目 录 序言 第一章一次不定方程………… ………1 31二元一次不定方程……………… 2s(82)元一次不定方程 …… -……4 83关于一次不定方程的Frobenius问题……8 §4联立一次不定方程组…… ………………………13 第二章二次不定方程………………18 1Pell方程x2-Dy2=1…………18 82Peli方程x2-Dy2=-1…………24 83不定方程x2-Dy2=c………………28 84高斯关于二元二次方程的一个结果……35 85不定方程x2+y2=z2和x2+2y2=z2……37 ! 6不定方程a2+b2+ca2=0……40 第三章三次不定方程… …45 81解不定方程y2=x3+的初等方法…………46 §2关于代数数论… ……49 3解不定方程gy3=x3+k的代数数论方法………55 S4一些三元三次不定方程 + …-…61 85不定方程x+y3+z3+w3=n………66 第四章四次不定方程…………………69 1仅有平凡解的四次不定方程………………69 82递归序列与四次不定方程…………73 3不定方程x一Dy2=1…………………82 ·i
第五章费马大定理……………92 81初等方法 ……92 82代数数论的方法——岸默的工作………97 3其他一些结果………… …………107 第六章与连续整数有关的不定方程………110 81不定方程y2+1=x”……… …-110 82三个连续数的问题…………………113 83不定方程o?+1=y2…………119 4不定方程 -=(++1 -123 第七章某些指数不定方程………129 1一个关于商高数的猜想…………………129 §2不定方程x2+7一2”……………132 83不定方程=………………………137 第八章某些不定方程整数解的上界………142 81从hue的定理谈起……………142 2几类不定方程解的上界………………146 s3 Baker方法举例-……………………149 。·
第一章一次不定方程 在本书中，凡方程的解如未加说明，都指整数解」 本章将给出一次不定方程有解的充分必要条件和求解的 方法.对于多个一次不定方程联立的某些情形，虽然人们也 得出了有解的充分必要条件和求解的方法，但是远不如一个 时简单。一次不定方程与规划论有联系，它还有一些其他方 面的应用，例如本章介绍的Frobenius问题，就在合理下料等 实际问题上有应刑。 §1二元一次不定方程 二元一次不定方程是指 a1的十化2c2=忆， (1) 其中吐，2，%是给定的整数，12≠0. 我们有 定理1方程(1)有解的充分必要条仲是① (1,2）z (2) 证如集(1)有解，显然（②）成立 反之，不失一般，可设(1，a2)=1和>0,2>0，如 =1,则解为=%一22.若1>1我们用辗转相除法来求 ①在本书中，常以小写拉丁字母a,b,c,…代表幣数；设b卡0，b整除a, 以bc表示；(，)表示a,飞的最大公因数，我们假定读老知道求 (a,b)的辗转甜除方法。 。1
(1)的一组解.写 a=q1a1+r1,0<r1a1,(r1,)=1, 则 =一g十二Tg十t=一g2十%， 这里 r1x2十1父8=九， (3) 由于，的值可以给出x1,这样，求(1)的解化为求(3)的 解。写 ai=9ar1+r,0<4<1,(r2,71)=1, 则 2=一g243十-Y2a+0=一ga十4， 91 这里 ”2花g十T1化4=物. (4) 这样，求(1)的解化为求(4)的解.以上步骤继续下去（即通常 求最大公因数的方法)，由于1>1>r2>…,在有限步后，有 re+1=0,而r±(a,ag)-1,且 k花+1十-1k+2r第， 其中k≥0，r0=a,?-1=g.于是，我们把+1=%一T-1+3 代入%的表达式，再把+1，代入-1的表达式，…，最 后可得（①）的含参数+的解.证完。 往后，在（①）有解的情况下，我门总可以假设(，a)=1. 以上的后一半证明是构造性的，即证明定理充分性的过程，实 际上就是求(1)的全部解的过程.(1)的全部解，可由以下定 理给出。 定理2没(1，a2)=1,则(1)的全部解可表为 x=0十gt,y=0一a1击， (5) •2
其中0，o为(1)的一组解，为任意整数. 证设为任意整数，把(6)代入()得 (t0十62)十g(yo一1)=a1o+0=, 故舌为任意整数时，(5)均为(1)的一组解. 反之，设c,1为()的任意一组解，由 a21十则1m见 和 1x0十20=第 可得 1(1-o）+g(1-yo）=0, 因(1,2)=1，所以21一，可设 花1一x0=21或文1=0十a21. 则 y1=0一411. 这就证明了(1)的任一组解具有形状（⑤）.证完. 例求不定方程 11的+15g=7 (6) 的全部解 由于(11,15)=1，故(6)有解.由16=1×11+4，可设 x1=一元2十8， 这里 42十1103=7， 由11-2×4+3，可设 g2=一2x8÷04, 这里 33十484=7， 由4=1×3+1，可设 g3=一比4十5) 这里 的4十36=7， 令s=t,可得 1=-28+15t,2=21一11， 其中为任意整数 03