成，7 目 录 引言t…1 第一章特征与Gau结和…19 写1.特征…19 2Ga和4…22 第二章特征和估计与大筛法…32 手1，最简单的特征和估计… …32 S2。经典的特征和均值估计… …3 3。大筛法… …42 S4.新的特征和均值估计… …49 第三章《函数与L函数的中值公式… …55 S1,一些引理 …55 §2.5函数的四次中值公式… 地63 53。L函数的四次中值公式……67 54。L函数的二次中值公式… …71 第四章零点分布（一）… …74 S1.专函数与L函数的零点密度估计… …76 52,专函数器点密度估计的改进… …82 第五章线性素变数三角和估计… …91 S1.BHHorPaOB方法 91 52,零点密度估计方法*…13 S3。复变积分法… ………109 $4。对小9的线性素变数三角和估计……115 第六章三素数定理…119 1.Goldbach问题中的圆法…119 2.非实效方法……122 §3，实效方法… …】28 等1。奇数表为三个几乎相等的奇素数之和…133 ·。ii
55.N,+:十y 第七章SELBERG筛法…18 ∫I,筛函数…… 148 S2.最简单的Selberg上界筛法 154 §3，函数G,(5,)和G,(名)… 159 §4。筛函数估计的两个基本定理……… 170 55.函数F(4)和(4)… 175 §6，Jurkat-Richert定理 183 第八章算术数列中素数分布的均值定理…200 51.Bombicri--BuHorpao定理… 206 S2,一类新的均值定理… 209 第九章陈景润定理… 4…225 写1.命{1,2}… 225 等2，D(N)上界估计的改进… 238 第十章零点分布（二） 253 1、L函教的若千引理… 253 写2。T心rin方法… 257 §3.乙函数非琴区域的扩展… 262 S4.L函数在直线0=1附近的器点密度估计… 273 第十一章Goldbach数（一） …279 51.￡(x)的初步估计… 279 S2..B(x)的进一步估计 287 §3.小区间上的Goldbach数… 306 第十二章Goldbach数（二）》 …313 -号1.一些引理… *+…*31 52.定理的证明…… 1…320 参考文献… …324
引 言 nif 1742,年，德国数学家Christian Goldbach(1690一1764)在和 他的好朋友、大数学家Leonhard Euler(1707-l783)的几次通信 中，提出了关于正整数和素数之闻关系的两个推测，用现在确切的 话来说，就是： (A)每一个不小于6的偶数都是两个奇素数之和； (B)每一个不小于9的奇数都是三个奇素数之和. 这就是著名的Goldbach猜想.我们把猜想(A)称为“关于偶数 的Goldbach猜想”，把猜想(B)称为“关于奇数的Goldbach猜想”. 由于 2m十1=2(”-1)+3， 所以，从猜想(A)的正确性就立即推出猜想(B)亦是正确的.Eur 虽然没有能够证明这两个猜想，但是对它们的正确性是深信不疑 的。1742年6月30日，在给Goldbach的一封信中他写道：我认 为这是一个肯定的定理，尽管我还不能证明出来。 Goldbach猜想提出到今天已经有237年了，可是至今还不能 最后地肯定它们的真伪。人们积累了许多宝贵的数值资料”，都表 明这两个猜想是合理的.这种合理性以及猜想本身所具有的极其 简单、明确的形式，使人们和Er一样，也不由得不相信它们 是正确的。因而，二百多年来这两个猜想一直吸引了许许多多数 学工作者和数学爱好若，特别是不少著名数学家的注意和兴趣，并 为此作出了艰巨的务力.但是，直至本世纪，对这两个猜想的研究 才取得了一系列引人瞩目的重大进展。迄今得到的最好结果是， (1)1937年，苏联数学家1.M.BHHorpanoB3)证明了：每一个 1)例如，Shen Mok Kong验证了清想(A)对于所有不短过33X10的例数都是 正确的
充分大的奇数都是三个奇素数之和；(2)1966年，我国数学家陈景 润1别证明了：每一个充分大的偶数都可以表为一个素数与一个不 超过两个素数的乘积之和.这是两个十分杰出的成就.BHHorpa-. oB的结果基本上证明了猜想(B)是正确的”。所以，现在说到 Goldbach猜想时，总是只指猜想(A),即关于偶数的Goldbach猜 想. 下面我们简要地谈一谈研究Goldbach猜想的历史， 从提出Goldbach猜想到十九世纪结束这一百六十年中，虽然 许多数学家对它进行了研究，但并没有得到任何实质性的结果和 提出有效的研究方法。这些研究大多是对猜想进行数值的验证， 提出一些简单的关系式或一些新的推测（见L.E.Dickson:Histo- ry of the Theory of Numbers,.I,421一425).总之，数学家们还想 不出如何着手来对这两个清想进行哪怕是有条件的极初步的有意 义的探讨.但我们也应该指出：古老的筛法，以及在此期间内 Euler,Gauss,Dirichlet,Ricmann,Hadamard等在数论和函数论方 面所取得的辉煌成就，为二十世纪的数学家们对猜想的研究提供 了强有力的工具和奠定了不可敏少的坚实基础。 1900年，在巴黎召开的第二届国际数学会上，德国数学家D. Hilbert在其展望二十世纪数学发展前景的著名演讲中，提出了二 十三个他认为是最重要的没有解决的数学问题，作为今后数学研 究的主要方向，并期待在这新的一个世纪里，数学家们能够解决这 些难题。Goldbach猜想就是Hilbert所提出的第八问题的一部分. 但是，在此以后的一段时间里，对Goldbach猜想的研究并未取得 什么进展.1912年，德国数学家E.Landau在英国剑桥召开的第 五届国际数学会上十分悲观地说：即使要证明下面较弱的命题 (C),也是当代数学家所力不能及的： 1)后来，Bopo31KH1具体计算出，当奇数N≥6，时，就一定可以表为三 个奇素数之和。，是一个比10的0万次方还要大的数（自前知道的最大 素数是Mcr5cnnc素数21or一1，这只是一个6533位数).而对于如此巨大的 数字，我们根本没有可能来一一验证对所有小于它的每一个奇数来说，猜想() 是否一定成立.所以，BH0r中aoB是基本上解决了猜想(B)。 2
(C)存在一个正整数，使每一个≥2的整数都是不超过无 个素数之和。 1921年，英国数学家G.H.Hardy在哥本哈根数学会作的 一次讲演中认为：Goldbach猜想可能是没有解决的数学问题中的 最困难的一个。 就在一些著名数学家作出悲观预言和感到无能为力的时候， 他们没有料到，或若没有意识到对Goldbach猜想的研究正在开始 从几个不同方向取得了为以后证明是重大的突破，这就是：1920 年前后，英国数学家Hardy,Littlewood和印度数学家Ramanujan 所提出的“圆法”4；1920年前后，挪威数学家Brun)所提出 的“筛法”；以及1930年前后，苏联数学家L]HHpeJIbMa0)所提出 的“密率”.在不到50年的时间里，沿着这几个方向对Goldbach 猜想的研究取得了十分惊人的丰硕成果，同时也有力地推进了数 论和其它一些数学分支的发展， (一) 圆 法 首先我们来谈谈圆法.从1920年开始，Hardy和Littlewood 以总标题为《Some problems of“Partitio.pumerorum”》发表了七篇 论文。在这些文章中，他们系统地开创与发展了堆垒素数论中的 一个崭新的分析方法。其中1923年发表的第II,V二篇文章就 是专门讨论Goldbach猜想的.这个新方法的，思想在1918年 Hardy和Ramanujan)的文章中已经出现过.后来人们就称这个 新方法为Hardy--Linewood--Ramanujan圆法.对于Goldbach猜想 来说，圆法的思想是这样的：设m为整数，由于积分 aea=6;8: (1 m年0， 其中e(x)=2a,所以方程 N=p1+p2,p1,≥3 的解数