第六章系统稳定性分析【例6.4设某系统的特征方程为D(s)= s4 +2s3 + s? +2s+1 = 0试用劳斯判据判别系统的稳定性解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表当ε→0时，(2-2/)<0，劳1114s斯表中第一列各元素符号2203Ss不全为正，因此系统不稳10~8s定。第一列各元素符号改22s变两次，说明系统有两个80S1具有正实部的根
第六章 系统稳定性分析 ( ) 2 2 1 0 4 3 2 D s = s + s + s + s + = 1 2 2 0 1 2 2 0 1 1 1 0 1 2 3 4 − s s s s s 【例6.4】设某系统的特征方程为 解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表 当ε→0时，(2-2/ε)<0，劳 斯表中第一列各元素符号 不全为正，因此系统不稳 定。第一列各元素符号改 变两次，说明系统有两个 具有正实部的根。 试用劳斯判据判别系统的稳定性
第六章系统稳定性分析【例6.5】已知系统的特征方程为D(s)= s° + 2s5 +8s4 +12s3 + 20s? +16s +16 = 0试用劳斯判据判别系统的稳定性。解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表o812016由于s3行的元素全为201612零，由其上一行构成辅SD201216助多项式为sS000A(s)= 2s4 +12s? +16dA(s)= 8s3 +24s对s求导，得一新方程ds
第六章 系统稳定性分析 ( ) 2 8 12 20 16 16 0 6 5 4 3 2 D s = s + s + s + s + s + s + = 0 0 0 2 12 16 0 2 12 16 0 1 8 20 16 3 4 5 6 s s s s 【例6.5】已知系统的特征方程为 解：根据特征方程的各项系数，列出Routh表 试用劳斯判据判别系统的稳定性。 ( ) 2 12 16 4 2 A s = s + s + ( ) s s ds dA s 8 24 3 = + 由于s 3行的元素全为 零，由其上一行构成辅 助多项式为 对s求导，得一新方程
第六章系统稳定性分析用上式各项系数作为s3行的各项元素，并根据此行再计算劳斯表中s2～s0行各项元素，得到劳斯表So8表中第一列各元素符1620号都为正，说明系统没5s121602有右根，但是因为s3行4212160s的各项系数全为零，说300→80→24s明虚轴上有共轭虚根26016S其根可解辅助方程08/3S2s4 +12s2 +16 = 0So016得si2=±/2j，S3,4=±2j由此可见，系统处于临界稳定状态
第六章 系统稳定性分析 表中第一列各元素符 号都为正，说明系统没 有右根，但是因为s 3行 的各项系数全为零，说 明虚轴上有共轭虚根， 其根可解辅助方程 用上式各项系数作为s 3行的各项元素，并根据此行 再计算劳斯表中s 2～s 0行各项元素，得到劳斯表 16 0 8 / 3 0 6 16 0 0 8 0 24 0 2 12 16 0 2 12 16 0 1 8 20 16 0 1 2 3 4 5 6 → → s s s s s s s 2 12 16 0 4 2 s + s + = s 2 j 1,2 = s 2 j 得 ， 3,4 = 由此可见，系统处于临界稳定状态
第六章系统稳定性分析6.3Nyquist稳定判据利用系统开环Nyquist图，来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据6.3.1米哈伊洛夫定理设系统的特征方程为D(s)= a,s" +an-isn-I +...+ajs+ao = 0D(s)= a,(s - s (s - s,)...(s - sn)= 0Si，S2，…，S,为系统的特征根。假设已知根s,在[s]平面上的位置，则可以从坐标原点引出s:和s的向量，s.和s间的连线即向量（s一s）
第六章 系统稳定性分析 6.3 Nyquist稳定判据 利用系统开环Nyquist图，来判断系统闭环 后的稳定性，是一种几何判据。 6.3.1米哈伊洛夫定理 设系统的特征方程为 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − D s a s a − s a s a n n n n D(s) = an (s − s1 )(s − s2 )(s − sn ) = 0 s1，s2，.，sn为系统的特征根。假设已知根si在 [s]平面上的位置，则可以从坐标原点引出si和s的 向量，si和s间的连线即向量（s－si）
第六章系统稳定性分析+1(s-Si)SiSiS4a0S3ReS50ReS2向量（jo一s.）的表示[s]平面上向量的表示令s=iの，得到特征方程的频率特性D(jo)= a,(jo-sjo - s2)...(jo - sn)从各s,点引到jo的向量即表示（jo一s,）
第六章 系统稳定性分析 0 Re j s1 ω s2 s3 s4 s5 向量（jω－s i）的表示 ( ) ( )( ) ( ) n n D j = a j − s j − s j − s 1 2 令s＝jω，得到特征方程的频率特性 从各si点引到jω的向量即表示（jω－si）。 [s]平面上向量的表示 0 Re +j s (s-si ) si