点的坐标.(具体解法与作图略) 例2(教材P64)在右图所示的图案中,你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗? 分析:观察的角度不同,答案就不同.如:它可以看作是一排鱼顺时针旋转45°角,连续旋转八次得到 的旋转图形;它还可以看作位似中心是图形的正中心,相似比是4:3:2:1的位似图形, 解:答案不惟一,略. 六、课堂练习 1.教材P64.1、2 2.△ABO的定点坐标分别为A(-1,4),B(32), O(0,0),试将△ABO放大为△EFO,使△EFO 与△ABO的相似比为25:1,求点E和点F的 坐标 3.如图,△AOB缩小后得到△COD,观察变化前 后的三角形顶点,坐标发生了什么变化,并求 出其相似比和面积比 七、课后练习 1.教材P65.3,P66.5、8 2.请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计 种图案(选择的变换不限) 3.如图,将图中的△ABC以A为位似中心,放大 到1.5倍,请画出图形,并指出三个顶点的坐标 所发生的变化 教学反思 第28章锐角三角函数 单元要点分析 内容简介 本章内容分为两节,第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念,第二节主要研究直角三 角形中的边角关系和解直角三角形的内容.第一节内容是第二节的基础,第二节是第一节的应用,并对第一 节的学习有巩固和提高的作用 相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础 本章属于三角学中的最基础的部分内容,而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,无论是从内容上 看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础 教学目标 1.知识与技能 (1)通过实例认识直角三角形的边角关系,即锐角三角函数(sinA,cosA,tanA),知道30°,45 0°角的三角函数值 (2)会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值,由已知三角函数值会求它的对应的锐角 (3)运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题 (4)能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题. 2.过程与方法
点的坐标．（具体解法与作图略） 例2（教材P64）在右图所示的图案中，你能找出平移、轴对称、旋转和位似这些变换吗？ 分析：观察的角度不同，答案就不同．如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转 45°角，连续旋转八次得到 的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，相似比是 4∶3∶2∶1 的位似图形，……． 解：答案不惟一，略． 六、课堂练习 1．教材 P64．1、2 2．△ABO 的定点坐标分别为 A(-1,4)，B(3,2)， O(0,0)，试将△ABO 放大为△EFO，使△EFO 与△ABO 的相似比为 2.5∶1，求点 E 和点 F 的 坐标． 3．如图，△AOB 缩小后得到△COD，观察变化前 后的三角形顶点，坐标发生了什么变化，并求 出其相似比和面积比． 七、课后练习 1．教材 P65．3， P66．5、8 2．请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计 一种图案（选择的变换不限）． 3．如图，将图中的△ABC 以 A．为位似中心，放大 到 1.5 倍，请画出图形，并指出三个顶点的坐标 所发生的变化． 教学反思 第 28 章 锐角三角函数 单元要点分析 内容简介 本章内容分为两节，第一节主要学习正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三 角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一 节的学习有巩固和提高的作用． 相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础． 本章属于三角学中的最基础的部分内容，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上 看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础． 教学目标 1．知识与技能 （1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道 30°，45°， 60°角的三角函数值． （2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角． （3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题． （4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题． 2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题,提出问题,在探究问题的过程中找出规律,·再运用这些规律于实际生活 3.情感、态度与价值观 通过解直角三角形培养学生数形结合的思想. 重点与难点 1.重点 (1)锐角三角函数的概念和直角三角形的解法,特殊角的三角函数值也很重要,·应该牢牢记住 (2)能够运用三角函数解直角三角形,并解决与直角三角形有关的实际问题 2.难点 (1)锐角三角函数的概念 (2)经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展学生观察、分析,·解决问题的能力 教学方法 在本章,学生首次接触到以角度为自变量的三角函数,初学者不易理解.·讲课时应注意,只有让学生 正确理解锐角三角函数的概念,才能掌握直角三角形边与角之间的关系,才能运用这些关系解直角三角形.故 教学中应注意以下几点 1.突出学数学、用数学的意识与过程.三角函数的应用尽量和实际问题联系起来,减少单纯解直角三 角形的问题 2.在呈现方式上,突出实践性与研究性,三角函数的意义要通过问题经出,·再加以探索认识 3.对实际问题,注意联系生活实际 4.适度增加训练学生逻辑思维的习题,减少机械操作性习题,·增加探索性问题的比重 课时安排 本章共分9课时 28.1锐角三角函数 4课时 28.2解直角三角形 4课时 小结 1课时 28.1锐角三角函数 内容简介 本节先研究正弦函数,在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念.通过两个特殊的直角三角形,让学 生感受到不管直角三角形大小,只要角度不变,那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数,这为引出正弦
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，• 再运用这些规律于实际生活 中． 3．情感、态度与价值观 通过解直角三角形培养学生数形结合的思想． 重点与难点 1．重点 （1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，• 应该牢牢记住． （2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题． 2．难点 （1）锐角三角函数的概念． （2）经历探索 30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，• 解决问题的能力． 教学方法 在本章，学生首次接触到以角度为自变量的三角函数，初学者不易理解．• 讲课时应注意，只有让学生 正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故 教学中应注意以下几点： 1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三 角形的问题． 2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，• 再加以探索认识． 3．对实际问题，注意联系生活实际． 4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，• 增加探索性问题的比重． 课时安排 本章共分 9 课时． 28．1 锐角三角函数 4 课时 28．2 解直角三角形 4 课时 小结 1 课时 28．1 锐角三角函数 内容简介 本节先研究正弦函数，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学 生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦
函数的概念作好铺垫.这样引出正弦函数的概念,能够使学生充分感受到函数的思想,由于教科书比较详细 地讨论了正弦函数的概念,因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式,具体的讨论由学 生类比着正弦函数自己完成.教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方 向的问题安排在一起,目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系.本节最后介绍了如何使用计 算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容.由于不同的计算器操作步骤有所 不同,教科书只就常见的情况进行介绍. 教学目标 1.知识与技能 (1)了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、cosA、tanA·表示直角三角形中两边的比;记忆 30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角 (2)能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,·由已知三角函数值求出相应的锐角 2.过程与方法 通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生会观察、比 较、分析、概括等逻辑思维能力 3.情感、态度与价值观 引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯 重点与难点 1.重点:正弦、余弦;正切三个三角函数概念及其应用. 2.难点:使学生知道当锐角固定时,它的对边、·邻边与斜边的比值也是固定的这一事实.用含有几 个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦;正弦、余弦概念 教学方法 学生很难想到对任意锐角,它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实,关键在于教师引导学生比较、 分析,得出结论.正弦、余弦的概念是全章知识的基础,对学生今后的学习与工作都十分重要,教学中应十 分重视.同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想,又用含几个字母的符号组来表示, 在教学中应作为难点处理 第1课时正弦函数 复习引入 教师讲解:杂志上有过这样的一篇报道:始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜.1972年 比萨发生地震,这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分,仍巍然屹立.可是,塔顶中心点偏离垂直中心 线的距离已由落成时的2lm增加至52m,·而且还以每年倾斜lcm·的速度继续增加,·随时都有倒塌的危 险.·为此,·意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏,2001年竣工,使顶中心点偏离垂直中心线的 距离比纠偏前减少了438cm 根据上面的这段报道中,口塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2m增加至52m,”这句
函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细 地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学 生类比着正弦函数自己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方 向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最后介绍了如何使用计 算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容．由于不同的计算器操作步骤有所 不同，教科书只就常见的情况进行介绍． 教学目标 1．知识与技能 （1）了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA、cosA、tanA• 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角； （2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，• 由已知三角函数值求出相应的锐角． 2．过程与方法 通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比 较、分析、概括等逻辑思维能力． 3．情感、态度与价值观 引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯． 重点与难点 1．重点：正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用． 2．难点：使学生知道当锐角固定时，它的对边、• 邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几 个字母的符号组 sinA、cosA 表示正弦、余弦；正弦、余弦概念． 教学方法 学生很难想到对任意锐角，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、 分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，教学中应十 分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示， 在教学中应作为难点处理． 第 1 课时 正弦函数 复习引入 教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道：始建于 1350 年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜．1972 年 比萨发生地震，这座高 54.5m 的斜塔大幅度摇摆 22 分之分，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心 线的距离已由落成时的 2.1m 增加至 5.2m，• 而且还以每年倾斜 1cm• 的速度继续增加，• 随时都有倒塌的危 险．• 为此，• 意大利当局从 1990 年起对斜塔进行维修纠偏，2001 年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的 距离比纠偏前减少了 43.8cm． 根据上面的这段报道中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的 2.1m 增加至 5.2m，”这句
话你是怎样理解的,它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗? 这个问题涉及到锐角三角函数的知识.学过本章之后,你就可以轻松地解答这个问题了! 探究新知 (1)问题的引入 教师讲解:为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,·在山坡上修建一座扬 水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么 需要准备多长的水管? 教师提出问题:怎样将上述实际问题用数学语言表达,要求学生写在纸上,·互相讨论,看谁写得最合 理,然后由教师总结 教师总结:这个问题可以归纳为,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,·求AB(课本图28.1-1) 根据“在直角三角形中,30°角所对的边等于斜边的一半”,即 ∠的对边BC1 斜边AB 可得AB=2BC=70m,也就是说,需要准备70m长的水管 教师更换问题的条件后提出新问题:·在上面的问题中,·如果使出水口的高度为50m,那么需要准备 多长的水管?·要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点 教师引导学生得出这样的结论:在上面求AB(所需水管的长度)的过程中,虽然问题条件改变了,但 我们所用的定理是一样的:在一个直角三角形中,·如果一个锐角等于30°,那么不管三角形的大小如何 这个角的对边与斜边的比值都等于一.也是说,只要山坡的坡度是30°这个条件不变,那么斜边与对边的比 值不变 教师提出第2个问题:既然直角三角形中,30°角的斜边与对边的比值不变,那么其他角度的对边与斜边 的比值是否也不会变呢?·我们再换一个解试一试.·如课本图28.1-2,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=45°, ∠A对边与斜边的比值是一个定值吗?·如果是,是多少? 教师要求学生自己计算,得出结论,然后再由教师总结:在Rt△ABC中,∠C=90由于∠A=45°,所以 Rt△ABC是等腰直角三角形,由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2,AB=√2BC
话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？ 这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了! 探究新知 （1）问题的引入 教师讲解：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，• 在山坡上修建一座扬 水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是 30°，为使出水口的高度为 35m，那么 需要准备多长的水管？ 教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，• 互相讨论，看谁写得最合 理，然后由教师总结． 教师总结：这个问题可以归纳为，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，• 求 AB（课本图 28．1-1）． C B A 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 A BC AB = 的对边 斜边 ＝ 1 2 可得 AB=2BC=70m，也就是说，需要准备 70m 长的水管． 教师更换问题的条件后提出新问题：• 在上面的问题中，• 如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备 多长的水管？• 要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点． 教师引导学生得出这样的结论：在上面求 AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但 我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，• 如果一个锐角等于 30°，那么不管三角形的大小如何， 这个角的对边与斜边的比值都等于 1 2 ．也是说，只要山坡的坡度是 30°这个条件不变，那么斜边与对边的比 值不变． 教师提出第 2 个问题：既然直角三角形中，30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边 的比值是否也不会变呢？• 我们再换一个解试一试．• 如课本图 28．1-2，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=45°， ∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？• 如果是，是多少？ C B A 教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在 Rt△ABC 中，∠C=90°由于∠A=45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2，AB= 2 BC．
因此 BC √2 即在直角三角形中,当一个锐角等于45°时,不管这个直角三角形的大小如何,·这个角的对边与斜边 的比都等于 教师再将问题提升到更高一个层次:·从上面这两个问题的结论中可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90° 当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于一,是一个固定值;·当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比 都等于 √2 也是一个固定值.这就引发我们产生这样一个疑问:当∠A取其他一定度数的锐角时,·它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值? 教师直接告诉学生,这个问题的回答是肯定的,并边板书,·边与学生共同探究证明方法.这为问题可 以转化为以下数学语言: 任意画Rt△ABC和R△ABC(课本图28.13),使得∠C=∠C=90,∠A=∠A=a,那么BC与BC AB A B 有什么关系 BC AB 在课本图28.1-3中,由于∠C=∠C′=90°,∠A=∠A=a,所以Rt△ ABCORt△AB'C,BC’A"B BC BCI AB B 这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,·∠A的对边与斜边的 比都是一个固定值 (二)正弦函数概念的提出 教师讲解:在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的.为了引用这个结论时叙述方便, 数学家作出了如下规定 如课本图28.1-4,在Rt△BC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA, 即sinA==a 斜边e 对边
因此 1 2 2 BC BC AB BC = = = 2 2 ， 即在直角三角形中，当一个锐角等于 45°时，不管这个直角三角形的大小如何，• 这个角的对边与斜边 的比都等于 2 2 ． 教师再将问题提升到更高一个层次：• 从上面这两个问题的结论中可知，• 在一个 Rt△ABC 中，∠C=90°， 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 1 2 ，是一个固定值；• 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比 都等于 2 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，• 它的 对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，• 边与学生共同探究证明方法．这为问题可 以转化为以下数学语言： 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′（课本图 28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么 ' ' ' ' BC B C AB A B 与 有什么关系． B' A' C' www.czsx.com.cn C B A 在课本图 28．1-3 中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′， ' ' ' ' BC AB B C A B = ， 即 ' ' ' ' BC B C AB A B = ． 这就是说，在直角三角形中，当锐角 A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，• ∠A 的对边与斜边的 比都是一个固定值． （二）正弦函数概念的提出 教师讲解：在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方便， 数学家作出了如下规定： 如课本图 28．1-4，在 Rt△BC 中，∠C=90°，我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作 sinA， 即 sinA= = a c ． 斜边c 对边a b C B A