《现代控制理论基础》课程教学资源（电子讲义）第四章 线性多变量系统的综合与设计（1/2）

《现代控制理论基础》第四章(讲义) -A+BK1=|P-(s1-4+BK)P s/-P-AP+P-BKP =s/-A+BK I A1A121.「B [k1:k2] 042L0 I sIa-An+B,+k, -A12+B,k2 -Au+B,k,sI n-g -a22l 式中,l是一个q维的单位矩阵,n是一个nq维的单位矩阵。 注意到A2的特征值不依赖于K。因此,如果一个系统不是状态完全能控的,则矩阵的 特征值就不能任意配置。所以,为了任意配置矩阵A-BK的特征值,此时系统必须是状态完 全能控的 2°充分性。即已知被控系统状态完全能控(这意味着由式(4.5)给出的矩阵Q有逆), 则矩阵A的所有特征值可任意配置。 在证明充分条件时,一种简便的方法是将由式(4.1)给出的状态方程变换为能控标准 定义非奇异线性变换矩阵P为 P=ON (44) 其中Q为能控性矩阵,即 0=[B: AB B] 式中a1为如下特征多项式的系数。 定义一个新的状态向量x, Px 如果能控性矩阵Q的秩为n(即系统是状态完全能控的),则矩阵ρ的逆存在,并且可 将式(4.1)改写为 x=Ax+B 其中

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 [ ] 0 0 | ˆ ˆ ˆ | ( ) 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 2 1 1 1 = − + − = − − + + − + =       +      = − = − + = − + − + = − + − − − − − sI A B k sI A sI A sI A B k A B k k k B A A A sI sI A BK sI P AP P BKP sI A BK P sI A BK P q n q n q q  式中， q I 是一个 q 维的单位矩阵， n q I − 是一个 n-q 维的单位矩阵。 注意到 A22 的特征值不依赖于 K。因此，如果一个系统不是状态完全能控的，则矩阵的 特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵 A-BK 的特征值，此时系统必须是状态完 全能控的。 o 2 充分性。即已知被控系统状态完全能控（这意味着由式（4.5）给出的矩阵 Q 有逆）， 则矩阵 A 的所有特征值可任意配置。 在证明充分条件时，一种简便的方法是将由式（4.1）给出的状态方程变换为能控标准 形。 定义非奇异线性变换矩阵 P 为 P = Q W （4.4） 其中 Q 为能控性矩阵，即 [ ] 1 Q B AB A B n− =   (4.5)                 = − − − − 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 1 2 1         a a a a a a W n n n n (4.6) 式中 i a 为如下特征多项式的系数。 n n n n sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1  定义一个新的状态向量 x ˆ ， x = Px ˆ 如果能控性矩阵 Q 的秩为 n（即系统是状态完全能控的），则矩阵 Q 的逆存在，并且可 将式（4.1）改写为 x ˆ = Ac x ˆ + Bcu  (4.7) 其中

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 0 0 A=PAP 0 a -a B=P-B 式(48)和(49)的推导见例48和例49。式(4.7)为能控标准形。这样,如果系统是状 态完全能控的,且利用由式(44)给出的变换矩阵P,使状态向量x变换为状态向量x,则 可将式(4.1)变换为能控标准形。 选取一组期望的特征值为μ1,μ2,…,n,则期望的特征方程为 (s-/1)s-2)…(s-n)=s"+a1s"+an-1s+an=0 设 K KP=88 6] 由于=-K=-KB,从而由式(4.7),此时该系统的状态方程为 Ax-B Kx 相应的特征方程为 -4+BN=0 事实上,当利用u=-Kx作为控制输入时,相应的特征方程与式(4.11)的特征方程 相同,即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于 该系统的特征方程为 /-A+BK= p"(sl-A+ BK)P)=lsl-P-AP+P-BKP[=1s1-A+BK=0 对于上述能控标准形的系统特征方程,由式(4.8)、(4.9)和(4.11),可得 0 -4+B 1]

《现代控制理论基础》第四章(讲义)                 − − − − = = − − − 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 a a a a A P AP n n n c         (4.8)                 = = − 1 0 0 0 1 B P B  c (4.9) 式（4.8）和（4.9）的推导见例 4.8 和例 4.9。式（4.7）为能控标准形。这样，如果系统是状 态完全能控的，且利用由式（4.4）给出的变换矩阵 P，使状态向量 x 变换为状态向量 x ˆ ，则 可将式(4.1）变换为能控标准形。 选取一组期望的特征值为μ1，μ2，…，μn，则期望的特征方程为 ( )( ) ( ) 1 0 1 − 1 − 2 − = + 1 + − + = − n n n n s  s   s  n s a s a s a (4.10) 设 [ ] ˆ K = KP =  n  n−1   1 (4.11) 由于 u Kx ˆ KPx ˆ = − ˆ = − ，从而由式(4.7)，此时该系统的状态方程为 x A x B Kx c c ˆ ˆ ˆ = ˆ −  相应的特征方程为 0 sI − Ac + BcK ˆ = 事实上，当利用 u = −Kx 作为控制输入时，相应的特征方程与式（4.11）的特征方程 相同，即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于 x  = Ax + Bu = (A − BK)x 该系统的特征方程为 0 ˆ ( ) 1 1 1 − + = − + = − + = − + = − − − sI A BK P sI A BK P sI P AP P BKP sI Ac BcK 对于上述能控标准形的系统特征方程，由式（4.8）、(4.9)和（4.11），可得 [ ] 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ˆ 1 1 1 1            − −             +             − − − − + = − n n n n c c a a a sI A B K sI

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 0 (4.12) s+a,+d =s"+(a1+1)s+…+(an1+δn)s+(an+n)=0 这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程,它一定与式(4.10)的期望特征方程相 等。通过使s的同次幂系数相等,可得 a1+61=a1 a2 an+δn=an 对δi求解上述方程组,并将其代入式(4.11),可得 K=KP-=[8, On-1 ,P (.13) [an-an: an--a 因此,如果系统是状态完全能控的,则通过对应于式(4.13)所选取的矩阵A,可任意 配置所有的特征值 证毕 4.2.3极点配置的算法 现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法 给定线性定常系统 dx+ Bu 若线性反馈控制律为 Kx 则可由下列步骤确定使A-B的特征值为μ1,μ2,…,μ。(即闭环系统的期望极点值)的 线性反馈矩阵K(如果μi是一个复数特征值,则其共轭必定也是A-B的特征值) 第1步:考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的,则可按下列步骤继续。 第2步:利用系统矩阵A的特征多项式 det(sl-A)=[sl-A="+a,s-+.+am-5+a 确定出a1,a2…,an的值 第3步:确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 能控标准形,那么P=I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩 阵P可由式(4.4)给出,即 P=OI 式中Q由式(4.5)定义,W由式(4.6)定义。 第4步:利用给定的期望闭环极点,可写出期望的特征多项式为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = + + + + + + + = + + + + − = − − − − − n n n n n n n n n n s a s a s a a a s a s s              (4.12) 这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与式（4.10）的期望特征方程相 等。通过使 s 的同次幂系数相等，可得    + = + = + = n n n a a a a a a     2 2 2 1 1 1 对δi 求解上述方程组，并将其代入式（4.11），可得 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 [ ] [ ] ˆ   − −  −  − − − = − − − − = = a a a a a a a a P K KP P n n n n n n          (4.13) 因此，如果系统是状态完全能控的，则通过对应于式（4.13）所选取的矩阵 K，可任意 配置所有的特征值。 证毕 4.2.3 极点配置的算法 现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法。 给定线性定常系统 x  = Ax + Bu 若线性反馈控制律为 u = −Kx 则可由下列步骤确定使 A-BK 的特征值为μ1，μ2，…,μn（即闭环系统的期望极点值）的 线性反馈矩阵 K（如果μi 是一个复数特征值，则其共轭必定也是 A-BK 的特征值）。 第 1 步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。 第 2 步：利用系统矩阵 A 的特征多项式 n n n n sI − A = sI − A = s + a s + + a − s + a − 1 1 1 det( )  确定出 a a an , , , 1 2  的值。 第 3 步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵 P。若给定的状态方程已是 能控标准形，那么 P = I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩 阵 P 可由式（4.4）给出，即 P = QW 式中 Q 由式（4.5）定义，W 由式（4.6）定义。 第 4 步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为

《现代控制理论基础》第四章(讲义) -1)s-2) 并确定出a1,a2,,a的值 第5步:此时的状态反馈增益矩阵K为 K=la P 4.2.4注释 注意,如果是低阶系统(n≤3),则将线性反馈增益矩阵K直接代入期望的特征多项式, 可能更为简便。例如,若n=3,则可将状态反馈增益矩阵K写为 K=[k1k2k3] 进而将该矩阵K代入期望的特征多项式-A+B,使其等于(s-1)s-2)s-3), s-A+B=(-H1Xs-12Xs-3) 由于该特征方程的两端均为s的多项式,故可通过使其两端的s同次幂系数相等,来确 定A,R2,R3的值。如果n=2或者n=3,这种方法非常简便(对于n=4,5,6,…,这种 方法可能非常繁琐)。 还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K。下面介绍著名的爱克曼公式,可用来确定状 态反馈增益矩阵K。 4.2.5爱克曼公式( Ackermann's formula) 考虑由式(4.1)给出的系统,重写为 =Ax+ Bu 假设该被控系统是状态完全能控的,又设期望闭环极点为s=1,S=μ2,…S=μn 利用线性状态反馈控制律 u=-Kx 将系统状态方程改写为 x=(A-BK)x (4.14) 定义 A=A-BK 则所期望的特征方程为 -A+BK|=-=(s-A1s-2)(s-,) a=0 由于凯莱-哈密尔顿定理指出A应满足其自身的特征方程,所以

《现代控制理论基础》第四章(讲义)   −  − − − − = + + + n + n n n s s s n s a s a 1 s a 1 1 2 1 （  （)  )（  )  并确定出    a a an , , , 1 2  的值。 第 5 步：此时的状态反馈增益矩阵 K 为 1 1 1 2 2 1 1 [ ]   − −  −  K = an − an  an − an    a − a  a − a P 4.2.4 注释 注意，如果是低阶系统（n ≤3），则将线性反馈增益矩阵 K 直接代入期望的特征多项式， 可能更为简便。例如，若 n = 3，则可将状态反馈增益矩阵 K 写为   1 2 3 K = k k k 进而将该矩阵 K 代入期望的特征多项式 sI − A+ BK ，使其等于 ( )( )( ) − 1 −  2 − 3 s s s ， 即 ( )( )( ) − + = − 1 − 2 − 3 sI A BK s s s 由于该特征方程的两端均为 s 的多项式，故可通过使其两端的 s 同次幂系数相等，来确 定 k1，k2，k3 的值。如果 n = 2 或者 n = 3，这种方法非常简便（对于 n =4,5,6,…，这种 方法可能非常繁琐）。 还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵 K。下面介绍著名的爱克曼公式，可用来确定状 态反馈增益矩阵 K。 4.2.5 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) 考虑由式（4.1）给出的系统，重写为 x  = Ax + Bu 假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为 n s = 1 ,s =  2 ,  ,s =  。 利用线性状态反馈控制律 u = −Kx 将系统状态方程改写为 x  = (A − BK)x (4.14) 定义 A = A − BK ~ 则所期望的特征方程为： 0 ( )( ) ( ) ~ 1 1 1 1 2 = + + + + = − + = − = − − −   −  − n n n n n s a s a s a sI A BK sI A s s s      由于凯莱-哈密尔顿定理指出 A ~ 应满足其自身的特征方程，所以

《现代控制理论基础》第四章(讲义) d()=A”+ +an=0 我们用式(4.15)来推导爱克曼公式。为简化推导,考虑n=3的情况。对任意正整数, 下面的推导可方便地加以推广 考虑下列恒等式 A=A-BK A2=(A-BK)2=A2-ABK-BKA A=(A-BK)=A-A BK-ABKA-BKA2 将上述方程分别乘以a3a2,a,a(a=1),并相加,则可得 altaa+aa2+as a31+a2(A- BK)+a, (A -- BKA)+A A- BK-ABKA- BKA (4.16) a3 I+a2A+aA2+A'-a2 BK-aABK-a, BKA--A2BK ABKA-BKA2 参照式(4.15)可得 +a2A+a1A2+A3=(A) 也可得到 A+a1A2+A=p(4)≠0 将上述最后两式代入式(4.16),可得 P(A)=P(A)-a BK-a BKA-BKA2-a' ABK-ABKA-A2BK 由于p(A)=0,故 P(A)=B(a,K+a,KA+KA)+AB(a,K+KA)+A BK a2K+a,KA+KA2 (4.17) [B: AB:A'B] a,k+ Ka 由于系统是状态完全能控的,所以能控性矩阵 O=[B: AB:A B] 的逆存在。在式(4.17)的两端均左乘能控性矩阵Q的逆,可得 +aka+Ka [B: AB:AB]-P(A) a,K+KA K

《现代控制理论基础》第四章(讲义) 0 ~ ~ ~ ) ~ ( * * 1 * 1 = + 1 + + − + = − A A a A a A a I n n  n n  (4.15） 我们用式（4.15）来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑 n = 3 的情况。对任意正整数， 下面的推导可方便地加以推广。 考虑下列恒等式 3 3 3 2 2 2 2 2 ~ ~ ( ) ~ ~ ( ) ~ ~ A A BK A A BK ABKA BKA A A BK A ABK BKA A A BK I I = − = − − − = − = − − = − = 将上述方程分别乘以 , , , ( 1) * 0 * 0 * 1 * 2 * a3 a a a a = ，并相加，则可得 2 * 2 1 * 1 * 2 * 2 3 1 * 2 * 3 2 2 * 2 3 1 * 2 * 3 * 2 3 1 * 2 * 3 ~ ~ ~ ~ ~ ) ~ ( ) ( ~ ~ ~ ABKA BKA a I a A a A A a BK a ABK a BKA A BK A BK ABKA BKA a I a A BK a A ABK BKA A a I a A a A A − − = + + + − − − − − − − − = + − + − − + + + + （4.16） 参照式（4.15）可得 ) 0 ~ ( ~ * ~2 ~3 1 * 2 * a3 I + a A + a A + A =  A = 也可得到 ( ) 0 * 2 3 1 * 2 * a3 I + a A + a A + A =  A  将上述最后两式代入式（4.16），可得 A A a BK a BKA BKA a ABK ABKA A BK * 2 1 * 2 1 * 2 ~ ~ ~ ) ( ) ~ ( =  − − − − − − 由于 ) 0 ~ (A = ，故             + + + = = + + + + + K a K KA a K a KA KA B AB A B A B a K a KA KA AB a K KA A BK ~ ~ ~ [ ] ) ~ ) ( ~ ~ ( ) ( * 1 * 2 1 * 2 2 * 2 1 * 2 1 * 2    （4.17） 由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵 [ ] 2 Q = B  AB A B 的逆存在。在式（4.17）的两端均左乘能控性矩阵 Q 的逆，可得             + + + = − K a K KA a K a KA KA B AB A B A ~ ~ ~ [ ] ( ) * 1 * 2 1 * 2 2 1   