第六章系统稳定性分析（2）三阶系统（n=3），特征方程为D(s)=a,s3 +as? +as+ao = 0劳斯表为a3aiSca2ao2sa,a -agao0sazso0ao由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为：a>0,a>0, a>0, a,>0,aja>aoa
第六章 系统稳定性分析 ( ) 1 0 0 2 2 3 D s = a3 s + a s + a s + a = 0 0 0 2 2 1 3 0 2 0 3 1 0 1 2 3 a a a a a a a a a a s s s s − （2）三阶系统（n=3），特征方程为 劳斯表为 a3>0，a2>0，a1>0，a0>0，a1 a2>a0 a3 由劳斯判据，三阶系统稳定的充要条件为：
第六章系统稳定性分析【例6.1】二阶系统的特征方程为D(s)= s2 + 7.69s + 42.3 = 0试用劳斯判据判别该系统的稳定性【解】已知a2=1，a,=7.69，α=42.3，各项系数均大于0，由二阶系统劳斯判据式知，该系统稳定。【例6.2】已知反馈控制系统的特征方程为D(s)= s3 +5Ks2 +(2K +3)s+10 = 0试确定使该系统稳定的K值
第六章 系统稳定性分析 【例6.1】二阶系统的特征方程为 ( ) 7.69 42.3 0 2 D s = s + s + = 【解】已知a2＝1，a1＝7.69，a0＝42.3，各项 系数均大于0，由二阶系统劳斯判据式知，该系 统稳定。 试用劳斯判据判别该系统的稳定性。 【例6.2】已知反馈控制系统的特征方程为 ( ) 5 (2 3) 10 0 3 2 D s = s + Ks + K + s + = 试确定使该系统稳定的K值
第六章系统稳定性分析【解】根据特征方程的各项系数，列出劳斯表1Sc2K+35K102s2K2+3K-20IsK010由劳斯判据可知，若萘统稳定，特征方程各项系数必须大于0，且劳斯表中第一列的系数均为正值。5K>0解得K>0.5即为所求。2K+3>02K2+3K-2>0K
第六章 系统稳定性分析 【解】根据特征方程的各项系数，列出劳斯表 10 0 0 2 3 2 5 10 1 2 3 2 0 1 2 3 K K K K K s s s s + − + 由劳斯判据可知，若系统稳定，特征方程各项系 数必须大于0，且劳斯表中第一列的系数均为正 值。 + − + 0 2 3 2 2 3 0 5 0 2 K K K K K 解得K>0.5即为所求
第六章系统稳定性分析【例6.3】设系统的特征方程为D(s)= s4 +2s3 +3s2 +4s +3 =0试用劳斯判据判断系统的稳定性【解】由特征方程的各项系数可知，系统已满足稳定的必要条件。列劳斯表由劳斯表的第一列看出：系数4313s符号不全为正值，从+1→－2一24OS+3，符号改变两次，说明闭环231S系统有两个正实部的根，即在S-2S的右半平面有两个极点，所以控C3S制系统不稳定
第六章 系统稳定性分析 ( ) 2 3 4 3 0 4 3 2 D s = s + s + s + s + = 3 2 1 3 2 4 0 1 3 3 0 1 2 3 4 − s s s s s 【例6.3】设系统的特征方程为 【解】由特征方程的各项系数可知，系统已满足 稳定的必要条件。列劳斯表 由劳斯表的第一列看出：系数 符号不全为正值，从＋1→－2→ ＋3，符号改变两次，说明闭环 系统有两个正实部的根，即在s 的右半平面有两个极点，所以控 制系统不稳定。 试用劳斯判据判断系统的稳定性
第六章系统稳定性分析6.2.3劳斯判据的特殊情况1.劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行其余元素不全为零。这时可以用一个很小的正数?来代替第一列等于零的元素，然后再计算表的其他各元素2.劳斯表中某一行的元素全部为零。这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算
第六章 系统稳定性分析 6.2.3 劳斯判据的特殊情况 这时可以用一个很小的正数ε来代替第一列 等于零的元素，然后再计算表的其他各元素。 这时可利用该行的上一行的元素构成一个辅助 多项式，并利用这个多项式方程的导数的系数组 成劳斯表中的下一行，然后继续进行计算。 1.劳斯表中某一行的第一列元素为零，但该行其 余元素不全为零。 2. 劳斯表中某一行的元素全部为零