板材下料优化方法案例 本案例以上海某柴油机厂某车间某年某月所需3种2mm厚度的板材零件下 料为例,说明线性规划在下料中的应用及其在提高材料利用率方面所能产生的显 著经济效益。同时,该案例所介绍的工作流程还是一种非常简单实用、便于操作、 效果良好的板材下料优化方法,可供各企业在生产中参考运用 板材下料优化方法的特点及其工作流程 用线性规划求解最优下料方案,通常要求首先设计出所有可行合理的下料方 式,然后建立LP模型求解最优下料方案。由于板材下料是典型的二维下料,每 种下料方式对应一张排料图,在零件种类较多的情况下,要绘制出所有可行且 合理的排料图,不仅工作量非常巨大,而且也是不现实的。为减少绘制排料图的 工作量,同时又能达到良好的效果,我们在此给出了一种高效的板材下料优化方 法的工作流程。该工作流程有如下特点: 1.对绘制排料图的要求不高。开始时,只需选作少量包含各种零件且材料 利用率较髙的排料图,这不仅可简化绘图工作量,还可简化模型。 2.对所得最优解进行最优化后分析。若初始最优解效果不理想,则通过有 针对性地再增绘少量排料图后重新求解,通常就可达到事半功倍的效果(该步骤 属于将在第十一章介绍的敏感性分析中的“增加新的决策变量”,但我们是用计 算机求解,故可不涉及敏感性分析的概念)。 3.通常板材下料问题中的变量应当是整数,若采用整数规划求解,则显然 会使材料利用率降低。这里我们先采用线性规划求解,对得到的最优解通过舍去 小数部分取整,对取整后的零件短缺数,再绘制少量排料图解决。此“取整修正 方法可比使用整数变量求解得到更高的材料利用率
板材下料优化方法案例 本案例以上海某柴油机厂某车间某年某月所需 3 种 2mm 厚度的板材零件下 料为例，说明线性规划在下料中的应用及其在提高材料利用率方面所能产生的显 著经济效益。同时，该案例所介绍的工作流程还是一种非常简单实用、便于操作、 效果良好的板材下料优化方法，可供各企业在生产中参考运用。 一．板材下料优化方法的特点及其工作流程 用线性规划求解最优下料方案，通常要求首先设计出所有可行合理的下料方 式，然后建立 LP 模型求解最优下料方案。由于板材下料是典型的二维下料，每 一种下料方式对应一张排料图，在零件种类较多的情况下，要绘制出所有可行且 合理的排料图，不仅工作量非常巨大，而且也是不现实的。为减少绘制排料图的 工作量，同时又能达到良好的效果，我们在此给出了一种高效的板材下料优化方 法的工作流程。该工作流程有如下特点： 1. 对绘制排料图的要求不高。开始时，只需选作少量包含各种零件且材料 利用率较高的排料图，这不仅可简化绘图工作量，还可简化模型。 2. 对所得最优解进行最优化后分析。若初始最优解效果不理想，则通过有 针对性地再增绘少量排料图后重新求解，通常就可达到事半功倍的效果（该步骤 属于将在第十一章介绍的敏感性分析中的“增加新的决策变量”，但我们是用计 算机求解，故可不涉及敏感性分析的概念）。 3. 通常板材下料问题中的变量应当是整数，若采用整数规划求解，则显然 会使材料利用率降低。这里我们先采用线性规划求解，对得到的最优解通过舍去 小数部分取整，对取整后的零件短缺数，再绘制少量排料图解决。此“取整修正” 方法可比使用整数变量求解得到更高的材料利用率
将零件分类 绘制少量排料图 建立LP模型 求最优解 Y 满意吗? 增绘新排料图 重新建模求解 取整修正 得到最优下料方案 图1板材下料优化方法工作流程 二.实际操作中的几点注意事项 1.绘制排料图时的注意事项 为简化排料图的绘制,排料前应先将零件进行分类,一般可分为以下三类 (1)零件边长大于钢板短边的一类。此类零件在钢板上只有一种排法,对 材料利用率影响较大,应注意利用余料安排其他尺寸较小的零件 (2)零件两边均小于钢板短边的一类。此类零件排料组合情况较多,应注 意不同零件的搭配。 (3)零件尺寸较小、或某边长与钢板某边长成倍比关系的一类,此类零件 单一下料利用率高
图 1 板材下料优化方法工作流程 二．实际操作中的几点注意事项 1. 绘制排料图时的注意事项 为简化排料图的绘制，排料前应先将零件进行分类，一般可分为以下三类： （1）零件边长大于钢板短边的一类。此类零件在钢板上只有一种排法，对 材料利用率影响较大，应注意利用余料安排其他尺寸较小的零件。 （2）零件两边均小于钢板短边的一类。此类零件排料组合情况较多，应注 意不同零件的搭配。 （3）零件尺寸较小、或某边长与钢板某边长成倍比关系的一类，此类零件 单一下料利用率高。 将零件分类 绘制少量排料图 建立 LP 模型 求最优解 满意吗？ 增绘新排料图 重新建模求解 取整修正 得到最优下料方案 Yes No
绘制排料图时,应先考虑第一类零件,其次搭配好第二类零件,最后将第三 类零件作为余料的填充件,数量较大的第三类零件则还应绘制单一下料图。 2.简化模型的方法 在下料问题的LP模型中,每种零件对应一个约束条件,当一批下料任务中 零件种类较多时,不仅会使排料工作复杂化,而且LP模型也会相应复杂,此时 可按以下方法进行简化处理。 (1)对尺寸不大且数量较少的零件,在排料时可暂不考虑,它们通常可在 取整修正阶段一起解决。 (2)对数量相同,且某边长也相同或相近的两种或多种零件,可组合成 种“新零件”进行排料和建模。 应用案例 上海某柴油机厂某月需要3种2mm厚的板材零件,其工艺尺寸、需要量和 单一下料利用率等数据见表1。 表1零件尺寸、需要量和单一下料利用率 m)/零件号/零件尺寸 材料尺寸 (mm)需要量/每张钢板钢板需单一下料 可下料数要量利用率9 260×258 69.88 1000 2#240×2576600 84.3 2000×2 40×195 △V 可见,如果采用以往的单一下料方法,则这三种零件总共需要69张钢板 总的材料利用率仅为80.86%。下面,我们采用上述工作流程进行优化 选作排料图 图2是选作的4张排料图,分别用X、X、X3、X4表示;表9.10给出了各 种排料方式下每张钢板可切割的零件数
绘制排料图时，应先考虑第一类零件，其次搭配好第二类零件，最后将第三 类零件作为余料的填充件，数量较大的第三类零件则还应绘制单一下料图。 2．简化模型的方法 在下料问题的 LP 模型中，每种零件对应一个约束条件，当一批下料任务中 零件种类较多时，不仅会使排料工作复杂化，而且 LP 模型也会相应复杂，此时 可按以下方法进行简化处理。 （1）对尺寸不大且数量较少的零件，在排料时可暂不考虑，它们通常可在 取整修正阶段一起解决。 （2）对数量相同，且某边长也相同或相近的两种或多种零件，可组合成一 种“新零件”进行排料和建模。 三. 应用案例 上海某柴油机厂某月需要 3 种 2mm 厚的板材零件，其工艺尺寸、需要量和 单一下料利用率等数据见表 1。 表 1 零件尺寸、需要量和单一下料利用率 材料尺寸 （mm） 零件号 零件尺寸 （mm） 需要量 每张钢板 可下料数 钢板需 要量 单一下料 利用率% 1000× 2000×2 1# 260×258 500 21 24 69.88 2# 240×257.6 600 28 22 84.31 3# 840×195 250 11 23 89.02 合 计 69 80.86 可见，如果采用以往的单一下料方法，则这三种零件总共需要 69 张钢板， 总的材料利用率仅为 80.86%。下面，我们采用上述工作流程进行优化。 1. 选作排料图 图 2 是选作的 4 张排料图，分别用 X1、X2、X3、X4 表示；表 9.10 给出了各 种排料方式下每张钢板可切割的零件数
(b)X2 利用率:8681%利用率:9474%利用率:9426%利用率:9009 图2初始排料图 表2各种排料方式下每张钢板可得零件数 零件 需要量 600 2.建立LP模型并求最优解 设x、x2、x、x分别为上述各种排料方式的切割钢板数,目标是所耗用的 钢板最少。由表2,可得LP模型为 min xo=xI+ cIxI ≥500 S t 28x2+4x3 ≥600 +x2+10x3+llx4≥250 用 Excel软件求解,可得最优解为 x0*=60.973,x1*=23.810,x2*=18.806,x3*=18.357,x4*=0 即按排料图x切割24张、按x和x各切割19张,可满足3种零件的需求
表 2 各种排料方式下每张钢板可得零件数 零件 x1 x2 x3 x4 需要量 1# 21 0 0 0 500 2# 0 28 4 0 600 3# 2 1 10 11 250 2. 建立 LP 模型并求最优解 设 x1、x2、x3、x4 分别为上述各种排料方式的切割钢板数，目标是所耗用的 钢板最少。由表 2，可得 LP 模型为 min x0 = x1 + x2 + x3 + x4 21x1 ≥500 s.t. 28x2+ 4x3 ≥600 2x1 + x2 +10x3 +11x4 ≥250 x1、x2 、 x3 、x4 ≥ 0 用 Excel 软件求解，可得最优解为 x0* = 60.973，x1* = 23.810，x2* =18.806，x3* =18.357，x4* = 0 即按排料图 x1 切割 24 张、按 x2 和 x3 各切割 19 张，可满足 3 种零件的需求， 1# 3# 260 258 (a) X1 利用率：86.81% 2# 3# 240 257.6 (b) X2 利用率：94.74% 2# 3# (c) X3 利用率：94.26% 3# 3# (d) X4 利用率：90.09% 图 2 初始排料图
总共需62张钢板,可比单一下料方式少用7张钢板,材料利用率提高到89.99%, 但材料利用率仍然偏低,效果还不够理想。 3.下料方案的最优化后分析 板材下料问题LP模型最优解的效果取决于所绘制的排料图。由于该方法 开始只要求选作若干排料图,因此其初始最优解的效果往往是欠佳的,但这一缺 陷可在最优化后分析阶段弥补。 获得初始最优解后,首先应计算其材料利用率,若效果欠佳,则一般有以下 两个原因 (1)最优解中含有某些材料利用率较低的排料图 (2)各零件在排料图中的数量配比不当(反映在最优解中就是存在较大的 剩余变量)。 出现上述情况时,可有针对性地再绘制少量排料图,以它们作为新增变量加 入原模型中,重新运算后通常即可得到令人满意的下料方案。 本案例中由于3个剩余变量都为0(都是非基变量,在模型中并未给出,这 是由于用软件求解并不要求化为标准型),故不存在数量配比不当的问题。进一 步分析可知,x1=23.81,数量最大,但排料图x的材料利用率仅为8681%,可 见这是影响材料利用率的主要原因。分析4张排料图后,可发现仅x中含有1#零 件,显然应对1#零件重新设计排料图。再看2#零件,其需求量最大,且与1# 零件有一边长相近,两者的另一边长之和又恰好与钢板短边成倍比 (260+240=500),故可将两者组合后绘制一张新的排料图x,见图3。该排料 图每张可得1#和2#零件各14块,3#零件1块,材料利用率达9892%。 将xs加入模型,用 Excel重新求解,可得新的最优解为 x0*=57609,x2*=0.518,x3*=21.377,x5*=35.714,x1*=x4*=0 经进位取整后,只需59张钢板,比初始最优方案又减少了3张,材料利用 率则提高到94.56%,已达到令人满意的效果。 4.对最优方案的取整修正 当最优解中切割方式较多,且钢板总量不是很大时,简单地采用进位取整处 理往往会影响材料利用率。下面我们介绍一种简便易行且效果很好的“取整修正 法”,步骤如下:
总共需 62 张钢板，可比单一下料方式少用 7 张钢板，材料利用率提高到 89.99%， 但材料利用率仍然偏低，效果还不够理想。 3. 下料方案的最优化后分析 板材下料问题 LP 模型最优解的效果取决于所绘制的排料图。由于该方法一 开始只要求选作若干排料图，因此其初始最优解的效果往往是欠佳的，但这一缺 陷可在最优化后分析阶段弥补。 获得初始最优解后，首先应计算其材料利用率，若效果欠佳，则一般有以下 两个原因： （1）最优解中含有某些材料利用率较低的排料图； （2）各零件在排料图中的数量配比不当（反映在最优解中就是存在较大的 剩余变量）。 出现上述情况时，可有针对性地再绘制少量排料图，以它们作为新增变量加 入原模型中，重新运算后通常即可得到令人满意的下料方案。 本案例中由于 3 个剩余变量都为 0（都是非基变量，在模型中并未给出，这 是由于用软件求解并不要求化为标准型），故不存在数量配比不当的问题。进一 步分析可知，x1 = 23.81，数量最大，但排料图 x1 的材料利用率仅为 86.81%，可 见这是影响材料利用率的主要原因。分析 4 张排料图后，可发现仅 x1中含有 1# 零 件，显然应对 1# 零件重新设计排料图。再看 2# 零件，其需求量最大，且与 1# 零 件 有 一 边 长 相 近 ， 两 者 的 另 一 边 长 之 和 又 恰 好 与 钢 板 短 边 成 倍 比 （260+240=500），故可将两者组合后绘制一张新的排料图 x5 ，见图 3。该排料 图每张可得 1# 和 2# 零件各 14 块，3# 零件 1 块，材料利用率达 98.92%。 将 x5 加入模型，用 Excel 重新求解，可得新的最优解为 x0* = 57.609，x2* =0.518，x3* =21.377，x5* =35.714，x1*=x4* = 0 经进位取整后，只需 59 张钢板，比初始最优方案又减少了 3 张，材料利用 率则提高到 94.56%，已达到令人满意的效果。 4. 对最优方案的取整修正 当最优解中切割方式较多，且钢板总量不是很大时，简单地采用进位取整处 理往往会影响材料利用率。下面我们介绍一种简便易行且效果很好的“取整修正 法”，步骤如下：