北京理工大学理学院力学系：《工程力学》课程教学课件（PPT讲稿）第十五章 能量法

例题 例题15-1 §15能量法 3先加F2,再加F的 外力功 B 2P 4(/2)=2P.2a EA Pa ↓C Ea P·a 4(F1) EA 64+FB 12P.2a1 Pa lpa 2 +F2 2 EAEA 2EA 静载(变力)作功 常力作功 显然W=W=W2外力功与加载次序无关

例 题 15-1 §I5 能量法  例题 A B C F2 a a 3.先加F2 ，再加F1的 外力功 EA P a EA Pa F EA Pa F EA P a W F 2 13 2 2 2 1 2 1 2 2 2 + 1 + 2 =  = A B C F1 a a P 2P 静载(变力)作功 常力作功 F2 EA Pa B (F1 ) = EA P a C F 2 2 ( ) 2   = EA P a C F   ( 1 ) = 显然 W =W1 =W2 外力功与加载次序无关

⑩例题 例题15-1 §15能量法 4.F1,F2共同作用下杆的总变形能 3P (3P)2a,(2P)2a13P B 2E4 2E4 2E4 2P 5分别算F1,F2单独作用时杆的应变能 P F1单独作用Va1= 2EA C (2P)2·2a4Pa B F2单独作用V2=2 EAEA a 1 a 显然Va1+V2≠V

例 题 15-1 §I5 能量法  例题 4. F1 ，F2 共同作用下杆的总变形能 EA P a EA P a EA P a V 2 13 2 (2 ) 2 (3 ) 2 2 2  = + = A B C F1 F2 a a 3P 2P 5.分别算F1 , F2单独作用时杆的应变能 F1 单独作用 A B C F1 a a EA P a V 2 2 1 = F2 单独作用 F2 A B C a EA a P a EA P a V 2 2 2 4 2 (2 ) 2 =   = 显然 V1 +V 2 V

5.应变能密度 应变能密度(应变比能)单位体积内储存的应变能 表示为v,单位:1J/m 单向应力状态 任意单向拉伸构件 线弹性、小变形单拉构件 a()d(1510 0 V=-08 任意应力状 (1+02+03)(15.11) 态主单元体

5. 应变能密度 应变能密度（应变比能）——单位体积内储存的应变能 表示为 ，单位：1J/m3  v   o 线弹性、小变形单拉构件   o 任意单向拉伸构件     v ( )d 1 0 = (15.10)  v 1 2 3   单向应力状态 任意应力状 2 ( ) 态主单元体 1 1 1 2 2 3 3       v = + + (15.11)   2 1 v =

体积改变能密度v和畸变能密度v m 平均应力:om=(o1+2+a3) 1=1.+1 E (15.12) 1-2 6E(a1+a2+a,)2 1+U 6E (G1-02)+(02-03)2+(03-01)

体积改变能密度 vV 和畸变能密度 d v 1 2 3 m m m 1 -m 2 -m 3 -m + 平均应力： ( ) 3 1  m =  1 + 2 + 3 2 1 2 3 ( ) 6 1 2     + + − = E vv [( ) ( ) ( ) ] 6 1 2 3 1 2 2 3 2  1  2      − + − + − + = E vd v d v = v + v  (15.12)

利用变形体的功能原理可 计算结构在某点处的位移 F B A 例如:求B点位移4B B 弯矩方程M(x)=-Fx 弯曲应变能V=「 M()女=(2a=F2E 2EⅠ 02E1 6El 外力功W=FB 根据功能原理W=V (151) F FL 6El BEl 若求4+或O2则无法直接利用功能原理!

利用变形体的功能原理可 计算结构在某点处的位移 例如：求B点位移B B F B A x L 弯矩方程 M (x) = −Fx 弯曲应变能   = = = L l EI F L dx EI Fx dx EI M x V 0 2 2 2 3 2 6 ( ) 2 ( )  外力功 W = FB 2 1 根据功能原理 W =V (15.1) EI F L F B 2 6 1 2 3   = EI FL B 3 3  = 若求中或B 则无法直接利用功能原理 ！