第六章系统稳定性分析6.2劳斯（Routh）稳定判据劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程式根与系数的关系建立的。6.2.1系统稳定的必要条件设系统的特征方程为D(s))=a,s" +aas+a。=0aNVaCn=a,(s-ss-(s-S)=0式中，Ss，S2’……，Sn为系统的特征根
第六章 系统稳定性分析 6.2 劳斯（Routh）稳定判据 劳斯稳定判据也称代数判据，它是基于方程 式根与系数的关系建立的。 6.2.1系统稳定的必要条件 设系统的特征方程为 ( ) 0 1 0 1 = + 1 + + + = − − D s a s a s a s a n n n n ( )( ) ( ) 0 1 2 1 1 1 0 = − − − = = + + + + − − n n n n n n n n n a s s s s s s a a s a a s a a a s 式中，s1，s2，.，sn为系统的特征根
第六章系统稳定性分析an-l=-(s+s,+...+sn)要使全部特an征根s'an-2=+(sis2+$ts;+..+Sn-1sn)S2'..., Snan均具有负实an-3=-(s1s2s:;+$ts2$4+.+sn-2Sn-1sna部，就必须满足以下两o =(-1)(sis . n)个条件：a特征方程的1, 2, ..., n)(1)义要条件：都不等于零a.>0(2)特征方程的号都相同
第六章 系统稳定性分析 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − − − n n n n n n n n n n n n n n n s s s a a s s s s s s s s s a a s s s s s s a a s s s a a 1 2 0 1 2 3 1 2 4 2 1 3 1 2 1 3 1 2 1 2 1 ＝－1 ＝－ ＋ ＋ ＋ ＝＋ ＋ ＋ ＋ ＝－ ＋ ＋ ＋ － － － （1）特征方程的各项系数ai（i=0，1，2，.，n） 都不等于零。 （2）特征方程的各项系数ai的符号都相同。 要使全部特 征根s1， s2，.，sn 均具有负实 部，就必须 满足以下两 个条件： 必要条件： ai >0
第六章系统稳定性分析6.2.2系统稳定的充要条件设系统的特征方程为D(s)= ans" + an-isn-I +...+ as +ao = O-将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表shanan-2an-6an-4sh-1an-1an-3an-5an-7sh-2A4AA2A3sn3B4B,B2Bs...·..suDiD2.1EsSoF
第六章 系统稳定性分析 设系统的特征方程为 ( ) 1 0 0 1 = + 1 + + + = − D s a s a − s a s a n n n n 6.2.2 系统稳定的充要条件 将上式中的各项系数，按下面的格式排成劳斯表 1 1 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 5 7 2 4 6 0 1 2 3 2 1 F E D D B B B B A A A A a a a a a a a a s s s s s s s n n n n n n n n n n n n − − − − − − − − − −
第六章系统稳定性分析aaaan-2nn1aQaOn-n-an-an-)an-1aaaan-n-7(n-1n-5n-3n-AA,AAAAB, =BB,A1AA劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各元素均为正值，宜不为零还指出：劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系统特征方程具有正实部特征根的个数
第六章 系统稳定性分析 1 1 3 1 5 2 A A A a a B n− n− − = 1 1 4 1 7 3 A A A a a B n− n− − = 1 1 7 6 3 − − − − − = n n n n n a a a a a A ，. 1 1 3 2 1 − − − − − = n n n n n a a a a a A ， 1 1 2 1 3 1 A A A a a B n− n− − = ， ，. 1 1 5 4 2 − − − − − = n n n n n a a a a a A ， ， 劳斯稳定判据给出系统稳定的充分必要条件为： 劳斯表中第一列各元素均为正值，且不为零。 还指出： 劳斯表中第一列各元素符号改变的次数等于系 统特征方程具有正实部特征根的个数
第六章系统稳定性分析对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如下简单形式，以便于应用。（1）二阶系统（n=2），特征方程为D(s)=a2s? +as+aα = 0劳斯表为2sa2aoSay0Sdo根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是a,>0, a,>0, a,>0
第六章 系统稳定性分析 ( ) 1 0 0 2 D s = a2 s + a s + a = 0 1 2 0 0 1 2 a a a a s s s 对于较低阶的系统，劳斯判据可以化为如 下简单形式，以便于应用。 劳斯表为 （1）二阶系统（n=2），特征方程为 根据劳斯判据得，二阶系统稳定的充要条件是： a2>0，a1>0，a0>0