陇东学院：《电磁学》ppt电子书

134从高斯定理看电力线的性质 可以证明 手d 因此,对整个闭合曲面,电通量为: E·ds=手 e cos adS q E0(s内) 上式是对单个点电荷的高斯定理。根据场强的叠加原理,上述结果可推 广至任意带电系统的静电场,从而得到高斯定理(1.16)式 134从高斯定理看电力线的性质 (1)电力线的起点和终点 我们作小闭合面分别将电力线的起点和终点包围起来,则必然有电通量 从前者穿出(即Φp>0,见图a),从后者穿入(即Φg<0,见图b)

1.3.4 从高斯定理看电力线的性质 可以证明 因此，对整个闭合曲面 ，电通量为： 上式是对单个点电荷的高斯定理。根据场强的叠加原理，上述结果可推 广至任意带电系统的静电场，从而得到高斯定理(1.16)式。 1.3.4 从高斯定理看电力线的性质 （1）电力线的起点和终点 我们作小闭合面分别将电力线的起点和终点包围起来，则必然有电通量 从前者穿出（即 E > 0 ，见图a），从后者穿入（即 E < 0 ，见图b）。 W  4   S d               S 内 i S S E E d S E dS q 0 1 cos    

134从高斯定理看电力线的性质 因而根据高斯定理可知,在前者之内必有正 电荷,后者之内必有负电荷。这就是说,电 力线不会在没有电荷的地方中断。于是,高 斯定理可理解为从每个正电荷q发出q/6o 图a图b 根电力线,有q/根电力线终止于负电荷-q。如果在带电体中有等量的 正、负电荷,电力线就从正电荷出发到负电荷终止;若正电荷多于负电荷 (或根本没有负电荷),则多余的正电荷发出的电力线只能伸向无限远;反 之,若负电荷多于正电荷(或者根本没有正电荷),则终止于多余的负电荷 上的电力线只能来自无限远。 Ea (2)电力线的疏密与场强的大小 由一束电力线围成的管状区域,叫做电力管 (见右图C)。由于电力线总是平行于电力管的 侧壁,因而没有电通量穿过侧壁。 图c

1.3.4 从高斯定理看电力线的性质 因而根据高斯定理可知，在前者之内必有正 电荷，后者之内必有负电荷。这就是说，电 力线不会在没有电荷的地方中断。于是，高 斯定理可理解为从每个正电荷 发出 根电力线，有 根电力线终止于负电荷 。如果在带电体中有等量的 正、负电荷，电力线就从正电荷出发到负电荷终止；若正电荷多于负电荷 （或根本没有负电荷），则多余的正电荷发出的电力线只能伸向无限远；反 之，若负电荷多于正电荷（或者根本没有正电荷），则终止于多余的负电荷 上的电力线只能来自无限远。 （2）电力线的疏密与场强的大小 由一束电力线围成的管状区域，叫做电力管 （见右图c） 。由于电力线总是平行于电力管的 侧壁，因而没有电通量穿过侧壁。 0 q  0 q q   q

34从高斯定理看电力线的性质 取电力管的任意两个截面△S和AS2,它们与电力管的侧壁组成一个闭合高斯面。通 过此高斯面的电通量为 Φg=E1cos61△S1+E2cos2△S2 式中E1和E2分别是△S和△S2上场强的数值,日和2分别是场强与高斯面外法线 H1和n2之间的夹角(见图c) 设这段电力管内没有电荷,则根据高斯定理,有 Φ,=E,cosb,AS,+E cosb,△S,=0 或 E1Cosb1△S E2Cos2△S 现取AS和△S都与它们所在处的场强垂直,则a=z02=0,c0s81=-1,cos2=1, 上式化为 E,△S

1.3.4 从高斯定理看电力线的性质 取电力管的任意两个截面 和 ，它们与电力管的侧壁组成一个闭合高斯面。通 过此高斯面的电通量为 式中 和 分别是 和 上场强的数值， 和 分别是场强与高斯面外法线 和 之间的夹角（见图c）。 设这段电力管内没有电荷，则根据高斯定理，有 或 现取 和 都与它们所在处的场强垂直，则 ， ， ， ， 上式化为 S1 2 S 1 1 1 2 2 2 E cos S E cos S  E       E1 E2 S1 2 S 1  2 1 n 2 n cos cos 0  E  E1  1S1  E 2  2S 2  1 2 2 2 1 1 cos cos S S E E       S1 S2 1   0  2  cos1  1 cos 2 1 1 2 2 1 S S E E   

135高斯定理应用举例 亦即沿电力管场强的变化反比于它们的垂直截面积。这样,在电力管膨胀的地方(即电力 线变得稀疏的地方)场比较弱,在电力管收缩的地方(即电力线变得密集的地方)场比较 强。因而由电力线的分布图,我们可以定性地看出沿电力线场强强弱的变化情况 135高斯定理应用举例 我们应用高斯定理(1.16)式来解决实际问题就是求场的分布。在(1.16)式中注 意:E是带电体系中所有电荷(无论在高斯面内或面外)产生的总场强,而∑q只是对高 斯面内的电荷求和。 应用它求解问题的关键在于如何把E从积分号内提到外面来。要把E从积分号内提到外 面来,则要求E在高斯面上成为常量,即E的分布具有高度对称性。即球对称、面对称和柱 对称三种。 下面通过具体例子加以说明

1.3.5 高斯定理应用举例 亦即沿电力管场强的变化反比于它们的垂直截面积。这样，在电力管膨胀的地方（即电力 线变得稀疏的地方）场比较弱，在电力管收缩的地方（即电力线变得密集的地方）场比较 强。因而由电力线的分布图，我们可以定性地看出沿电力线场强强弱的变化情况。 1.3.5 高斯定理应用举例 我们应用高斯定理（1.16）式来解决实际问题就是求场的分布。在（1.16）式中注 意：E是带电体系中所有电荷（无论在高斯面内或面外）产生的总场强，而 只是对高 斯面内的电荷求和。 应用它求解问题的关键在于如何把E从积分号内提到外面来。要把E从积分号内提到外 面来，则要求E在高斯面上成为常量，即E的分布具有高度对称性。即球对称、面对称和柱 对称三种。 下面通过具体例子加以说明。  q

135高斯定理应用举例 【例题1】求均匀带正电球壳内外的场强,设球壳带电总量为q,半径为R 【解】首先分析电场分布的对称性 由于电荷均匀分布在球壳上,这个带电体系 具有球对称性,因而电场分布也应具有球对 dE+dE 称性。这就是说,在任何与带电球壳同心的 球面上各点的场强的大小均相等,方向沿半 径向外呈辐射状。为了具体说明场强的方向 b 确是如此,让我们来考虑空间任一场点P(见 图)。对于带电球壳上的任何一个面元dS, 在球面上都存在着另一面元dS,二者对OP R 联线完全对称(O是球心),dS和dS′在P点 产生的元电场dE和dE'也对OP联线对称, 均匀带电球壳的场强

1.3.5 高斯定理应用举例 【例题1】求均匀带正电球壳内外的场强，设球壳带电总量为 ，半径为 。 【解】首先分析电场分布的对称性。 由于电荷均匀分布在球壳上，这个带电体系 具有球对称性，因而电场分布也应具有球对 称性。这就是说，在任何与带电球壳同心的 球面上各点的场强的大小均相等，方向沿半 径向外呈辐射状。为了具体说明场强的方向 确是如此，让我们来考虑空间任一场点P（见 图）。对于带电球壳上的任何一个面元 ， 在球面上都存在着另一面元 ，二者对OP 联线完全对称（O是球心）， 和 在P点 产生的元电场 和 也对OP联线对称， q R dS dS dS dS dE  dE 