变力沿曲线作功 设一质点在xoy面内从点4沿曲线 L移动到点B △y (5,n F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j 变力所作的功？ A M >分割： M1,M2,Mn- >取近似： F(5,n,)=P(5,n,)i+(5,n,)jM-M,=△x,i+△y,j △W,≈F(5,n,)M-M,=P(5,n,)△x,+2(5,n,)Ay >求和： F≈P5,mAx+0(5n,A >取极限： W =lim P()Ax;+)Ay: 2→0i=1
变力沿曲线作功 o x y A B Mn−1 Mi Mi−1 M1 ( , ) i i L ➢分割: 1 2 1 , , , M M Mn− 1 ( , ) ( , ) ( , ) W F M M P x Q y i i i i i i i i i i i = + − ➢求和: ➢取极限: ➢取近似: 力 F x y P x y i Q x y j ( , ) ( , ) ( , ) = + 设一质点在xoy面内从点A沿曲线 L移动到点B 变力所作的功 ? ( , ) ( , ) ( , ) F P i Q j i i i i i i = + M M x i y j i i i i −1 = + i x i y 1 ( , ) ( , ) n i i i i i i i W P x Q y = + 0 1 lim ( , ) ( , ) n i i i i i i i W P x Q y → = = +
一、对坐标的曲线积分的概念 (一) 3引1例 (二) 对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念 （一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
对坐标的曲线积分的概念 (一) 3引例 (二)对坐标的曲线积分的定义
一、 对坐标的曲线积分的概念 （一）引例 （二）对坐标的曲线积分的定义
>定义设为xO面内从点4到点B的一条有向曲线弧，函数 P(x,y),Q(x,y)在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列 M(1,Jy),M2(化2，J2,Mm-1(心n-1,yn-,把L分成n个有向小 弧段M-M(=1,2,BM。=A,Mn=B).设△x,=x,-x-9 △y,=》-y-1,点(5,7，)为MM上任意取定的点，作乘积 P(5,n,)△x,(i=1,2,.n),并作和∑P(5,加噪当各小弧段 长度的最大值人一→0时，这和的极限总存在，且与曲线弧L的 分法及点5，的取法无关，那么称此极限为函数P(化，y) 在有向曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作，P(c,y)d
➢定义 设L为xOy面内从点A到点B的一条有向曲线弧,函数 P(x, y),Q(x, y) 在L上有界.在L上沿L的方向任意插入一点列 ( , ), ( , ), , ( , ), 1 1 1 2 2 2 n−1 n−1 n−1 M x y M x y M x y 把L分成n个有向小 弧段 ( 1,2, , ; , ). Mi−1 Mi i = n M0 = A Mn = B 设 , i = i − i−1 y y y 点 ( , ) i i 为 Mi−1 Mi 上任意取定的点，作乘积 长度的最大值 → 0 时,这和的极限总存在,且与曲线弧L的 1 ( , ) , n i i i i P x = 分法及点 的取法无关，那么称此极限为函数 P(x, y) 在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分,记作 ( , )d . L P x y x , i = i − i−1 x x x ( , ) ( 1,2, ), P x i n i i i = 并作和 如果当各小弧段 ( , ) i i
类似地如果m∑2(5,7，)△y,总存在，且与曲线弧L的分法 2→0 i=1 及点（传，的取法无关，那么称此极限为函数 Q在有向 曲线弧L上对坐标的曲线积分，记作J,(x,Jy)y: 即∫P(xy)dc=m∑P(5,n,)△c 2→0 ∫2(xydy=1imΣ(5，)Ay 2-→0 其中P(x,y,(x,y)叫做被积函数，L叫做积分弧段。 以上两个积分也称为第二类曲线积分
即 → = = n i L i i i P x y x P x 1 0 ( , )d lim ( , ) → = = n i L i i i Q x y y Q y 1 0 ( , )d lim ( , ) 其中 P(x, y),Q(x, y) 叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 以上两个积分也称为第二类曲线积分. 类似地,如果 → = n i i i i Q y 1 0 lim ( , ) Q(x, y) 曲线弧L上对坐标y的曲线积分,记作 ( , )d . L Q x y y 总存在,且与曲线弧L的分法 及点 ( i , 的取法无关，那么称此极限为函数 i ) 在有向