介质中的电场 ·[例]在一个半径为a的导体球面上均匀分布着总量为Q 的电荷，其周围充满均匀介质，介电常数为ε，求 介质中任一点的D,E,φ以及球与介质的交界面上 的束缚电荷，以及介质内束缚体电荷密度Pp· ·[解]由对称性知，D是球对称的，且指向a方向。 如图做高斯面S,由高斯定理： fD.ds=0 D.4π2=Q→D= 号a6- .0a 84er2 o-er-器d-8r 4π87 6 lexu@mail.xidian.edu.cn
介质中的电场 • [例] 在一个半径为a的导体球面上均匀分布着总量为Q 的电荷，其周围充满均匀介质，介电常数为ε，求 介质中任一点的 ，φ以及球与介质的交界面上 的束缚电荷，以及介质内束缚体电荷密度ρp。 • [解] 由对称性知， 是球对称的，且指向 方向。 如图做高斯面S，由高斯定理： 6 lexu@mail.xidian.edu.cn ε D E, D ˆr a r a S D dS Q S ⋅ = ∫ 2 2 2 4 4 4 r r Q D Qa D rQD a E r r π π ε πε ⋅ =⇒= ⇒= = r Q d r r Q d r r Qa E d r r r r r πε πε πε ϕ 4 4 4 2 2 = ⋅ = ⋅ = = ∫ ∫ ∫ ∞ ∞ ∞
介质中的电场 p=D-6,E=C@ 1-1 4π1 球面上束缚电荷密度另 R,Pa=(a)as=品 0,P,s=As=-gl ,-p吕% Note: 介质中E,p与真空中的区别仅在于将换成8，如 果已知某种电荷分布在真空中的场，将ε。换成ε即 得该电荷分布在介质中的场 lexu@mail.xidian.edu.cn
介质中的电场 球面上束缚电荷密度为 Note：介质中 与真空中的区别仅在于将εo换成ε，如 果已知某种电荷分布在真空中的场，将εo换成ε即 得该电荷分布在介质中的场 7 lexu@mail.xidian.edu.cn 0 2 2 1 1 1 1 4 4 r r r a r r Qa Qa PD E P r a ε πε πε = =− = − ⇒ = − ( ) 2 1 1 4 S p r Sp r Q Pn P a a ρ ρ π ε = ⋅ = ⋅ − ⇒ =− − = = = − − ∫ ∫ r S S p S QS p S pdS dS Q ε ρ ρ 1 1 2 2 2 11 1 11 1 44 2 r r p rr r Qa Q Q a P r r r ρ π ε πε π ε = −∇ ⋅ = −∇ ⋅ − = − − ∇ ⋅ = − ε r a S E,ϕ
介质中的电场 ·微分形式的场方程 一由高斯散度定理 B.ds=v.Dav=2=pdvv.B-p)dv=0 因为V是任意的 V.D=P 一由斯托克斯公式 E.di=[VxE.ds=0 因为S是任意的 V×E=0 7.D=p 一静电场的微分形式的基本方程组 V×E=0 D=aE 8 lexu@mail.xidian.edu.cn
介质中的电场 • 微分形式的场方程 – 由高斯散度定理 因为V是任意的 – 由斯托克斯公式 因为S是任意的 – 静电场的微分形式的基本方程组 8 lexu@mail.xidian.edu.cn ⋅ = ∇ ⋅ = = ⇒ (∇ ⋅ − ) = 0 ∫S ∫V ∫V ∫V D dS D dV Q ρ dV D ρ dV ∇ ⋅ D = ρ ⋅ = ∇ × ⋅ = 0 ∫l ∫S E dl E dS ∇ × E = 0 = ∇ × = ∇ ⋅ = D E E D ε ρ 0
边界上的电场 如果电场中存在两种或两种以上的介质，由于极化效应， 在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷，这层面电荷 在分界面两边产生的场是不一样的，因此在分界面上电场 强度和电位移都将发生突变。 ·介质分界面上各个场量发生突变的规律即为边界条件。 ·推导边界条件应从积分形式的基本方程出发 fE.dI=0 D.ds=0 9 lexu@mail.xidian.edu.cn
边界上的电场 • 如果电场中存在两种或两种以上的介质，由于极化效应， 在不同介质的交界面上产生一层束缚面电荷，这层面电荷 在分界面两边产生的场是不一样的，因此在分界面上电场 强度和电位移都将发生突变。 • 介质分界面上各个场量发生突变的规律即为边界条件。 • 推导边界条件应从积分形式的基本方程出发 9 lexu@mail.xidian.edu.cn D dS Q S ⋅ = ∫ ⋅ = 0 ∫l E dl
边界上的电场 ·电场强度的边界条件 一在界面上某点处取闭合矩形回路1，其长边分别位于介 质1和介质2中，且紧贴界面，即h0: -为该点处切线方向单位矢量，显然有∥△7 一为该点处法线方向单位矢量： -界面两侧的电场强度分别为E,E, 一静电场电场强度满足： fE.d=0 介质2 介质1 10 lexu@mail.xidian.edu.cn
边界上的电场 • 电场强度的边界条件 – 在界面上某点处取闭合矩形回路l，其长边分别位于介 质1和介质2中，且紧贴界面，即 h→0； – 为该点处切线方向单位矢量，显然有 – 为该点处法线方向单位矢量； – 界面两侧的电场强度分别为 – 静电场电场强度满足： 10 lexu@mail.xidian.edu.cn 介质1 介质2 t ˆ t l ˆ// ∆ nˆ t ˆ nˆ 1 2 E E, ⋅ = 0 ∫l E dl