式(1.2-51)是带电圆板形成的电场在单位圆盘内部(0≤r<1)的电位保持恒定这一条件 的积分表达式；而式(1.2-52)则描述了在单位圆盘外(r>1)是完全绝缘的状况。 在第五章，将利用Hankel变换导出上述对偶积分方程组。 积分方程的重要性在于它能反映积累或遗传的情况，在这种场合，状态()受到它以前 全部值改为的积累所产生的影响。 10.一-种传输系统 研究一种线性的传输系统，设(t)是系统的输入量，而s(t)是系统的输出量；A(t)表示 “传输的响应特性”，即当(t)是单位阶跃函数时 0(t<0) P(t)= 1上(t>0) 所对应的输出量s(t)。此时成立[] 5(t)=(t)A(0)- )是A-rdr (1.2-53) 即 g(t)A(0)- )是A-dr=s) (1.2-54) 下面以一个具有惯性的测量系统为例进行讨论。这里惯性是指当初始输入量等0，然后 突变为1，则仪器指针不是立刻指到读数处，而是经过~段时间逐渐到达读数处。 设指针按规律 A)=1+e=1 (1.2-55) 2t 从读数1/2处逐渐改变到读数1处，于是产生这样的问题：如何按从仪器指针观察到的读数 s(t)去求输入量gpt)的变化规律。这个问题归结为从第二类Volterra方程(1.2-54)解出p(t) 来。 当s(t)=1,即如果在任何时刻测量仪器的读数总是1时，所测其的输入其(t)的变化规 律以可通过解(1.2-54)得到，式中A(t)由式(1.255)给出，s(t)三1 在$7.3中，将给出上述方程的近似解。 11.绳索的扭转 在施加一个扭矩m(:)使一条绳索（或一根棒）扭转时，假定扭转在初始时刻t立即产生， 且在t之前没有施加其他扭矩，则为使此绳索（或棒）扭转角度w()所需施加的扭短m()与扭 转角w(t)成比例，即 m(t)=ho(t) (1.2-56) 但实际上，为使得绳索扭转角度仙(t),扭矩是在个时间区间内施加的。此外，由于在 t之前，即在（一○，）内所施加的扭矩会改变绳索的物理性质，因而对时刻t的扭转产生影响， 因此在时刻t的扭转角如(t),依赖于时刻t的扭矩以及在时刻t之前时间区间（一o∞，）内的扭 矩。 绳索扭转的静平衡问题可以表示为 m(t)=ho(t)+t,t)w(r)dr (1.2-57) -.15-
式(1.2-57)是未知函数w(t)的…个第二类Volterra方程，式中h是“个常数；(t,x)是一个 已知函数，它表示t之前的扭矩如何影响绳索的物理性质因而影响时刻t的钮转角。(t,x)作 为代替式(1.2-56)中之常数h的比例系数，反映了在时刻t,对t之前连续施加的扭矩m(r) (…o<x<t)起多大的影响。 由时刻x所施加的、使绳索扭转角度为w(x)△x的扭矩，在时刻t所产生的扭矩增量为 (:,x)u(x)△x.把区间一<x<t内所有的扭矩相加，就得到最终所施加的扭矩 m(t)-)o(r)dr (1.2-58) 这样，为了使一条绳索产生一个扭矩m(t),确定扭转角的变化率应取多大这一问题，就 化为解w(t)的-个第一类Volterra方程(1.2-58)。 t,x)一般依赖于两个交量t与x,如果以t,x)依赖于t与r的差t一t,即 r(t.x)=9(t-r) 则式(1.2-58)就是一个卷积型的Volterra方程。 12.摆的受迫周期振动 一个摆在周期驱动力的作用下，作有限受迫周期振动，摆的振幅(t)满足下列非线性微 分方程 u"(t)+a2sin u(t)=G(t) (1.2-59) 式中a为常数，G为周期为2的奇函数。 为寻求方程(1.2-59)的周期为2的解（即在t=0及t=1时均为零的解），引入 jt(1-s)(0<t<s<1) ,)=1-)(0<s<t<1) g(t)=[kG,s)G(s)ds F(s,f)=-a2sin[f-g(s) 于是f=g十u满足方程 f(t)+k(,5)FCs.f(s)ds =0 (1.2-60) 式(1.2-60)是一个Hammerstein方程. 参考 文献 1ΠeTpoBCKMA II.积分方程论讲义，北京：高等教育出版社，1954 26 陈传璋等.积分方程论及其应用.第1版.上海：上海科学技术出版社，1987 3 KpacHOB M JI M Ip.HHTerpaiLHble ypaBueHna,H3I 2-e,Mockna M.,"Hayka",1976 4 Jerri A J,Introduction to Integral Equations with Applications,New York,Marcel Dekker,Inc.,1985 5 Froberg,Carl-Erik.Numerical Mathematics.Theory and Computer Applications.Califor- nia:Behjamin/Cummings.Inc.1985 6 Logan,J David.,Applied Mathematics.A Contemporary Approach,New York:John -16-
wiley &sons.Inc.,1987 7 JTyabe A H.OnepaunoHoe MeuncJtenne H ero IIpnnoxeIa K 3anaun MexaHHKH 1951 习 题 1.验证gx)=1一x是积分方程 儿egea=x 的解。 2.验证积分方程 )=dr≤xt≤1) 除了客解p(x)0外，具有形如 g(x)女cxl 的解，式中c为任意常数。 3.骏证以=1一是积分方程 xVx t)dt=】 Jovx-t 的解。 4、 把以下微分方程的定解问题化为对应的积分方程。 ∫y"+y=cosx (12 y(0)=0,y'(0)=1 (2) ∫y”+(1十22)y产cosx y(0)=0,y(0)=2 y+=f✉)(<x<】 (3) y(0)=0, 》=0 a00 5.把下列积分方程化为薇分方程的定解问题再求出解来： 1)pr)=t-。epta (2)d =2e池+1 --17一
第二章第二类Fredholm方程 第二类Fredhoim积分方程，在理论与应用上都有很重要的意义，所以首光对这类方程进 行讨论。 对于一般的第二类Fredholm积分方程，当参数入的值较小时，可以用逐次逼近法求解。 Fredholm提出了参数A取任意值时，求第二类Fredholm方程的方法-Fredholm方法。退 化核的第二类Fredholm方程，可直接化为代数方程组。本章讨论上述求第二类Fredholm方 程分析解的方法，并建主第二类Fredholm方程的基本理论-一Fredholm定理。 对称核及卷积型的第二类Fredholm方程将分别在第三章、第五章进行讨论。 §2.1逐次逼近法 考虑第二类Fredholm方程 以x)-afa(x,t)p)d址-fx) (2.1-1) 假设(x,t)与f(x)分别在a≤x,t≤b与a≤x≤b内连续，因而是有界函数；1k(x,t)|≤A, f(.x)川≤B,则对充分小的A,可以用逐次逼近法证明方程(2.1-1)的解存在。更一般地，当 f(x)在〔a,b们上平方绝对可积，即存在正常数D,使得 ()Pd- 同时(x)关于x,t平方绝对可积，且它的绝对值平方关于单变量的积分是一个有界函数， 即存在正常数C,使得 jle,wt<c 时，上述结论也是成立的」 把方程(2.1-1)记为 )=f)+A(,ged (2.1-2) 取f(x)为零次近似 9(x)=f(.x) (2.1-3) 将%(x)代入方程(2.1-2)的右端，把所得结果作为-次近似 ()=f(x)(,t)(t)dt (2.1-4) 依次类推，即按下列规则作函数序列(x),(x),9(x), ()=f()+k(,t)(t)dt (2.1-5) .a -18-
(x)-f(o)+(xg()dt (2.1-6) … 定理2.11设核x,)及自由项fx)连续，A<Ab。则函数序列织)在区间 〔a,b)上一致收敛于积分方程(2.1~1)的解p(x)。 证明把式(2.1-3)代入式(2.1-4)，得 (x)=f(z)+(t)f()dt 然后代入式(2.1-5)，得到 ga）-f）+ir,efed油+x刘jr,A,dd 改变上式最后一项的积分顺序，得 ge)=f)+Ax,i)fe+f,(x,ufw)dm 其中 k1(x,t)=(x,t) k(u)-k (zt)k (t,u)dt 类似地可得 ()=f()k()f()dr+()f( …+-克-1（红，fe)+x点.(x,e0f)d 其中 e,(x,）-克(c,w)k-u,t)dw (2.1-7) kn(x,t)称为n次迭核。 如果.(x)当→x时的极限(x)存在，则 ()=f)）+r,0fed++f色.（红fr+… (2.1-8) 为了证明上述级数的一致收敛性，估计积分(x,)f()dt,显然 |:c,w1≤lkx2)1山≤46) Iez,≤flk(e,t:,w)1d业≤A6a Ik.(x,u)l≤∫k,(e,t)k-t,u)dt≤A(b-a) 因此 心l,z,f(udu≤Ar6-ar-fa)id≤B6-ar 因而数项级数】 B4Ab-ay是级数(2.1-8)的践级数.当a<Aa时，此数项级 --19--