位置，其y坐标为y·现给P沿y轴一微小 扰动.试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期 4.已知质量为m2的粒子P的不稳定平衡位置的y坐标为2，现设想把P放在坐标处， 然后从静止开始释放P.求释放后P能到达玻璃管底部的所有可能的？（只要列出3满足 的关系式，不必求解)
3 么数值？此时，对应的交流电压的有效值是多少？ 2．一个铁塔下挂有由四个绝缘子组成的绝缘子串（如图甲），每个绝缘子的两导体间有 电容 C0 ．每个绝缘子的下部导体（即导体球）对于铁塔（即对地）有分布电容 C1（导体球 与铁塔相当于电容器的两个导体极板，它们之间有一定的电容，这种电容称为分布电容）； 每个绝缘子的上部导体（即导体球壳）对高压输电线有分布电容 C2 ．若高压输电线对地电 压的有效值为 U0 ．试画出该系统等效电路图． 3．若 C0 = 70 pF = 7 × 10－11 F ，C1 = 5 pF ，C2 = 1 pF ，试计算该系统所能承受的最大 电压（指有效值）． 五、 如图所示，G 为一竖直放置的细长玻璃管，以其底 端 O 为原点，建立一直角坐标系 Oxy ，y 轴与玻璃管的 轴线重合．在 x 轴上与原点 O 的距离为 d 处固定放置一 电荷量为 Q 的正点电荷 A ，一个电荷量为 q（q＞0）的 粒子 P 位于管内，可沿 y 轴无摩擦地运动．设两电荷之 间的库仑相互作用力不受玻璃管的影响． 1．求放在管内的带电粒子 P 的质量 m 满足什么条 件时，可以在 y＞0 的区域内存在平衡位置． 2．上述平衡状态可以是稳定的，也可能是不稳定的；它依赖于粒子的质量 m ．以 y（m） 表示质量为 m 的粒子 P 处于平衡位置时的 y 坐标．当粒子 P 处于稳定平衡状态时，y（m） 的取值区间是_________________；当粒子 P 处于不稳定平衡状态时，y（m）的取值区间是 _________________（请将填空答案写在答题纸上）． 3．已知质量为 m1的粒子 P 处于稳定平衡位置，其 y 坐标为 y1 ．现给 P 沿 y 轴一微小 扰动．试证明以后的运动为简谐运动，并求此简谐运动的周期． 4．已知质量为 m2的粒子 P 的不稳定平衡位置的y 坐标为 y2 ，现设想把 P放在坐标 y3 处， 然后从静止开始释放 P．求释放后 P 能到达玻璃管底部的所有可能的 y3（只要列出 y3 满足 的关系式，不必求解）． y G P O d A x
六、 如图所示，一半径为R、折射率为 ng的透明球体置于折射率o=1的空气 中，其球心位于图中光轴的O处，左、 01 右球面与光轴的交点为O1与O2,球体 右半球面为一球面反射镜，组成球形反 射器.光轴上O1点左侧有一发光物点P,P点到球面顶点O1的距离为s,由P点发出的 光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射. 1.问发光物点P经此反射器，最后的像点位于何处？ 2.当P点沿光轴以大小为ⅴ的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的 速度运动？并说明当球体的折射率？取何值时像点亦做匀速运动. 七、 已知钠原子从激发态（记做P;12)跃迁到基态（记做S112)所发出的光谱线波长0 =588.9965m,现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考 虑相对论效应)，被一束沿：轴负方向传播的波长为1=589.0080m的激光照射.以0表 示钠原子运动方向与：轴正方向之间的夹角（如图所示）.问在30°<0<45°角度区间 内的钠原子中速率“在什么范围内能产生共振吸收，从S12态激发到P32态？并求共振吸 收前后钠原子速度（矢量）变化的大小.已知钠原子质量为M=3.79×1026kg,普朗克常 量h=6.626069×1034J·s,真空中的光速c=2.997925×10ms1. 钠原子 ●0 激光束
4 六、 如图所示，一半径为 R 、折射率为 ng 的透明球体置于折射率 n0 =1 的空气 中，其球心位于图中光轴的 O 处，左、 右球面与光轴的交点为 O1与 O2 ．球体 右半球面为一球面反射镜，组成球形反 射器．光轴上 O1点左侧有一发光物点 P ，P 点到球面顶点 O1的距离为 s ．由 P 点发出的 光线满足傍轴条件，不考虑在折射面上发生的反射． 1．问发光物点 P 经此反射器，最后的像点位于何处？ 2．当 P 点沿光轴以大小为 v 的速度由左向右匀速运动时，试问最后的像点将以怎样的 速度运动？并说明当球体的折射率 ng 取何值时像点亦做匀速运动． 七、 已知钠原子从激发态（记做 P3 / 2）跃迁到基态（记做 S1 / 2）所发出的光谱线波长 λ0 =588.9965 nm ．现有一团钠原子气，其中的钠原子做无规的热运动（钠原子的运动不必考 虑相对论效应），被一束沿 z 轴负方向传播的波长为 λ = 589.0080 nm 的激光照射．以 θ 表 示钠原子运动方向与 z 轴正方向之间的夹角（如图所示）．问在 30° ＜ θ ＜45° 角度区间 内的钠原子中速率 u 在什么范围内能产生共振吸收，从 S1 / 2 态激发到 P3 / 2 态？并求共振吸 收前后钠原子速度（矢量）变化的大小．已知钠原子质量为 M = 3.79 × 10－26 kg ，普朗克常 量 h = 6.626069 × 10－34 J •s ，真空中的光速 c = 2.997925 × 108 m •s －1 ． P O1 O2 s 钠原子 激光束 u z θ
第24届全国中学生物理竞赛决赛参考解答 1.分析刚碰后各球速度的方向.由于D与B球发生弹性正碰，所以碰后D球的速度 方向仍在y轴上：设其方向沿y轴正方向， 大小为ⅴ，由于线不可伸长，所以在D,B 两球相碰的过程中，A,C两球都将受到线 给它们的冲量：又由于线是柔软的，线对A, U C两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚 碰后，A球的速度沿AB方向，C球的速度沿 B CB方向.用O表示B球的速度方向与x轴的 夹角，则各球速度方向将如图所示.因为此时连接A,B，C三球的两根线立即断了，所 以此后各球将做匀速直线运动： 2.研究碰撞后各球速度的大小.以y1,2,3分别表示刚碰后A,B,C三球速度 的大小，如图所示.因为碰撞过程中动量守恒，所以沿x方向有 mvi-mv3 cosa+mv2 cos0=0 (1) 沿y方向有 一mvo=一v2sind-mv3sina. (2) 根据能量守恒有 (3) 因为碰撞过程中线不可伸长，B,C两球沿BC方向的速度分量相等，A,B两球沿 AB方向的速度分量相等，有 V2 COS=vI (4) 2cos[π-(a+0)]=v3. (5) 将a=π/3代入，由以上各式可解得 3 V1= 120, (6) 12i 2= 66, (7) V3= 30, (8)
5 第 24 届全国中学生物理竞赛决赛参考解答 一、 1．分析刚碰后各球速度的方向．由于 D 与 B 球发生弹性正碰，所以碰后 D 球的速度 方向仍在 y 轴上；设其方向沿 y 轴正方向， 大小为 v ．由于线不可伸长，所以在 D ，B 两球相碰的过程中，A ，C 两球都将受到线 给它们的冲量；又由于线是柔软的，线对 A ， C 两球均无垂直于线方向的作用力，因此刚 碰后，A 球的速度沿 AB 方向，C 球的速度沿 CB 方向．用 θ 表示 B 球的速度方向与 x 轴的 夹角，则各球速度方向将如图所示．因为此时连接 A ，B ，C 三球的两根线立即断了，所 以此后各球将做匀速直线运动． 2．研究碰撞后各球速度的大小．以 v1 ，v2 ，v3 分别表示刚碰后 A ，B ，C 三球速度 的大小，如图所示．因为碰撞过程中动量守恒，所以沿 x 方向有 mv1－mv3 cosα + mv2 cosθ = 0 ； （1） 沿 y 方向有 －mv0 = mv － mv2 sinθ －mv3 sinα ． （2） 根据能量守恒有 1 2 mv 2 0 = 1 2 mv 2 1 + 1 2 mv 2 2 + 1 2 mv 2 3 + 1 2 mv2 ． （3） 因为碰撞过程中线不可伸长，B ，C 两球沿 BC 方向的速度分量相等，A ，B 两球沿 AB 方向的速度分量相等，有 v2 cosθ = v1 ， （4） v2 cos [ π － ( α + θ ) ] = v3 ． （5） 将 α = π / 3 代入，由以上各式可解得 v1 = 3 12 v0 ， （6） v2 = 21 6 v0 ， （7） v3 = 3 3 v0 ， （8）