引言 由定积分定义 f(x)=m。∑f(5)△x i=0 (1)分割a=x0<x<…<xn=;b (2)近似△,=f()△x1△x1=x1-x-1 (3)求和S,=∑△=∑f(5)△ i=0
引言 ◼ 由定积分定义 i n i i n i n i i i i i i n i b a i n i i x S s f x s f x x x x a x x x b f x dx f x = = − = → = = = = − = = = 0 0 1 0 1 0 0 (3) ( ) (2) ( ) (1) ... ( ) lim ( ) 求和 近似 分割
引言 (4)求极限A=max{Ax 1<i<n lim Sn= lim >f(5)Ax, =f(x)dx 由此想到机械求积公式 b f(xdx= Aof(xo)+A f(x,+. f(n)+rlf] ∑Af(x)+R 其中4权系数,∑4f(x,是f(x)加权和 =0 也是[f(x)d的近似值
引言 = = = = → → b a n i i i x n x i i n S f x f x dx x x lim lim ( ) ( ) (4) max{ } 0 0 0 1 求极限 也是 的近似值。 其中 权系数， 是 加权和， 由此想到机械求积公式 = = = + = + + + b a i n i i i i n i i i n n b a f x dx A A f x f x A f x R f f x dx A f x A f x A f x R f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ... ( ) [ ] 0 0 0 0 1 1
5.1 Newton- Cotes求积公式 511 Cotes系数 首先,我们考察一种简单情况。设y=f(x)用节点(a,f(a)、(b,(f(b) 的一次插值多项式代替,即 f(x)=L1(x)+r1(x) (5.1.1 a.b1()+x9()+,/(x)(x-a)x-b) b x∈(a. b
5.1 Newton-Cotes求积公式 5.1.1 Cotes 系数 首先，我们考察一种简单情况。设 y f x = ( ) 用节点( , ( )),( ,( ( )) a f a b f b 的一次插值多项式代替，即 ( ) ( ) ( ) 1 1 f x L x r x = + (5.1.1) ( ) ( ) ( )( )( ) 1 " 2 x b x a f a f b f x a x b a b a b x - - = + + - - - - x(a,b)
所以 x f(x)dx=[2(a)+ f(old 6-a 62 f (scx-a(x-b)d [f(a)+f(b)+R[ 其中 R(6-a) 12f"(2)5∈(a2b)
( ) ( , ) 12 [ ] [ ( ) ( )] [ ] 2 ( )( )( ) 2 1 ( ) [ ( ) ( )] '' 3 '' f a b b a R f f a f b R f b a f x a x b dx f b dx b a x a f a a b x b f x dx T T b a b a b a − = − + + − = + − − − − + − − = （ ） 其中 所以
由 Lagrange插值任何一的函数y=f(x)都 可以近似的表示成 f(x)=L,(x)+r,(x) 其中 Ln(x)=∑1(x)y是f(x)的 Lagrange插值多项式
◼ 由Lagrange插值,任何一的函数 都 可以近似的表示成 其中 y = f (x) f (x) L (x) R (x) = n + n L x l x y 是f x 的Lagrage插值多项式。 n j n j j ( ) ( ) ( ) 0 = =