边界上的电场 ·由于h→0，路径l在h方向的两条边上的积分→0 ·由于△足够小，电场强度在△上可看作常矢： jE.di=∫Edl+∫E,al -J E1di+E(-7)di =Ef△l-E2·i△1 =（E-E2)△1=0→E,=E2 i×E,=n×E2 ·在介质交界面上，电场强度的切向分量连续 11 lexu@mail.xidian.edu.cn
边界上的电场 • 由于h→0，路径l在h方向的两条边上的积分→0 • 由于△l足够小，电场强度在 上可看作常矢； • 在介质交界面上，电场强度的切向分量连续 11 lexu@mail.xidian.edu.cn ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 0 ll l l l t t t t E dl E dl E dl E t dl E t dl Etl Etl EE l E E ∆ ∆ ∆ ∆ ⋅= ⋅+ ⋅ = ⋅ + ⋅− = ⋅∆− ⋅∆ = − ∆= ⇒ = ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∆l 1 E2 n E n × = ×
边界上的电场 ·电位移的边界条件 一设界面上某点处取一个很小的柱面S,两底面分别处于 介质1、2中，其底面面积为△S -法向单位矢量)从介质1指向介质2： -柱面侧面平行于分 n -柱面上下底面紧贴界面h0 -界面两侧的电位移分别为D,D, 一静电场电位移满足： △S 介质2 fD.ds=o 介质1 12 lexu@mail.xidian.edu.cn
边界上的电场 • 电位移的边界条件 – 设界面上某点处取一个很小的柱面S，两底面分别处于 介质1、2中，其底面面积为△S – 法向单位矢量 从介质1指向介质2； – 柱面侧面平行于 – 柱面上下底面紧贴界面h→0 – 界面两侧的电位移分别为 – 静电场电位移满足： 12 lexu@mail.xidian.edu.cn nˆ nˆ 1 2 D D, D dS Q S ⋅ = ∫ 介质1 介质2 nˆ
边界上的电场 ·由于h→0，电位移在侧面的积分→0： ·△S很小，底面上的电位移可看作常矢： D-ds=s Dds+s D.ds+D.ds= =jsDs+∫D,s =jsD(←)as+fD,iads =(D2·n-D·n)AS=g ·Q为S所包含的自由电荷，若界面上有密度为Ps的自由电荷，则 Q=psAS→D2n-Dn=ps 电位移法向分量在有自由面电荷的介质交界面上不连续，在无 自由面电荷的介质交界面上连续 13 (D2-D)=P
边界上的电场 • 由于h→0，电位移在侧面的积分→0； • △S 很小，底面上的电位移可看作常矢； • Q为S所包含的自由电荷，若界面上有密度为ρs的自由电荷，则 • 电位移法向分量在有自由面电荷的介质交界面上不连续，在无 自由面电荷的介质交界面上连续 13 lexu@mail.xidian.edu.cn ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 SS S S S S S D dS D dS D dS D dS Q D dS D dS D n dS D ndS Dn Dn S Q ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ⋅= ⋅+ ⋅+ ⋅= = ⋅+ ⋅ = ⋅− + ⋅ = ⋅− ⋅ ∆= ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 侧面 Q SDD = ∆⇒ − = ρ ρ S n nS 2 1 2 1 ( ) s nD D ⋅−= ρ
边界上的电场 ·导体的边界条件 -导体内部电场为0，因而E,=0,Dn=0 Din=Ps E2=0 D.-p E,=0 -在导体表面上： ·电场强度只有法向分量 ·电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度 14 lexu@mail.xidian.edu.cn
边界上的电场 • 导体的边界条件 – 导体内部电场为0，因而 – 在导体表面上： • 电场强度只有法向分量 • 电位移的法向分量等于导体表面上的电荷密度 14 lexu@mail.xidian.edu.cn 1 1 0, 0 E D t n = = 2 2 0 0 nS nS t t D D E E = = ρ ρ ⇒ = = nˆ
边界上的电场 ·例 同心球电容器内外半径分别为a和b,其间填充两种 介质，上半部分介电常数为8，下半部分介电常数 为2，内外导体带电分别为q和-q,求各部分电位移 矢量和电场强度 ·[解]两极板间求解区域的场分布需要满足 介质分界面边界条件以及导体表面 边界条件。 由于内外导体是等位面，所以假定 电场沿径向方向（通过边界条件验证） E=E(r)a 任取r,以r为半径作高斯面S 15 lexu@mail.xidian.edu.cn
边界上的电场 • 例 同心球电容器内外半径分别为a和b，其间填充两种 介质，上半部分介电常数为 ，下半部分介电常数 为 ，内外导体带电分别为q和-q，求各部分电位移 矢量和电场强度 • [解]两极板间求解区域的场分布需要满足 介质分界面边界条件以及导体表面 边界条件。 由于内外导体是等位面，所以假定 电场沿径向方向（通过边界条件验证） 任取r，以r为半径作高斯面S 15 lexu@mail.xidian.edu.cn 1 ε 2 ε a b 1 ε 2 ε r ( ) ˆ E Era = r