积分方程 (第二版) 沈以淡编著 北京理工大学出版社
序 本书是供科学、工程界人员学习积分方程理论与解法的一本入门教材或参考书。 电子计算机的出现，促进了计算数学的发展，在：解决科学、工程问题中，有限元法及边 界元法得到了广泛的应用。位势理论与积分方程（包括奇异积分方程）作为上述两种方法的数 学基础，日益受到重规。 微分方程和积分方程，都是描述物理问题的重要数学工具，各有优点。场的问题，用前 者处理通常比较方便，而后者在讨论源的问题时，显出它的优越性。对同一个问题，当用微 分方程描述时，由于在求近似解的过程中涉及数值徽分，所以往往引起较大的相对误差；而 如果用积分方程来描述，因为数值积分引起的相对误差较小，虽然计算量较大，但由于累积 误差较小，因而往往容易得到较理想的结果。当把区域上的微分方程化为在边界上的积分方 程时，由于维数降低，计算量减少，在数学上，利用积分形式讨论存在性、惟一性往往比较 方便，结果也比较完美。因此，如今“物理问题变得越来越复杂，积分方程变得越来越有 用”。 积分方程论的发展，始终是与数学物理问题的研究紧密相连的。通常认为，最早自觉应 用积分方程并求出它的解来的是Abel,他在1823年从解决力学上的等时曲线问题引出了后 来以他的名字命名的Abel方程。实际上，在此以前，I.aplace于1782年所提出的求Laplace 变换的反变换问题，就要求解出一个积分方程。Fourier实际上已求出了一类积分变换的反变 换，这相当于解出了一类积分方程。 积分方程论是泛函分析中最早得到发展的一个重要分支。它的形成与发展，对泛函分析 中许多基本概念（例如平方可积函数、平均收敛、算子等）的形成，对线性算子一般理论的创立， 以至于对泛函分析整个学科的形成，都起了重要的椎动作用。 利用泛函分析中全连续算子线性方程的理论，可以很简洁、方便地得到Fredholm线性积 分方程理论的结果。但由于读者掌握积分方程这一工具主要是为了解决本专业的问题，不应 该对他们的数学基础作过高的要求。因此，本书以具备大学微积分、线性代数基础的读者能 够掌握这一要求为出发点，来展开课程的内容。希望本书能为日后打算继续进修泛函分析的 读者提供一些具体的实例和背景知识。 为了适应读者全面学握理论和解决实际问题的需要，本书除了包含通常的线性积分方程 的理论与解法之外，还列入了一般教材中不涉及的奇异积分方程、非线性方程与方程组；对 求积分方程近似解及特征值近似值的数值方法，以及数学物理反问题中常出现的第一类方程， 都各设一章加以叙述。 为使读者能通过尽量少的篇幅获得尽可能多的信息，并提高他们解决问题的能力，本书 力求符合由浅入深的认识规律，在教学体系及内容叙述上没有因袭原有教材的框架，在结构 安排及逻辑顺序上作了较细致的考虑。有些内容在结构与处理方式上均与传统有所不同。根 据需要，作者增添∫某些重要结论并给出证明。对某些定理，为了便于读者领会其实质及作 用，对结论的文字叙述作了必要的变更。 -·1--
本书内容较为充实，讨论问题时从理论及实际的具体问题出发。内容安排力求科学合理， 方程的类型较全，几乎每种解法都有例题说明，便于读者掌握。为了系统地、准确地反映学 科的最基本的内容，使读者在数学理论水平上有所提，本书对重要的定理尽可能给出证明， 并对其中.些定理的证明，在不失严格性的情况下加以简化，而不过分追求学科本身的完备 性。 第章介绍积分方程的分类，并从数学本身及许多领域的实际问题引出积分方程、 第二至第四章叙述线性积分方程（主要是第一类方程）的基本理论与解法 第二章提出解Fredholm方程的逐次逼近法，Fredholm方法，并建立.了这种方程的基本理 论-Fredholm定理，还给出了退化核方程的解法。 第三章介绍了对称核方程的基本理论一Hilbert-Schmidt理论，它给出了与Fredholm 方法相互独立的另一种方法。Hilbert-Schmidt定理还用来处理第六章中的第一类对称核方 程。此外还给出非齐次对称核方程解的公式。 把常微分方程或偏微分方程的边值问题化为积分方程来研究，是微分方程理论的一种重 要方法（同时是推动积分方程理论发展的动力），在这一章还介绍了如何利用Green函数把常 做分方程边值问题化为积分方程。考虑到在-一般教材中通常不介绍常微分方程边值问题 Green函数的求法，因此本书把它列入附录中供读者参考， 第四章除了介绍第二类Volterra方程的逐次逼近法外，还介绍了把它化为常微分方程初 值何题的方法，而第-…类Volterra方程通常化为第二类方程去求解。 第五章叙述适用于各类（卷积型）方程的积分变换法，同时还介绍了在求Laplace变换（反 变换)中有重要作用的广义乘法定理。 第六章给出了第-类Fredholm方程的基本定理--Schmidt-Picard定理，还专列一节介 绍解这类方程的母函数法。 第七章介绍了常用的求积分方程近似解及特征值近似值的数值方法。 第八章简要地叙述了在实际上很有用的奇异积分方程的解法及基本定理。 第九章扼要地介绍了积分方程组与非线性方程的一些重要结论，给出了可以用逐次语近 法求解的条件。 在每章后都附有较多难易适当的习题，书末的附录有些是补充预备知识用的，另一些可 供读者解决实际问题时查阅。 在讲授本书时，可根据需要和可能来灵活安排课程。本书前五章可以组成所需学时数最 少的课程，如时间允许可添上第六、七章。最后两章相互独立，可根据需要选用其中的一章 或全部。后四章亦可不列入课程，供读者日后查阅。 在本书编写过程中，承各位师长、同行、同事的鼓励和协助，在此表示感谢。本书在为 工科研究生讲授多遍的基础上定稿，但其中难免有不当之处，请各位同行及读者不吝指正。听 课的研究生提出了不少有意义的问题和建议，对书稿的形成起了积极的作用。北京师范大学 陈方权教授详细地审阅了全稿，并提出了许多有益的意见与建议，作者在此一并致谢。 作者于1989年4月 -2…
第二版序 本书体系新颖，介绍的内容全面，并紧密结合实际应用，反映了该学科的最新发展、因 此H:版后能适合读者的需要， 为了适应研究生全面掌握理论和解决实际问题的需要，木书除了包括通常的线性积分方程的 理论和解法之外，还列入了·般积分方程教材中不涉及的，何在实际中很有用的奇异积分方程、非 线性积分方程、积分方程组。此外，还对求积分方程近似解及特征值近似值的数值方法，以及在目 前发展迅速的，数学物理反问题中常出现的第一类积分方程，都各设一章加以叙述。 本书深入浅出。为了使研究生能通过尽其的篇幅获得尽址多的信息，并促进他们解决问题能 力的提高，在教材展开时力求符合由浅入深的认识规律，而且在教学体系及内容安排上，具有独创 性，突破了原有教材的框架，对结构安排及逻辑顺序，做了周密的考虑。其中一些内容，在结构及 叙述方式上，均与传统教材有所不同。为了满足读者的需要，作者还增添了某些重要结论并给出址 明。为了减轻读者的负担，作者还独创性地给出一些定理的简化、巧妙并具有启发性的证明。为了 系统地、准确地反映学科的最基本的内容，促进读者数学理论水平的提高，本教材对重要的定理尽 可能给出证明。并对其中-些定理的证明，在不失严格性的情沉下加以简化。对某些定理，为了便 于读著领会它的实质与作用，作者还在结论的文字叙述上进行了必要的处理。 本教材的框架、结构与内容安排，曾与来访的国外学者交流过，得到很高的评价。 本书出版后，收到一些读者热情洋溢的来信，对作者的工作给予肯定与鼓励，在此表示 衷心的感谢。西安交通大学电气[程学院马西奎教授于1995年9月写信给作者。他在该校为 “电磁场与徽被技术”专业的研究生开设《电磁理论中的数学方法》课时，使用了本书。他在 信中说：“这本书的编写思想、体系及内容，与以往的教材相比，大有不同，具有比较鲜明的 特色，尤其适于上科类，便于掌握。对科研究生来说，学后即能解决论文过程中的积分 (方程)问题。”北京理工人学科技学院范天佑教授告诉作者，他在评审某些院校的傅士生毕业 论文时，见到有的博士论文中就引用了作者编著的《积分方程》，说明此书颇受欢迎。他还说、 此书除可做工科专业硕士研究生教材外，也可供理科专业硕士研究生参考。 作者从事积分方程的研究，结合研究工作，作者在编著本教材时，查阅了大量最新的外 文文献，因此书中包含了其他同类中文书不涉及的内容。本教材中一些例题，作者还亲自上 机试算过。由于本书介绍了不少最新的研究成果，因此一些研究人员，也把本教材提供的信 息，作为研究工作的工其和手段。在研究课题时，把本书作为重要的参考文献。大连理工大 学力学系的-一位博士后，廊坊陆军导弹学院5室的一位研究人员等，因研究工作的需要，还 来京与作者讨论《积分方程》一书中的问题。 2001年11月，本书申报全国研究生教学用书。在申报过程中，北京理工大学科技学院的 领导给予支持。北京理心大学出版社决定出版本书的第二版。 本书第二版由沈以淡主编，协助编写工作的有王季华、沈立、沈佳、王蓉庄、林韵、邓 以红、王须蓉、石敏达、赵俊、徐漫雪等。 主编沈以淡 2001年11月18日于上海
目 录 第一章积分方程的概念、分类及来源 1.1积分方程的概念与分类 母1,2积分方程的来源……… 参考文款……………… 16 习题………… 17 第二章第二类Fredholm方程 18 S2.」逐次週近法 18 82.2退化核方程 25 82,3 Fredholm方法… 30 母2.4 Fredholm定理…… 36 参考文献………… 45 习题… A-14T4815A424444F55414 46 第三章对称核方程…………… 50 3.1对称核方程及它的性质… 50 §3.2核关于特征函教的展开式 56 苓3.3迭核关于特征函数的展开式… 58 S3.4 Hilbert-Schmidt定理… 61 §3.5非齐次对称核方程的解 64 §3.6可化为对称核的方程……… 68 §3.7用Green函数解微分方程的边值问题 69 S3.85tekl0y展开定理……… 72 §3.9含参数的边值问题及对应的积分方程 3 §3、0对称核的第-一特征值正定核… 74 77 习题…… 77 第四章V6 terra方程…………… 81 s4.1第二类Volterra方程 81 S4.2第一类Volterra方程 87 S4.3Ab方程…… 89 参考文就…… 93 9q 第五章用积分变换解积分方程…………… 97 &i.1用Fourier变换解卷积型Fredholm积分方程 97 §5.2用Laplace变换解积分方程……… §5.3用Mellin变换解积分方程…… S5.4 Hankel变换有限上Hlankel变换 113 参考文就… …4,4…115 习题…小* …44……115 -【一