一、复变函数导数与微分 定义2.1设函数w=f(z)在点z的某邻域内有定义 。+△x是邻域内任意一点， △w=f(z+k)-f(z),如果 lim 4"=lim,+4)-f）=4有限值 k→0 k 则称函数f(z)在z,处可导，A称为函数f(z)在z处的 导数，记为f'(zo),即 f')=lim3+4)-f) 4k-→0 k
一、复变函数导数与微分 是邻域内任意一点， 设函数 在点 的某邻域内有定义 z z w f z z , + = 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) lim lim ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 有限值 ，如果 A z f z z f z z w w f z z f z z z = + − = = + − → → 0 0 0 导数，记为 ，即 则称函数 在 处可导， 称为函数 在 处的 '( ) ( ) ( ) f z f z z A f z z z f z z f z f z z ( ) ( ) '( ) lim 0 0 0 0 + − = → 定义2.1
由此可得w=f'(z)k+o(IkD(z→0) 称f'(zo)4z为函数f(z)在z处的微分，也称函数 f(2在z,处可微。记作 df()=f)d 说明按任意方式趋于零： 2)f在z可导与fz)在z可微等价： 3)若f)在z处可导，则f)在z处连续 4当L→0时，A"的极限不存在，称f在，不可导 △
'( ) (| |) ( z 0) 由此可得w = f z0 z + o z → ( ) d f (z ) f (z )d z f z z f z z f z z 0 0 0 0 0 '( ) ( ) = 在 处可微。记 作 称 为函数 在 处的微分，也称函数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (z) z . z w ( ) z f z z f z z ; f z z f z z ; Δz 当 时， 的极限不存在，称 在 不可导 若 在 处可导，则 在 处连续 在 可导与 在 可微等价 0 0 0 0 0 4 0 3 2 → (1) 按任意方式趋于零； 说明：
例1证明f(z)=Rz在复平面上的任何点都不可导 证明 对于复平面上任意一点。 △fRe(z+△)-Re(zo)x+r-x △x △z △z Ax +iAy △x+i△y 当△取实数趋于O时，△f/△z→1； 人取纯虚数趋于0时，△f/△z→0； lim 不存在 △z-→0△Z 即f(z)在z,不可导，由于z的任意性，f()在复平面上 任何点都不可导 注意：f(z)在整个复平面上处处连续
例1 证 明 f (z) = Re z在复平面上的任何点都 不可导. z Re( z z ) Re( z ) z f z + − = 0 0 证明 对于复平面上任意一点 0 x i y x x x + + − = x i y x + = → → z , f z ; z , f z ; 0 0 0 1 当 取纯虚数趋于 时 当 取实数趋于 时 . z f lim z 不存在 →0 ( ) ( ) . f z z z f z 任何点都不可导 即 在 0 不可导，由于 0 的任意性， 在复平面上 注意：f (z )在整个复平面上处处连续
二、解析函数的概念与求导法则 1、解析函数的概念 定义2.2 如果f(z)在z及z的某邻域内处处可导， 则称f(z)在z处解析如果f(z)在z不解析，则 称z为f(z)的奇点。 如果f(z)在区域如内处处解析，则称 在D内解析，我们也说z是D内解析函数 如果f(z在区域G内解析，而闭区域上每 一点都属G,那么称(z)在闭区域0上解析
二、解析函数的概念与求导法则 称 为 的奇点。 则称 在 处解析如果 在 不解析，则 如果 在 及 的某邻域内处处可导， ( ) ( ) . ( ) ( ) 0 0 0 0 0 z f z f z z f z z f z z z D f (z) D . f (z ) D f (z ) 在 内解析，我们也说 是 内解析函数 如 果 在区域 内处处解析，则称 G, f (z ) D . f (z ) G D 一点都属于 那么称 在闭区域 上解析 如 果 在区域 内解析，而闭区域上 每 定义2.2 1、解析函数的概念
注1“解析”有时也称 “全纯”、“正则” 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析
注1 “解析”有时也称“全纯” 、 “正则” . 注2 函数解析性不是函数在一个孤立点的性质， 而是函数在一个区域上的性质. 注3 若函数在一点解析，则一定在这个点可导，反 之，在一个点的可导不能得到在这个点解析. 但函数在区域内解析与在区域内处处可导是等 价的. 注4 闭区域上的解析函数是指在包含这个闭区 域的一个更大的区域内解析