人教版九年级下册数学教 第二十六章二次函数 本章知识要点 .探索具体问题中的数量关系和变化规律 2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念 3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质 4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴 5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解 6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题 26.1二次函数 本课知识要点 通过具体问题引入二次函数的概念,在解决问题的过程中体会二次函数的意义 IMM及创新思维l 1)正方形边长为a(cm),它的面积s(cm2)是多少? (2)矩形的长是4厘米,宽是3厘米,如果将其长与宽都增加ⅹ厘米,则面积增加y平 方厘米,试写出y与x的关系式 请观察上面列出的两个式子,它们是不是函数?为什么?如果是函数,请你结合学习 次函数概念的经验,给它下个定义 「实践与探索l 例1.m取哪些值时,函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的二次函数? 分析若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数,须满足的条件是: m2-m≠0 解若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数,则 m2-m≠0. 解得 m≠0,且m≠1 因此,当m≠0,且m≠1时,函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是二次函数 回顾与反思形如y=ax2+bx+c的函数只有在a≠0的条件下才是二次函数 探索若函数y=(m2-m)x2+mx+(m+1)是以x为自变量的一次函数,则m取哪些
1 .第二十六章 二次函数 [本章知识要点] 1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律． 2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解． 6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决 简单的实际问题． 26．1 二次函数 [本课知识要点] 通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM 及创新思维] （1）正方形边长为 a（cm），它的面积 s（cm2）是多少？ （2）矩形的长是 4 厘米，宽是 3 厘米，如果将其长与宽都增加 x 厘米，则面积增加 y 平 方厘米，试写出 y 与 x 的关系式． 请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习 一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索] 例 1． m 取哪些值时，函数 ( ) ( 1) 2 2 y = m − m x + mx + m + 是以 x 为自变量的二次函数？ 分 析 若函数 ( ) ( 1) 2 2 y = m − m x + mx + m + 是 二 次 函 数 ， 须 满 足 的 条 件 是 ： 0 2 m − m ． 解 若函数 ( ) ( 1) 2 2 y = m − m x + mx + m + 是二次函数，则 0 2 m − m ． 解得 m 0 ，且 m 1． 因此，当 m 0 ，且 m 1 时，函数 ( ) ( 1) 2 2 y = m − m x + mx + m + 是二次函数． 回顾与反思 形如 y = ax + bx + c 2 的函数只有在 a 0 的条件下才是二次函数． 探索 若函数 ( ) ( 1) 2 2 y = m − m x + mx + m + 是以 x 为自变量的一次函数，则 m 取哪些 人教版九年级下册数学教 案
值? 例2.写出下列各函数关系,并判断它们是什么类型的函数 )写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系; (2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系 (3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金,若不计利息,求本息和y(元)与 所存年数x之间的函数关系 (4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之间 的函数关系 解(1)由题意,得S=6a2(a>0),其中S是a的二次函数 (2)由题意,得y=(x>0),其中y是x的二次函数 (3)由题意,得y=10000+1.98%x:10000(X≥0且是正整数), 其中y是x的一次函数; (4)由题意,得S=x(26-x)=-1 x2+13x(0<x<26),其中S是x的二次函数 例3.正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形,用余 下的部分做成一个无盖的盒子 (1)求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式 (2)当小正方形边长为3cm时,求盒子的表面积 解(1)S=152-4x2=225-4x2(0<x<) (2)当x=3cm时,S=225-4×32=189(cm2) 当堂课内练习 1.下列函数中,哪些是二次函数? (1)y-x2=0 (2)y=(x+2x-2)-(x-1)2 (3)y=x2+ (4)y 2.当k为何值时,函数y=(k-1)x+1为二次函数? 3.已知正方形的面积为y(cm2),周长为x(cm) (1)请写出y与x的函数关系式; (2)判断y是否为x的二次函数 本课课外作业
2 值？ 例 2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数． （1）写出正方体的表面积 S（cm2）与正方体棱长 a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系； （3）某种储蓄的年利率是 1.98%，存入 10000 元本金，若不计利息，求本息和 y（元）与 所存年数 x 之间的函数关系； （4）菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间 的函数关系． 解 （1）由题意，得 6 ( 0) 2 S = a a ，其中 S 是 a 的二次函数； （2）由题意，得 ( 0) 4 2 = x x y ，其中 y 是 x 的二次函数； （3）由题意，得 y = 10000 +1.98%x 10000 （x≥0 且是正整数）， 其中 y 是 x 的一次函数； （4）由题意，得 13 (0 26) 2 1 (26 ) 2 1 2 S = x − x = − x + x x ，其中 S 是 x 的二次函数． 例 3．正方形铁片边长为 15cm，在四个角上各剪去一个边长为 x（cm）的小正方形，用余 下的部分做成一个无盖的盒子． (1)求盒子的表面积 S（cm2）与小正方形边长 x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为 3cm 时，求盒子的表面积． 解 （1） ) 2 15 15 4 225 4 (0 2 2 2 S = − x = − x x ； （2）当 x=3cm 时， 225 4 3 189 2 S = − = （cm2）． [当堂课内练习] 1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1） 0 2 y − x = （2） 2 y = (x + 2)(x − 2) − (x −1) （3） x y x 2 1 = + （4） 2 3 2 y = x + x − 2．当 k 为何值时，函数 ( 1) 1 2 = − + k +k y k x 为二次函数？ 3．已知正方形的面积为 ( ) 2 y cm ，周长为 x（cm）． (1)请写出 y 与 x 的函数关系式； (2)判断 y 是否为 x 的二次函数． [本课课外作业]
组 1.已知函数y=(m-3)xm7是二次函数,求m的值 2.已知二次函数y=ax2,当x=3时,y=-5,当x=-5时,求y的值 3.已知一个圆柱的高为27,底面半径为x,求圆柱的体积y与x的函数关系式,若圆柱 的底面半径x为3,求此时的y 4.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形,求扇形的面积y与它的半径x之 间的函数关系式.这个函数是二次函数吗?请写出半径r的取值范围. B组 5.对于任意实数m,下列函数一定是二次函数的是 A.y=(m-1)2x2B.y=(m+1)2x2C.y=(m2+1)x2 6.下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是() A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系 C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计 空气阻力) D.圆的周长与圆的半径之间的关系 本课学习体会 §26.2用函数观点看一元二次方程(第一课时 教学目标 (一)知识与技能 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解何 时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标 (二)过程与方法 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,培养学生的探索能力和创新精 神 通过观察二次函数图象与x轴的交点个数,讨论一元二次方程的根的情况,进 步培养学生的数形结合思想. 3.通过学生共同观察和讨论.培养大家的合作交流意识 (三)情感态度与价值观 1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体验数学活动充满着探索与创 造.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性
3 A 组 1． 已知函数 7 2 ( 3) − = − m y m x 是二次函数，求 m 的值． 2． 已知二次函数 2 y = ax ，当 x=3 时，y= -5，当 x= -5 时，求 y 的值． 3． 已知一个圆柱的高为 27，底面半径为 x，求圆柱的体积 y 与 x 的函数关系式．若圆柱 的底面半径 x 为 3，求此时的 y． 4． 用一根长为 40 cm 的铁丝围成一个半径为 r 的扇形，求扇形的面积 y 与它的半径 x 之 间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径 r 的取值范围． B 组 5．对于任意实数 m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A． 2 2 y = (m −1) x B． 2 2 y = (m +1) x C． 2 2 y = (m +1)x D． 2 2 y = (m −1)x 6．下列函数关系中，可以看作二次函数 y = ax + bx + c 2 （ a 0 ）模型的是 （ ） A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计 空气阻力） D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会] §26.2 用函数观点看一元二次方程（第一课时） 教学目标 (一)知识与技能 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系． 2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何 时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根． 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标． (二)过程与方法 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精 神． 2．通过观察二次函数图象与 x 轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一 步培养学生的数形结合思想． 3．通过学生共同观察和讨论．培养大家的合作交流意识． (三)情感态度与价值观 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创 造．感受数学的严谨性以及数学结论的确定性
2.具有初步的创新精神和实践能力 教学重点 1.体会方程与函数之间的联系 2.理解何时方程有两个不等的实根,两个相等的实数和没有实根 理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标 教学难点 1.探索方程与函数之间的联系的过程 2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 1.我们学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后,讨论了它们 之间的关系 次函数中的函数值y=0时,一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程 kx+b=0,且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0 的解. 现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它 们之间是否也存在一定的关系呢? 2.选教材提出的问题,直接引入新课 Ⅱ.合作交流解读探究 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究:教材问题 师生同步完成 观察:教材22页,学生小组交流 归纳:先由学生完成,然后师生评价,最后教师归纳 Ⅲ.应用迁移巩固提高 1.根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2.抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围. 3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况 Ⅳ.总结反思拓展升华 本节课学了如下内容: 1.经历了探索二次函数与一元:二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的 联系. 2.理解了二次函数与x轴交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系,理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的 实根和没有实根 3.数学方法:分类讨论和数形结合 反思:在判断抛物线与x轴的交点情况时,和抛物线中的二次项系数的正负有无关系? 拓展:教案 V.课后作业P231.3.5
4 2．具有初步的创新精神和实践能力． 教学重点 1．体会方程与函数之间的联系． 2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根． 3.理解一元二次方程的根就是二次函数与 y=h(h 是实数)交点的横坐标． 教学难点 1．探索方程与函数之间的联系的过程． 2．理解二次函数与 x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系． 教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 1.我们学习了一元一次方程 kx+b=0(k≠0)和一次函数 y＝kx+b(k≠0)后，讨论了它们 之间的关系．当一次函数中的函数值 y=0 时，一次函数 y=kx+b 就转化成了一元一次方程 kx+b=0，且一次函数)y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴交点的横坐标即为一元一次方程 kx+b＝0 的解． 现在我们学习了一元二次方程 ax 2 +bx+c＝0(a≠0)和二次函数 y＝ax 2 +bx+c(a≠0)，它 们之间是否也存在一定的关系呢? 2.选教材提出的问题，直接引入新课 Ⅱ．合作交流 解读探究 1.二次函数与一元二次方程之间的关系 探究：教材问题 师生同步完成. 观察：教材 22 页，学生小组交流. 归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳. Ⅲ.应用迁移 巩固提高 1 .根据二次函数图像看一元二次方程的根 同期声 2 .抛物线与 x 轴的交点情况求待定系数的范围. 3 .根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与 x 轴的交点情况 Ⅳ．总结反思 拓展升华 本节课学了如下内容： 1．经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的 联系． 2．理解了二次函数与 x 轴交点的个数 与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的 实根和没有实根. 3.数学方法:分类讨论和数形结合. 反思：在判断抛物线与 x 轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关系？ 拓展：教案 Ⅴ．课后作业 P231.3.5
26.2二次函数的图象与性质(1) 本课知识要点 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,概括出图象的特点及函数的性质 MM及创新思维l 我们已经知道,一次函数y=2x+1,反比例函数y=3的图象分别是 那么二次函数y=x2的图象是什么呢? (1)描点法画函数y=x2的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心? 当x取互为相反数的值时,y的值如何? (2)观察函数y=x2的图象,你能得出什么结论? 「实践与探索 例1.在同一直角坐标系中,画出下列函数的图象,并指出它们有 何共同点?有何不同点? (1)y=2x (2) 解列表 3-2-10123 y 820「2818 y 18-8 2|-8|-18|… 分别描点、连线,画出这两个函数的图象,这两个函数的图象都是 抛物线,如图26.2.1 共同点:都以y轴为对称轴,顶点都在坐标原点 不同点:y=2x2的图象开口向上,顶点是抛物线的最低点,在对 称轴的左边,曲线自左向右下降;在对称轴的右边,曲线 自左向右上升 图26.2. y=-2x2的图象开口向下,顶点是抛物线的最高点,在对 称轴的左边,曲线自左向右上升;在对称轴的右边,曲线自左向右下降 回顾与反思在列表、描点时,要注意合理灵活地取值以及图形的对称性,因为图象是抛 物线,因此,要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接
5 26．2 二次函数的图象与性质（1） [本课知识要点] 会用描点法画出二次函数 2 y = ax 的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM 及创新思维] 我们已经知道，一次函数 y = 2x +1 ，反比例函数 x y 3 = 的图象分别是 、 ，那么二次函数 2 y = x 的图象是什么呢？ （1）描点法画函数 2 y = x 的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？ 当 x 取互为相反数的值时，y 的值如何？ （2）观察函数 2 y = x 的图象，你能得出什么结论？ [实践与探索] 例 1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有 何共同点？有何不同点？ （1） 2 y = 2x （2） 2 y = −2x 解 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 2 y = 2x … 18 8 2 0 2 8 18 … 2 y = −2x … -18 -8 -2 0 -2 -8 -18 … 分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是 抛物线，如图 26．2．1． 共同点：都以 y 轴为对称轴，顶点都在坐标原点． 不同点： 2 y = 2x 的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对 称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线 自左向右上升． 2 y = −2x 的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对 称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降． 回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛 物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．