解决这个问题就需要解上述以(x)为未知函数的积分方程(1.2-3)，该方程为第一类Fred holm积分方程。 (2)若已知作用于弦的力随时间t而变，且它在点x=ξ的强度为p()sin wt(w为正常 数)，则在此负载分布的作用下，弦作微振动，由于振幅微小，可设弦在振动时其上每一点的 横坐标不改变，此时弦的振动可以用y=y(x)sint表小。设弦在x=处的（质量）密度为 p(),则在时刻t,从点x=到x+d这段弦同时受到力p()sin wt d改惯性力 -p()d=p(y()sinde的作用。此时式(.2-3)成为 y()sin wt=G(,()sin p()y(E)sin wtd 约去公因子sin t,就有 x(=G(r,&)p(E)dec(x,6)p()y(d 再设 G(f) (1.2-4) 及 G(x,)()=k(x,),u2=A 就得到 y(r)=k(r,Ey(de+f(r) (1.2-5) 当函数p()为已知，因而f(x)为已知函数时，式(1.2一5)就是-个以y(x)为未知函数的第 二类Fredhoim积分方程。由式(1.2·1)，((0，)=G(l,)-0,再由式(1.2-4)，f(0)=f(1)。 2,存贮问题与线性动力系统问题 设(t)是个随时间t而改变的敏，且它按某种规律与过去或者未来某一时间区间内的 它本身的值相联系。在数学上，(t)的变化规律可以用以(t)为未知函数的积分方程来描述。 如果自变其不是时间而是空间坐标，情况是同样的。 ()存贮问题一个商店销售某些商品，设进货与售货是一个连续过程，买进的商品可 以立即出售。设在商店购进了商品后，在时刻t尚未售出商品的比例为()。现在要求确定商 店进货的速率(t),使得商店所存贮商品的总价值保持不变。 设商店在时刻t二0购进总价值为A的商品后开始营业，随后同时以速率(t)进货，在时 间间隔〔x,x十d内，商店购进商品的价值为g(x)dx,这些商品由于出售而减少。在时刻>x 时，尚未售出！商品的价值为 k(-r)o(r)dt 因此，在时刻t,尚未售出的商品，及到那时为止所胸进商品的价值之和为 Ak(t)+(-r)ge)dr 按要求，在任何时刻，商店所贮存商品总价值应保持不变，于是就有 A=Ak(t)+k(t-)(r)dr (1,2-6) ,5-
这样，所需确定的进货速率(t)是积分方程〔1.2·6)的解。方程(1.2-6)是一个第一类 Volterra积分方程。 如果任何一种货物可以在时间间隔？内出售，且每·一种货物平均在时间间隔T内售完， 则有 (t≤T) 0 (t>I) (2)线性动力亲统问题已知一个线性动力系统的输入信号为x(t),输出信号为y(t)。 众所周知，y(t)与x(:)的关系为 ye)=」8t,r)d 式中g(:,x)是由此动力系统确定的权函数。 如果当x>t时，g(t,x)=0,且当t<1o时，x(t)=0,则上式成为 y()=g(t,)x(t)ds (1.27) 这样，当要求从已知输出信号y(:)来确定输入信号x(t)时，就需要在给定y()的条件下，解 关于r(t)的积分方程（们.2-7）。式(1.2-7)仍是一个第一类Volterra方程， 3.常微分方程的定解问题 通常，微分方程的初值间题可以化为Volterra方程，常微分方程的边值问题可以化为 Fredholm方程. (1)一阶常微分方程的初值问题当(x,y)满足适当的连续条件，初值问题 dy(x)=f(x,y) (1.2-8) dr y(0)“Co (1.2-9) 的解满足方程 y(r)=C,+[ftu,y(u))du (1.2-10) 式(1.2-10)是y(x)的…个积分方程。 若f(r,y)关于x是线性的，则方程是线性Volterra积分方程；否则是非线性Volterra积 分方程。显然式(1.2-10)的任何（阶导数连续的）解，满足方程式(1.2-8)与初始条件式 (1.29)。 类似地，关于最高阶（阶）导数解出的任何n阶做分方程 y=f(x,y,y,…,y") 满足条件 y(xo)=Co,y(zo)=(1,…,y-(x）=Cn-1 的定解问题，可以化为等价的非线性Volterra积分方程组。 (2)n阶线性微分方程的初值问题系数a,(x)(i=1,2,…,n)连续的n阶常微分方程 是+a)++ay=) (1.2-11) -6-
满足初始条件 y(0)=Co,y(0)=C1,,y-1(0)=Cn1 (1.2-12) 的定解问题，可以化为解第二类Volterra积分方程. 以下以二阶微分方程为例来加以说明。对于二阶方程的初值问题 +y+a()y=F(r) d2y (1.2-13) dx y(0)=Co,y(0)=C1 (1.2~14) 设 器-g (1.2-15) 上式两端关于x积分、利用初始条件式(1.2~14)，依次得到 8器-jt+c (1.2-16) edt+CJdu+Codd +Cu+C -=a-twgu)d+x+C。 (1.2-17) 利用式(1.2-16)、(1.2-17)，可以将定解问题式(1.213)、(1.2-14)化为积分方程 x）=(,t)gt)d+f(z） (1.2-18) 式中k(x,t)=-Ca(x)+u2(x)(x-t) (1.2-19) f(x)=F(x)-C1a1x）一C1za2(.x)-Cua2(x) (1.2-20) 式(1.2-18)是-个第二类Volterra积分方程。 求解由式(1.2-19)、(1.2-20)确定的(x,t)与f(x)所对应的积分方程(1.2-18)，再把 解代入式(1.2-17)就可以得到定解问题式(1.2-13)、(1.2-14)的惟-解。 对于n阶微分方程的初值问题，可以按与上述类似的方法，并利用下列公式 fdad…faar=apfe-wyrfad (1.2-21) 化为等价的第二类Volterra积分方程。 例1.2.1确定下列定解问题 (y"-2xy-0 (0)s1 y(0)=y(0)=1 所对应的积分方程。 解设 =) dy 由式(1.2-21)及初始条件可得 2-jped+1 -d+1 …7
y=20c-ge+合+x+号 2J。 把以上三式代入原微分方程，就得到积分方程。 r)=。(xt)p)d+r+22+x 利用微分方程定解问题与积分方程的联系，可以把某些特殊的第一类或第二类Volterra 积分方程，化为对应的微分方程的定解问题来求解。 例1.2.2解积分方程 Je'"'po)dt r 解设 y=Je'pd (1.2-22) 则ey=a, 即 y=re-z (1.2-23) 式(1.2-22)两端对x求导.得 y'=eo(z) (1.2-24) 而式(1.223)两端对x求导，可得 y'e-:-.re-*-(1-r)e (1.2-25) 由式(1.2-24)、(1.2-25)，就得到原积分方程的解 r）=:1-x 例1.2.3解积分方程 )-od 解设 (1.2-26) 于是 yi -0 dz)=y+e (1.2-27) 由式(1.2-26)、(1.2-27) ysx)=y十e 这样，原积分方程化为常微分方程的定解问题 y-y=e y=0-0 解之，得y=xe'。再由式(1.2-27)，就得到原积分方程的解 x)=re'+e-(x+1)e n阶线性常系数微分方程的初值问题 8-
+a3+…+ay= dx" y(zo)=Co,y(0)=C1,.,y-1 (xo)=C-1 可以化为第二类卷积型（它的核仅依赖于x一t)Volterra积分方程 (z)=k(,t)(t)d:+f(z) 式中(x,)=一 含贵器 f(x)=F(x)-a,(x)Ca-1-a2(x)(Ct-1x+C4-2)-… x-2 d.()C1 (+C(2)Cu+C) (3)常搬分方程的边值问题常微分方程的边值问题可以化为第二类Fredholm方程。 对于边值问题 +y=0 (1.2-28) y(0)=y(1)=0 (1.2-29) 令 d'y dri=r) 上式两边关于x积分，得到」 C. 上式两边再关于x积分，就有 ya)=∫jard+cx+G 交换积分顺序，得 y()defdu+C+C-(Cz+C: 由式(1.2-29)知，C2=0,且 1-gde+C=0 因此 =-- 6)p()de 于是 x)-(2-p)de-∫r1-g)aG 把上式右端的第二个积分表示为(0，x)、(x,1)这两个区间上积分之和，就有 y)=-〔51-z9)d+x1-)p)d) 再由式(l.2-28)可得第二类Fredholm方程 -G(d (1.2-30) -9