第15卷第3期 工 程 力 类 Vol.15 No.3 1998年8月 ENGINEERING MECHANICS Aug.1998 含椭圆孔压电材料 平面问题的复变函数解 高存法 董登科 (南京航空航天大学，南京210016)（飞机强度研究所，西安710065） 提要应用复变函数的方法，对于含有椭圆孔压电材料的平面问题，导出了在椭圆孔 外任一点作用任意集中裁荷时的复应力函数基本解；当孔周作用任意分布外载时，通过基本 解的迭加，得到了级数形式的近似解或封闭形式的解析解；同时，上述基本解对于应用边界 元法求解复杂边界压电材料的平面问题具有重要意义。 关键词压电材料，椭圆孔，平面问题，基本解，复变函数 引 言 压电材料因具有正、逆压电效应，常被用来制作各种智能传感元件。与常规材料类似， 由于压电材料内部的孔洞，夹渣等缺陷引起的局部应力集中和电量不均匀性常常是引起此 类元件非正常失效的关键因素之一·因此，研究含孔压电材料的应力集中问题具有重要的 工程意义。 对于含椭圆孔压电材料的平面问题，Sosa川，Chung et al分别应用复变函数法和 S女oh公式对其做了研究；但Sosa的研究仅限于压电材料在远场受均布外载作用时的情形， Chung et al的研究主要是针对孔周受一般载荷的情况。本文应用复变函数解析延展原理， 给出了在椭圆孔外任意点作用任意集中载荷时的复应力函数基本解；利用该基本解，得到 了孔周作用任意载荷时的一般解；更重要的是，该基本解可作为边界元法的基本解，以求解 复杂边界压电材料的平面问题。 *本文收精日期：199%年10月 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
第巧 卷第3 期 199 8 年 8 月 工 程 E NG 环正E和[N G 力 学 州田C H A] 爪C S V o l . 15 N o . 3 A n g . 19 98 含椭圆孔压 电材料 平面问题的复变函数解 ’ 下当于学岁 之土 l不U ,了了石 董登科 (南京航空航天大学 , 南京 2 10 0 16 ) (飞机强度研究所 , 西 安 7 10 06 5 ) 提 要 应 用复变 函数的方法 , 对于含有椭圆孔压 电材料的平面 问题 , 导出了在椭圆孔 外任一 点作用任意集中载荷时的复应力函数基本解 ; 当孔周作用任意分布外载时 , 通过基本 解的迭 加 , 得到了级数形式的近似解或封闭形式的解析解; 同时 , 上述基本解对于应 用边界 元法求解复杂边界 压电材料的平面 问题具有重要意义 . 关健词 压 电材料 , 椭圆孔 , 平面问题 , 基本解 , 复变函数 一 、 5 ! 胃 压电材料因具有正 、 逆压电效应 , 常被用来制作各种智能传感元件 . 与常规材料类似 , 由于压电材料 内部的孔洞 , 夹渣等缺陷引起 的局部应力集 中和电t 不均匀性常常是引起此 类元件非正常失效的关键因素之一 因此 , 研究含孔压电材料的应力集中间题具有重要的 工程意义 . 对于含椭 圆孔压电材料的平 面问 题 , s os al ] , Chu 鹅 et 。 112 分别应用复变函数法和 S tr 曲 公式对其做了研究 ; 但 Sos a 的研究仅限于 压电材料在远场受均布外载作用时的情形 , Ch山唱 et al 的研究主要是针对孔周受一 般载荷的情况 。 本文应用复变函数解析延展原理 , 给出 了在椭 圆孔外任意点作用任 意集中载荷时的复应力函数基本解 ; 利用该基 本解 , 得到 了孔周作用任意载荷时的一 般解 ;更重要的是 , 该基本解可 作为边界元法的基本解 , 以求解 复杂边界压电材料的平面问题 . * 本文 收稿 日期 : 19 9 6 年 10 月
含椭圆孔压电材料平面问题的复变函数解 99 二、基本公式 考虑一横观各向同性压电材料，取其各向同性平面与x一y平面平行，下面我们研究 x-z平面内的二维问题。与文献[1一致，取坐标轴代换：x→x,2→x2,则x,-x2平 面内的应力0。，位移4，电场E,和电位移D,可表示为： {o,-o12,ci}=2Re∑L,4tp4(2)24=x,+44x (1) (uu)=2Re(p.9(z),Im>0 (2) (E,E,)=2Re2x4:0:a) (3) D,-D,}=2Re224,0,a,) (4) ps=a14+an-b元k,9k=(aart+aa-bm元t)l4g ,=-+gL+,K4=o。+6nah4,e)=dp.a/d4 6i4+6n 其中，a,b,6,分别为弹性常数、压电常数、介电常数；4：为互不相等的复常数，由特 征方程确定， 力，电位移及电场的边界条件可表示为： 2Re.()=-:ds (5) 2R24,ee,)k (6) 2Re22,o.e,)=-D.d (7) 2Re∑xpa)=E,dr (8) 其中，1,1，为边界上外力的直角坐标分量；D,为电位移的法向分量；E为电场的切向分 量，5为弧长 本文假定在边界上应力、电位移给定，因而引人下列矩阵： 11 {p}=(p1,p2,p) (9) f}=(d,d,-Dd)',f}=u,4,0Ed) ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
含椭国孔压 电材料平面问题的复变函数解 二 、 基 本 公 式 考虑一横观各向同性 压电材料 , 取其各 向同性平面 与 x 一 y 平面平行 , 下 面 我们研究 x 一 : 平面内的二维问题 . 与文献【1」一 致 , 取坐标轴代换 : x 一 x : , : 分 x : , 则 x , 一 x : 平 面 内的应力口。 , 位移 u , , 电场 E , 和电位移 旦可表示 为川: 、产. 、 , 产 ` ,且, 硬、了.气2 { 。 2 2 , 一 。 , 2 , 。 , , } = Z eR Z 毛` , 产* , 召; }必 * ( z ` ) z * 一 x : + 产* x Z k 二 l 3 { u , , u Z } = Z eR 艺{户* , 。 * } , * ( z * ) , hn 刀* > 0 、 、夕. 声、 内 产、. 了ù片月, .、 、2 3 (E : , E Z } = Z eR 艺 ` * 毛` , 产* }必 * ( z * ) k 二 1 3 {D , ,一 D Z } = Z eR 艺` * {产* , `}砂 . ( z * ) k = l = a : : 产丈+ a 12 一 b Z: 兄, , ( b Z; + b l 3 ) 1 孟 + b 22 q ` = ( a 1 2刀卜 a 2 2 一 b 2 2兄七 ) / 产* 占: ;尸卜 占二 尤* = (b 1 3 + 占l ; 兄* )户* , 沪 * ( z * ) = d尹* ( z * ) / dr 七 几礼 其中 , a , , b , , 占, 分别为弹性常数 、 压 电常数 、 介 电常数 ; 产* 为互不相等的复常数 , 由特 征方程1 确定 . 力 , 电位移及电场的边界条件可表示为: ` 、 尹、了夕. à气 ù 6 J 了.吸、 , eR .气 客 , 众 (z 几 , = 一 ’0tJ 2山 , eR客 产* , 众 (z * , = ’0tI ! “ 、 、尸. , 、尹. 7 了 0 .、 J 、 Z eR X 又* , * ( z * ) = 一 ’0tJ ds , eR客 一 , * `一 , = ’0sJ · ds 其中 , t l , t Z 为边界上外力的直角坐标分量 ; fD 为电位移 的法向分量; E : 为电场的切向分 量 ; ` 为弧长 。 本文假定在边界上应力 、 电位移给定 , 因而引人下列矩阵: {沪卜 (切: , 沪2 , p 3 ) 了 ( 9 ) , 月. ! l se -J ó飞J Pùó Kq P `,内乙 际比日阮 Kq ì 一 d A 一 ! l 胜 I l we l 产兄l 产兄1 刀又1 尸les l lL 一 1J. A 、f ’ } 一 (一 , Z ds , s0tJ ; dr ,一 sa0J ` ) r , 仃 ` 卜 ( u : , u : , 分 : ds ) 了
100 工程力学 其中，“T”表示矩阵转置，则式(2)，(5)~(8)可重新表示为： [A]{}+[A']{=f} (10) [A]K}+[A]{®}=f} (11) 可证：当4互不相等时，【A】,[A]均可逆，故有： {}+[S]{=[]{f) (12) {}+[d]{@}=[]f}》 (13) 其中，下列矩阵符号被引进： [=[A'][A]=[sw] [d]={A][a]=[dg] []=[A']=[] []=[A]=[Ag] 同时，式(12)，(13)又可展开为： )+套，P回-空 (14) pa)+2d,p,-2心 (15) 三、复势函数基本解 如图1所示，压电介质被一自由椭圆孔T削弱，在任 X2 意点2，处作用任意集中力1。+t如和集中点电荷2。，此时 复势函数可表示为： (z)=AIn(z-z0)+o(z) (16) b a 其中，2o=x1。+4xo,Po(2:)为(T:由T经映射： X1 2,=x1+4kx2所得)外部全纯的函数，且P0(⊙)=0，Ak为 图1椭圆孔受集中载荷 复常数。 把式(16)代人式(12)，(13)，并计算绕z。点旋转一周时相关量的增量：由静力平衡条件知， 外力主矢增量为-（化。+t如）；由高斯通量定理知，Dd=2。；由电场环流定理 知，E,d=0;由位移单值条件知，位移增量为零；而(z:-zko)的增量为2π；由此可得 确定A的代数方程： {A-S]a=,]U6) (17a 2n {A)-[d{A={0 (16) 其中 {A}=(A1,A2,A3) f6}=(2,-4,-2) 由式(17)得： 4=2aa-5不U 2n ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
10 工 程 力 学 其中 , “ T ” 表示矩阵转置 , 则式(2) ,( 5) 一 ( 8) 可重新表示 为: [A , ]{必} + [ A ’ l {砂} = 毛f , } ( 10 ) [注d ]{必} + [万 d ]{厌卜 {’/ d } ( 1 1) 可证: 当 产* 互不相等时 , 日 ’ 】 , A[ 寸 ]均可逆 , 故有 : {沪} + [S ] {砂卜 [才 ]{f , } ( 12 ) 毛必} + [J ] {厌} = [矛 ]{f d } ( 1 3 ) 其中 , 下列矩阵符号被引进: [S ] = [A ` ] 一 , [万 ’ ] = [ s , ] [’A ] = [A ’ l 一 , = [弋 ] [d ] = 【A 才 ] 一 , [万 才 ] = [d , ] [dA ] = [A 才 l 一 , = [璐 ] 同时 , 式( 12 ) , ( 13 )又可展开为: 、了.J J 透 . . 、ù 且.,1. 矛 ` . 了.、 、 3 3 , * (z * 卜 艺凡砚 . 吞万 = Z 戈’f, J 二 l 户 l 3 3 , * (z * 卜 艺心石五下 二 艺瞬刀 三 、 复势函数基本解 如图 l 所示 , 压电介质被一 自由椭 圆孔 厂 削弱 , 在任 意点 z 。 处作用 任意集 中力 lt 。 十 t Z。 和集中点电荷 Q 。 . 此时 复势函数可表示为: p * ( z * ) = A k in ( z * 一 z 。。 ) + p 二 。 (z 。 ) ( 1 6 ) 其中 , z * 。 = x : 。 + 户* x Z。 , p 二 。 ( z * ) 为 几 ( 几 由 r 经 映射: z * 二 x , + 产* x Z 所得 )外部全纯的函 数 , 且 式 。 ( co ) 二 众A * 为 复常数 . 图 1 椭 回孔受集中载荷 把式( 1 6 )代人式( 12) ,l( 3 ) , 并计算绕 z 。 点旋转一周时相关 t 的增量: 由静力平衡条件知 , 夕卜力 主矢 增量 为 一 ( t l 。 + it Z。 ) ; 由高斯 通里 定理 , ,知 , 乡几ds = 0Q ; 由 电场环 流定 理 知 , 乡 E , ds = ” ; 由位移单既 件知 , 位移增量 为零 ; 而 nI ( z * 一 2 . 。 ) 的增量为 2` ; 由此可得 确定 A * 的代数方程 : I A } 一 [ S ]{A } { A } 一 l d l{ A } 牛A’[ ]优} 艺瓜 { 0 } ( 1 7 a) ( l ’7b ) 其中 由式( 17 )得: { A } = ( A I , A Z , A , ) r ’f{0 } = ( t Z ,一 t : , 一 0Q ) r { , ) = 一 共(rJ ] 一 [: ]) 一 , l牙一伏 } 乙夕口
含椭圆孔压电材料平面问题的复变函数解 0创 同时，式(17a)又可展开为： (18) 又因保角映射函数： z=R:(S:+ms) (19) R=(a-iμb)/2,mk=(a+iμb)/(a-i4b) 分别把z,平面上椭圆孔T,外部保角映射为同一单位圆y的外部，并注意到： n(2-2)=n[R,(64-5o1-m-刀 550 =lR,0-基X座-5o】 (20) =nl-)+hlR,(2-5w】 k0 其中，5o为z的象，5o>1;又因521，ms1,所以 s1故R会-5训为y 外部全纯的函数，则由式(16)，(20)得： p()=A4n(1-)+p02),5.∈y外部 (21) 5k0 其中，Po(2)为y外部全纯的函数。 将P(5)向单位圆Y内部做下述解析延展： 。5∈y内部 (22) 则延展后，P(5)可表示为： p:(5x)=A,hn(1-3)- (23) 其中，Po(5)为除Y之外，处处全纯的函数. 在孔周上，54=o=e°，则由式(14)、(22)，其边界条件可表示为： p(o)-p(o)=0 (24) 把式(23)代人式(24)，得四Po(5)=0,由此得复势函数基本解： 6,-A-会）-宫，不0- (25) 四、孔周作用任意分布外载时的解 当集中载荷作用在孔周上时，5。=σ。，则由式(25)整理得： ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
含椭圆孔压 电材料平面问题的复变函数解 同时 ,式( 17 a) 又可展开为: A * 一 艺凡风 = 六客 “ `;f0 J 一 压 ( 1 8 ) 又因保角映射函数: z * = R * (` * + 。 * 杏夏 , ) R * = ( a 一 i召* b ) / 2 , 二* = ( a + 扭 * b ) / ( a 一 扭 ; b ) ( 19 ) 分别把 z * 平面上椭 圆孔 kr 外部保角映射为同一单位圆 r 的外部 ,并注意到: nI ( z * 一 z k 。 ) = nI [R 七 (芬 。 一 ` 。。 )( l 一 m k 杏 * ` * 。 = 、 R 七 “ 一 鬓 ,`会 一 ` * 。 , , = in “ 一 鑫 , · in【R * `会 一 ` 舌。 , , ( 2 0 ) 其中 , : t 。 为: * 。 的象 , }: k 。 } , , ; 又因 }: * } 之 , , }、 } 、 , ,所以 }李} 、 , , 故 。 【R * (李 一 ; k 。 )】为厂 }` * } 马* 外部全纯的函数 ,则由式( 16) , ( 2 0) 得: ` * 、 . _ 二 , _ 、 , _ _ . .I L * 尹* ( z k ) = A k l n (l 一 寻乙 ) + p 二屯( z * ) , 杏 * 。 y 外部 ( 2 1) ` 七。 ` 其中 , p 二(气 ) 为 r 外部全纯的函数 . 将 p * (芬 * ) 向单位圆 r 内部做下述解析延展: 启 _ 1 ` _ . ` _ 汽 “ 七 ’ 二 一去 `洪`刻 , “ * 任 ” 内 都 (2 2 ) 则延展后 , p * (` * ) 可表示 为: , * (` * 卜 A 七 in “ 一 鑫 , 一 X s, 凡I n ( , - 自 。 ` * ) + 尹 k。 (` * ) ( 2 3 ) 其中 , 汽 。 (` * ) 为除 r 之外 ,处处全纯的函 数 . 在孔周上 , ` * 二 。 二 。 eI , 则 由式( 14 ) 、 ( 2 2) , 其边界条件可表示为: 、了、产.. 4 . f ù 了`, ` 、 、了. p 奋( 。 ) 一 p 夏( a ) = o 把式〔23 )代人式(24 ) , 得’[] 尹* 。 (` * ) = 0 , 由此得复势函数基本解 : 否 * 、 尹k L白去 ) = 入介i n 叹i 一 气丁一) 一 ` * o 艺 s , 风I n ( , -众 , 四 、 孔周作用任意分布外载时的解 当集 中载荷作用在孔周上时 , 头 。 二 口 。 , 则 由式( 25) 整理得:
102 工程力学 p6.)=4a.+4-2-京，不h-会 (26) =A6.+(4-2,4加1-2） 把式(18)代人式(26)得： ,Ai*品字A-会 (27) 又因 1，放有0一受分-宫授，所以当孔周作用任套分布的外酸 4,(S),t2(S),n(s)时，由式(27)和迭加原理得： p.《6)=A4+2a5 (28) 其中 .2,间-4间-，2加a (29) 当外载给定时，完成式(29)的积分，得ak,-m,，再由式(28)即得P[5(2】. 五、算 例 1.自由椭圆孔远处受均布载荷时的解 X2 如图2所示，自由椭圆孔远处受均布的机械载荷 D σm,口2，σ2和电载荷D,D,,则由迭加原理，复势函 数可表示为： Pg(zx)=Cz4+P(zk） (30) 6 其中，C.为复常数，由∞处的外载及回转确定；C2:对 x 应于无孔平面在∞处均匀受载时的复势函数；P0(?x)对 图2椭圆孔受均布载荷 应于有孔平面在孔周作用分布外载t1(S),12(s),2.(s)时 的复势函数，其中1(s),1,(s),2.(s)为无孔平面远处受载 时，在椭圆孔相应位置上产生的载荷，参考图3，这些载 荷可表示为： t=i cosa+oi sin a 2 t2=o sin a+o cosa 2n=Dn=D°cosa+D,sina 00 把式(31)代人式(29)，并应用下列关系式： 图3外载分量间的关系 ds cosa=dxz (31a) ds sina =-dx (31b) ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
102 工 程 力 学 尹* (` * ) = A * I n 芬 * + A * I n ( l 一 玉、 ` * ’ 3 一 艺 s , 凡I n (` - 玉、 ` * ` = A * I n 杏 * + ( A * 3 一 艺 s , 风) , n ( , - ( 2 6 ) 臀 ) , k 把式( 1 8 )代人式 ( 2 6 )得: p * (` * ) = ` 。 nI ` * · 六 `客 、 、 , in “ 一 瓮 , ( 2 7) 又 因 }叫 、 : , 故有 , (n , 一 孚) = 一交级翻 · , 所 以 当孔 周 作用任 意分 布 的外载 }` * } ` , 霄 n ` 。 t , ( s ) , t : ( s ) , 么 ( s ) 时 , 由式( 2 7) 和迭加原理得: , * (芬 * ) = A * in ` * + Z a * . 一 。 兵 ” ( 2 8 ) 其中 a k 一 _ , = 一 兴 { [’Ak , , 2 ( , ) 一 成 2 , ; ( : ) 一 从 3么 ( , ) ] 。 · , 艺用 11 ` y ( 2 9 ) 当外载给定时 , 完成式( 2 9) 的积分 , 得气 一。 , 再由式( 28 )即得 p * g 七 (z * )] . 五 、 算 例 , . 自由椭国孔远处受均布载荷时的解 如 图 2 所示 , 自由椭圆孔远处受均布的机械载荷 口 几 , 口 鑫 , 口几和电载荷 D厂 , 鳄 , 则 由迭加原理 , 复势函 数可表示为: p * ( z * ) = C k z . + p * 。 ( z * ) (3 o ) 其中 , c , 为复常数 , 由的 处的外载及回转确定; ` . kz 对 应于无孔平面在 。 处均匀受载时的复势函数 ; p 。。 (z * ) 对 应于 有孔平 面在孔周作 用 分布外载 t : ( s ) , t : ( s ) , 忿( s ) 时 的复势函数 , 其中 t : (s) , t : (s) , 忿 (s) 为无孔平面 远处受载 时 , 在椭圆孔相应位置上产生的载荷 ,参考 图 3 , 这些载 荷可表示 为: t , = 。 二e o s a + 。 几s i n a t : = 。 孤s i n a + 。 孔e o s a Q 。 = D , = D 厂co s a + D 犷s i n a 把式 (3 1 )代人式( 29 ) , 并应用下列关 系式: ds co sa 二 dx Z d s s i n a = 一 dx - 图 2 椭圆孔受均布载荷 图 3 外载分t 间的关 系 ( 3 l a) ( 3 l b )