第六章第一类Fredhoim方程 ……………小120 苓6】特征值与特征函数退化核归程…………20 袋分.2S0 hmidt Picard定球……………………………125 令6.3逐次道近法………127 §6.4母函数法 …130 令6.5Sh6 mileh积分方陛…133 参考文献…………… 135 习题… 135 第七章积分方程的近似解法…………… 136 §7.1州退化核近似任意核 136 S7.2用数值积分法求积分归程的近似解…。 登7,3逐次過近法…**““………… ……………152 苓7.4待定系数（通近）法…… ”157 §7.5求对称核特征值与特征函数的近似方法 ……162 §7.6求一般核特征值的近似方法…… …172 参考文献… ……………173 订题…411*…“ 173 第八章奇异积分方程…… ………175 §8，】基本概念… 44…175 §8.2奇异积分方程的解法 …179 8.3 Nocther定理… ……………187 §8.4奇异积分方程组 +4…189 参考文献…… 444…190 习题 ……190 第九章积分方程组与非线性积分方程……… …………191 S9.1积分方程组……… §9.2非线性第二类Fredhoim方程… 4…4192 §9.3非线性第-类Fredholm方程… §9.4非线性第二类Volter灯u方程 +…202 及9.5非线性第一类Volterra方程… ………201 参考文献…… …4…………205 附录1广义【，eibnitz公式 50小505小4小50*541 ……207 附录2特殊核的Fredholm行列式表… …………………208 附录3特征函数表…… …209 附录4乙，(a,h)空间…… …………211 附录5常微分方程定解问题Gre函数的水法… 213 附录6 Green函教表… ………220 附录7 Euler积分…… …4222 附录8 Mellin变换表… 225 附录9 Hilbert变换与有限Hilbert变换… ……226 附录10 Cauchy型积分及其性质 228 附录11 Ricmann问题… 237
第一章积分方程的概念、分类及来源 本章介绍与积分方程有关的概念，并对它的分类加以讨论，最后介绍一些引出积分方程 的实例。 §1.1积分方程的概念与分类 1.基本概金 一般来说，-一个在积分号下出现待求函数的方程，称为积分方程。 含一个未知函数的积分方程的般形式为 a(x)e(z)=Ak(x,t)FCgt)]dt+f(a)(a≤x≤b) (1.1-1) 式中f(x),a(x),(x,t)为已知函数：Fi(t)门是(t)的已知泛函；u、b为常数。f(x)称为 自由项，(x,t)称为积分方程的核。入是参数，由于积分方程往往与特征值问题有关，凶此通 常把积分方程记为上述含参数入的形式。方程可能仅对A的某些值有解，也可能根本没有解。 出F[(t)门是(t)的线性泛函时，称为线性积分方程，它的一·般形式为 a(z)()=k(t)()di+f() (1.1-2) 若F〔g(t)门是g(t)的非线性泛函，则称为非线性积分方程。 刘果自变其的个数有2个或2个以上，称为多维积分方程，本书主要讨论一维积分方程。 2.方程的分类 积分方程可分为线性方程与非线性方程。对于线性积分方程又可以进··步加以分类。 按方程的形式分，可以分为第一类、第二类方程。 若待求的未知函数(x)仅出现在积分号内，称为第一类方程，例如 (t)g()di+f()=0 (1.1-3) 若未知函数既出现在积分号内，又出现在积分号外，则称为第二类方程，例 p(x)=A克(x,)g)d+f(x) (1.1-4) 若积分限都是常数，称为Fredholm方程：若积分限中有一个是变数，则称为Volterra方 程。 方程(1.1-3)是一个第一类Fredholm方程。 方程 )k()(t)dt f(z) (1.1-5) ·1-
称为第二类Fredholm方程。 方程 A'k(x,t）)p)d+f(x)=0 (1.1-6) 称为第一类Volterra方程；方程(l.1“4)称为第二类Volterra方程 Fredholm方程(1.1-5)与Volterra方程(1.1-4)的区别在于积分限，前者的积分限为常 数，后者的积分上限为变数。如果在a≤x≤≤b时取(x,t)=0,则Volterra方程(1.1-4) (或(1.1-6))化为Fredholm方程(1.1-5)（或(1.1-3）)，因此可以把Volterra方程看成是 Fredholm方程的特殊情况。但是由于Volterra方程的理论有独特之处，因此常常把它们分开 来加以讨论。 对于Fredhoim方程来说，第二类方程解的理论比较完整、完备，而第一类方程的理论至 今还不够完整，但由于解决数学物理反问题的需要，第一类方程的理论日益受到重视。对于 Volterra方程来说，在很多情况下第一类方程可以化为第二类方程，因此这两类方程的理论没 有本质上的差别。 积分方程还可以按核的性质加以分类 当k(x,t)是(x,t)的连续函数，或者(z,t)在区域a≤x,t≤b虽不连续，但平方可积，即 Pd 存在且取有限值时，称核(.x,t)为非奇性核或Fredholm核。 当是(x,t)具有以下形式 k(a,)= h(z,t) ix-t'o 式中h(x,t)为有界函数，常数0<a<1,则称为弱奇性核。 当(x,t)具有形式 (a,t)元a(x,t) x-t 式中a(x,t)关于x,t的偏导数存在。此时 Ax,ptu油= a(x,t) 。x,rt)dt 在通常意义下是发散的，但如果对(x)加上一定的限制，可使 i(dr) 存在，此时称(z,t)为Cauchy奇性核。 以上三种核所对应的方程，分别称为非奇性核（连续核）方程、弱奇性核方程、奇异积分 方程。弱奇性核方程解的理论与非奇性核方程的理论类似，但奇异积分方程的理论与非奇性 核方程的理论有本质的差别。使非奇性核积分方程的般理论不成立的一类积分方程，统称 为奇异积分方程，除了上述含Cauchy奇性核的方程外，它还包括积分限至少有一个为无限的 积分方程，例如方程 x)=Ap)sin xt d 等等。 一2
土述各种分类并不能包罗所有可能的积分方程，提出上述这些类型的出发点是，在实际 问题或理论问题中出现的积分方程绝大部分可以归入上述方程中的某·一种。 积分方程这一学科的基础是由Fredholm和Volterra奠定的，后来Hilbert及Schmidt对 它的基本理论也做出了重要的贡献。 本书主要叙述第二类线性积分方程的基本理论与解法，为了适应解决实际问题的需要，对 第一类方程及非线性方程、积分方程组、奇异积分方程的理论也做了适当的介绍。此外，对 实际中很有效的数值解法也有较详细的说明。 §1.2积分方程的来源 在静电学、电动力学、弹性力学、流体力学、电磁场理论、辐射学、地球物理勘探等学 科中，许多问题的解决可化为解对应的积分方程。常微分方程与偏微分方程的定解问题也可 以化为等价的积分方程，解偏微分方程反问题的数值方法，常常导出第一类Fredholm方程。 在一个过程中，如果未知函数在x点的值仅依赖于邻近点或其他孤立点处的值，就引出 常微分方程或偏微分方程的定解问题：如果未知函数的值依赖于它在整个区域（包括边界）上 的值，则往往导致积分方程或积分-微分方程。 同一个问题有时既可以用微分方程的定解问题又可以用积分方程来描述，而微分方程定 解问题本身也可以化为积分方程。积分方程这一数学工具正日益受到重视，这是因为化为积 分方程可以降低维数，减少所用节点的个数，缩短计算时间，节省了费用。这样，问题的处 理就比较方便，解的性质也显得比较清楚。当边界不特别复杂时，采用积分方程方法更具有 突出的优点。 把微分方程的定解问题化为积分方程，除了可以降低维数外，还可使得对未知函数（性质 上)的限制减弱（只要满足积分方程即可）。此外，这样可以不再通过先寻求微分方程所有可能 的解，到最后再利用定解条件来确定满足定解问题的解，而是把满足方程与适合定解条件，同 时体现在积分方程这一个紧凑的形式中。用积分形式讨论数学问题往往更容易处理，而且能 便于得到理想的结果，这对问题的解决有重要的意义。把常微分方程的定解问题化为积分方 程，可以顺利地得到解的存在性与惟一性定理，就是~个典型的例子。 有些反映扩散与迁移现象的数学问题，不能用微分方程表示，为了解决这些问题，就必 须用积分方程来解决，例如中子迁移理论中的一一些问题等等。 以下介绍引出积分方程的一些实际问题与数学问题。为了适应各方面读者的需要，仅选 择比较典型、有代表性的实例，不作全面的介绍。 1.弹性弦的挠曲 在直角坐标系xOy中，有一条固定在水平 轴x上两点x=0,x一1的轻且柔软的弹性弦，在 8, Mr) 2 弦上横坐标为x的点M处，有强度为p(u)的负 Bo(x=)x A(x=/)x 载，在它的作用下，点M处的位移为y(x)(见图 1.1)。如果位移函数y(x)为已知，确定负载强度 图1.1 (x)的问题就化为解一个积分方程。 3
设弦开始时是静止的，且只受到水平张力T。的作用，而张力T。与其他力相比很大。由 于弦是柔软的，它容易改变形状，而由弯曲或扭转引起的恢复力可忽路不计。是弦的初始 位置是水平的，即与x轴重合。 设在弦上横坐标x=的点B,处，施以垂直方向的力P。,是弦具有折线形状OBA。 由于P,与I。相比很小，可设负载点x=专处弦的最大挠曲BB。=6与OB,及BA相比 很小。因而可以认为在力P。的作用下，弦的张力T。保持不变。把弦在B点的张力与力P。都 投影到y方向，得到 T。sin61+T'sin2=Pa 式中81、92分别是OB、BA与x轴的夹角。 由于挠曲微小，、2很小，因而成立以下近似式 sin8≈1an8=g，sin4,≈an,=72 0 F是T+2=P, 6 因此6=P)一 Tol 当0≤x≤时，由图1.1可知y/x=6/,即 )=g=B Tl 式中y(x)是弦上横坐标为x的点处的位移。 当≤x≤l时，有 即 y(x)=Po(l-x) Tol 记 Tol (0≤x≤) G(x,)= (1.2-1) (安≤x≤) 这样，相应的挠曲曲线之方程为 y(x)=G(x,)P。 当P。=1,即对于单位力 y(r)=G(x,) (1.2-2) 由式(1.2-1)，显然成立 G(x,)=G(,x) 在弦上连续分布的（单位长度上的）强度为()的负载，作用在弦上x=:到x=十这 一微元上的力为p()dξ，所产生的挠曲为G(x,)p()d.因此，负载分布p(x)产生的挠曲 为 y y(r)=[G(,6)p(ede (1.2-3) (1)对上上述弦，求负载分布(x),使得在此分布的作用下，弦取给定的形状y=y(x)。 4