调和函数的概念 定义2.3若二元实变函数0(x,y)在D内具有二阶连 续偏导数且满足Laplace方程： 2=0 ax2 0 则称p(x,y)为D内的调和函数. 定理2.3若f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在区0内解析 则u=(x,y为v=y(x,y)是D内的调和函数
( x, y ) D . x y Laplace : ( x, y ) D 则称 为 内的调和函数 续偏导数且满足 方程 若二元实变函数 在 内具有二阶连 = + 0 2 2 2 2 定义2.3 一、 调和函数的概念 定理2.3 则 ， 是 内的调和函数。 若 在区域 内解析 u u( x, y ) v v( x, y ) D f (z ) u( x, y ) iv( x, y ) D = = = +
证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则 由C-R方程 Ou Ov Ou Ov Ox ay ay Ox 从而有 Ou O2v u O2v &x2 ayax 2 axay 因 Ov O'v Oxoy Oyox 故在D内有 8y2 =0,同理有 =0 Ox2 ax2
证明：设f (z)=u(x,y)+i v(x,y)在区域D内解析，则 x v y u y v x u C R = − = 由 − 方 程 x y v y u y x v x u = − = 2 2 2 2 2 2 从而有 2 2 v v x y y x = 因 D 0, 2 2 2 2 = + y u x u 故在 内有 0 2 2 2 2 = + y v x v 同理有
即u=u(x,y),v=v(x,y)是D内的调和函数 定义2.4设函数p(x,y)及w(x,y)均为 D内的调和函数，且满足C-R方程 ay 8x ay'ay 8x 则称w(x,y)是p(x,y)的共轭调和函数 定理2.4f(z)=u(x,y)+iw(x,y)在D内解析一 在D内v(x,y必为u=u(x,y的共轭调和函数
( , ) ( , ) . , , 2.4 ( , ) ( , ) 则称 是 的共轭调和函数 内的调和函数 且满足 方程 定义 设函数 及 均为 x y x y x y y x D C R x y x y = − = − 即u = u(x, y)，v = v(x, y)是D内的调和函数。 D v( x, y ) u u( x, y ) . f (z ) u( x, y ) i v( x, y ) D 在 内 必为 的共轭调和函数 定理 在 内解析 = 2.4 = +
二、解析函数与调和函数的关系 现在研究反过来的问题：若山，v是任意选取的在 区域D内的两个调和函数则u+v在D内就不 一定解析 例如：y=x+y与u=x+y是两个调和函数 但是f(2)=u(x,y)+iv(x,y)不解析
二、解析函数与调和函数的关系 . , , 一定解析 区 域 内的两个调和函数则 在 内就不 若 是任意选取的在 D u i v D u v + 现在研究反过来的问题 ： 但 是 ( ) 不解析。 例如： 与 是两个调和函数 f z u( x, y ) iv( x, y ) v x y u x y . = + = + = +
偏积分法： 根据定理2.4，利用调和函数和它的 共轭调和函数作出一个解析函数 已知一个解析函数的部(x,y),利用 C-R方程可求得它的虚部(x,y),得解析 函数u+iy. 同理：已知虚部(x,y),求实部(x,y) 得解析函数u+iy
( ) ( ) . , , , . ( , ), ( , ), u i v v x y u x y u i v C R v x y u x y + + − 得解析函数 同理：已知虚部 求实部 ， 函 数 方程可求得它的虚部 得解析 已知一个解析函数的实部 利 用 根据定理2.4，利用调和函数和它的 共轭调和函数作出一个解析函数 偏积分法：