G(a,)= 1(1一x)(0:≤x) 式中 lr(1-)(x≤专≤1) 就是边值问题式(1.2-28)、(1.2-29)的Green函数，显然，它满足对称性 G(x,)=G(,x) 例1.2.4已知弦作强迫简谐振动的方程为 9十=f(x) (1.2-31) 边界条件为 9p(0)=(l)-0 (1.232) 求在点x处位移x)满足的积分方程。 解对心：-)9()d:分部积分，可得 (x)=g(0)+xe(0)十 "(r -6)(ede (1.2-33) 由式(1.2-31)，得 d"(r)=f(r)-Adx) 把上式代入式(1.2-33)，再利用9(0)=0，就有 x)-x9(0)+f6x-fd Go (1.2-34) 再令x二1，利用式(1.2-32)，可得 9(0)= 号∫a-ca0-e)c 再代入式(1.2-34)，经计算，就有 )(d-h(a) (1.2-35) 式中 1-引 (0≤年≤x) k(7,)= 1-别 (x总东≤) h(x)=- f1-srde 式(1.2-35)是边值问题式1.2-31)、(1.2-32)所对应的第-类Fredholm方程。 4.椭圆型方程边值问题 利用位势理论，可以把椭圆型偏微分方程的边值问题化为积分方程。方法是，把满足偏 微分方程的函数，表示为单层位势或双层位势，然后选取其中的密度函数，使对应的位势满 足边界条件，密度函数所适合的方程就是Fredholm积分方程。 例如i,对：二维I,aplace方程的Dirichlet内问题 △g=0,plz-f 可以把它的解P表示成以p(P)为密度函数的单层位势： M)=(P)di (1.2-36) -10-
式中(M)表示p在区域内点M的值，rp是M点到边界上点P的距离。 然后对式(1.2-36)令M趋近于边界L上的点P,记r即为边界上点P与P的距离，就 得到确定未知密度p(P)的第-~类方程 (P)-(P)n 1-dip 当P=P:时，上列第一类方程的核显然变为oo,为了避免这种情况，Volterra、Ncumann及 Poincare把解p表示为双层位势 TMedlp M)=(P)-a (1.2-37) 式中n为L在P点的外法线方向。 再令点M趋近于边界上的点P,就得到未知密度P(P)所满足的积分方程 aln -1_ f(P)=πe(P)- Ldlp ∫，pP)-a (1.2-38) 式(1.2-38)是一个以 k(P,P:)-cos(n.PP 为核的第二类Fredholm方程，式中(，PP1)为在P点边界L的外法线向址n与PP1的夹角。 利用第二章的定理可知，当入=时，上述方程的Fredholm行列式不为零，因此它存在 惟一解。 5.多维积分方程 有时会出现几个月变量的情况，这时所出的方程是多维积分方程。 在静电学中可以证明，若电荷分布密度为ρ(P),只要在无穷远处电荷分布为充分小，则 电势 V(P)=e(pdm (1.2…39) 4retpp 式中ε是介电常数。 式(1.2-39)是一个由已知电势分布V(P)来确定未知电荷分布(P)的多维第一类积分 方程。 实际上，方程(1.2-39)的解为 0(P)=-EAV (1.2-40) 而偏微分方程(1.2·40)的在无穷远为充分小的解，由式(1.2-39)给出。 对于热传导混合问题 224 〔(x,y)∈2.t>0 4l=0=0 ulr=p(s,t) —11— 1
式中2是xOy平面上的一个有界区域，T是的边界，s是确定P上-个点位置的参数，设 0≤s≤1。如果寻求双层热势形式的解 u(z,y)= nda)dr t-t a n 式中g是积分路径T上点对应的参数s的值，n是点s=a处厂的外法线方向，u(c,x)是未 知热势的密度，r是上点(xy)到P上参数s=o对应之点的距离，则蛮度函数(s,t)满足下 列“维积分方程 u(s,t)- r段e点heow(r.)do)dr =一g(s,t) 式中r是P上参数s对应的任意点与参数s=a对应点的距离，向量r从s对应的任意点指 向s一σ对应的点。 6.Abel问题 1823年，Abel研究了等时曲线问题（后来命名为Abel问题）。 已知一个质，点在重力作用下，沿铅直平面中某条曲线无 摩擦地滑动（见图1.2）。问题要求确定此曲线的形状，使质点 沿此曲线以纵坐标y=h的点为起点，从静止开始滑动，经过 预定的时间f(h)到达x轴(y=O)上的终点，即质点沿此曲 线高度下降h所需的时间，是起点纵坐标h的一个已知函数 f(h):t=f1(h)。 设质点的质量为m,重力加速度为g,由能茸守恒定律可 知，在任何位置，运动质点动能的增加，等于其位能的减少， 即2mw=mgh一)，因此运动质点速度的绝对值一 图1.2 √2g(h-y)(y<h)。设3为曲线的切线与x轴的夹角，于是 运动质点在y方向的分速度的绝对值为 y=-√2g(h-y)sin9 dt=一 dy 因此 √2g(h-y)sinB 上式两边从0到h积分，并记 1 y)=sin (1.2-41） 就有 》dy=-√2gfh) J0√h-y 记一√2gf(h)二f(h),最后得到 2,v= (1.2-42) -12
式中(y)是未知函数，f(h)是已知函数。 式(l.2-42)称为Abel方程，是一种特殊的第一类Volterra方程。它是历史上最早提出 的积分方程之一。 求出方程(1.2-42)的解(y),就可以建立曲线的方程。由式(1.2-41).可得 y=(a= 但 -1am2 (1.2~43) dy ui(B)dB 所以 dx= tan B tan 因此 I= ∫94a=®) 于是得到所求曲线的参数方程 x=42(3),y=w1(3) 7.人口问题 人口增长问题，对全世界今后的发展是一个至关重要的问题。在一定的条件下，预测在 某一时刻t人口总数n(t)的问题，就化为解-个积分方程。 设在时刻t=0人口总数为o。f()是生存函数，它反映了在时刻t=0出生且在年龄为t 时生存的人数在人口总数中所占的比率，图1.3所示的是生存函数f(t)的图形。 在时刻t生存的人数为 f(4) n,(t)=nof(t) (1.2-44) 式中，(0)=f(0)=1o。 通常，由于婴儿诞生，人口数量不断增加。若婴 f(1-x 儿的平均出生率为r(t),则在时刻，的某-一个时间 f(r 间隔△，π，在时刻t新增加的人口（如果他们生存下 来)年龄为t一，由图1.3可以看出，这部分人活到 年龄为t一x,的比率为f(t-x:)。因此，在时刻t,由 于在时刻x,的时间间隔△，x内新生儿出世，使人口 图1.3 增加f(t-x,)r(x)A,x。若上述过程在时间区间(0，t) 的全部m个子区间内持续进行，就得到和式 be)=∑f(-xr(,)A,r (1.2-45) 设子区间△π的最大值为入，令A-→0，就得到由于新出生所增加的人口数为 b()-f((dr (1.2-46) 这样，在时刻t人口总数为 n(t=n()+bt)=nof(t)+f(-)r()d (1.2-47) 设出生率r(t)与时划t的人口数成比例 —13-
r(t)=kn(t) (1.2-48) 式中为比例系数。由式(1.2-47)、(1.2-48)得 ae=)+对f-rmed 这是一个以n(t)为未知函数的第二类“卷积型”的Volterra方程。 8.设备的失效与更斯 在生产过程中，生产部门为了避免因设备损坏影响正常生产，就需要使处于正常工作状 态的设备，在任何时刻都保持一个固定的数量。这就要求确定设备的更新率r(t),确定更新率 r(t)的问题可以化为解一个以r(t)为未知函数的积分方程。 首先设s(t)是一个用以确定在t一0时新买进的、且到时刻t保持完好的设备台数在设备 总数中所占比率的函数，称为生存函数。 设在时刻t处于上作状态的设备总数为f(t),则在时刻t=0新买进的设备数为f(0),由 于损坏或磨损，到时刻t,其中只有f(0)·s(t)台保持完好。为了在时刻t使设备台数保持大 于f(0)·s(:),从时刻t=0到时刻t,必须以一定的速率不断更新设备。设在时刻x,设备更 新率为r(x),到时刻t,在时刻x所更换的新设备的使用期限为t一π，此时保持完好的设备的 台数所占的比率为s(t一x)。由于在时刻r开始的时间间隔△x内所更换（新买进）的r(x)△x台 设备中，只有比率为s(t一τ)的那部分设备保持完好。这些不断更换的、保持完好的设备台数 为r(x)s(u一r)△x,把它关于x在时间区间(0，t)积分，就得到 p()=s(-)r()dr (>0) (1.2-49) 式中p(t)是在时间区间0<π≤内囚更换而购进的设备，在时刻t仍保持完好的数量.因此， 若再加上原有设备（即在t一0时的新设备）在时刻t保持完好的数量f(0)s(t),就得到在时刻 t处于工作状态的设备总数 f(r)=f(o)s()+s(t-)r()d (1.2-50) 如果f(t)、s(t)为已知函数，则式(1.2-50)就是一个以r(t)为未知函数的第一类Volterra 积分方程。式中s(t)满足条件s(0》=1,即新购进的全部设备都处于工作状态。 9.带电圆板对偶积分方程组 成对出现的积分方程组，称为对偶积分方程组。这种对偶积分方程组，通常是一组混合 边界条件的积分表达式。所谓混合边界条件，是指在边界区域的一部分上给出的是函数本身 的值，而在其余部分给出的是函数的导数值。下面以A()为未知函数的方程组就是一个对偶 积分方程组 Ap.rpdp=4。（0≤r<1D (1.2-51) pA(p)Jo(rp)do=0 (r>1) (1.2-52) 式中J(x)是零阶第一类Bessel函数(J.(x)是n阶第一类Bessel函数，它是Bessel微分方程 x2f”+xf+(x2-n2)f=0的、在x=0有界的两个线性无关的特解之·)。 一14