第3章刚体力学 一般情况下,一个物体的运动是很复杂的,它不仅包括平动、转动,有时还有振动 在质点力学的讨论中,只研究了物体运动中最常见的一种一一平动其它的运动被作为 暂时的、次要的东西忽略了,结果物体被简化为质点在质点的平动问题解决以后,平动 退居次要地位,质点也从没有形状大小的几何点变为有形状大小的物体在实践中我们 都知道物体在力的作用下形状和大小要发生变化例如:一块棉花原来形状设为正方 形现在用双手捏可以将它捏成圆形、长方形或其它形状也可以把它压得很小,放开使 它的体积又较大,总之在力的作用下使它的形状和大小发生了变化但是在有些问题中 这种变化很不明显,我们眼睛几乎发现不了例如:一张桌子,人们经常爬在上边写字,但 在短时间我们并没有发现它的形状和大小有明显的变化这时就可以将它的微小形变 忽略掉又将此物体简化为一种理想的模型一一刚体所谓刚体,就是在外力作用下, 形状和大小都不改变的物体也就是说刚体内各质点之间的距离保持不变刚体的各部 分之间没有相对运动本章主要研究刚体的基本运动规律 §31刚体的运动 刚体的基本运动 平动 转动 复杂运动(平面运动、定点转动) 、刚体的平动和转动 平动刚体在运动过程中如果各个时刻刚体中任意一条直线始终保持彼此平行, 这种运动称为刚体的平动(也称为平行移动) 刚体平动过程中,其上各点运动轨迹的形状相同,且彼此平行;每一瞬时各点的速 度、加速度相等因此可用刚体上任意一点的运动 来描述平动刚体的运动 对上述结论可作如下解释如图3.1所示由刚 A 体的定义及刚体的平动的定义知矢量BA为常矢 量由于=+BA,说明A、B两点的轨迹彼此 平行而A、B两点是任意选定的所以在刚体的平 图31刚体的平动 动中,其上各点的轨迹形状相同且彼此平行,将 F=+BA两边对时间t求一阶导数得 (3.1)式对时间t再求一次导数得 du. du (3.2)
1 第 3 章 刚体力学 一般情况下,一个物体的运动是很复杂的,它不仅包括平动、转动,有时还有振动. 在质点力学的讨论中,只研究了物体运动中最常见的一种——平动,其它的运动被作为 暂时的、次要的东西忽略了,结果物体被简化为质点.在质点的平动问题解决以后,平动 退居次要地位,质点也从没有形状大小的几何点变为有形状大小的物体.在实践中我们 都知道,物体在力的作用下形状和大小要发生变化.例如:一块棉花,原来形状设为正方 形,现在用双手捏可以将它捏成圆形、长方形或其它形状,也可以把它压得很小,放开使 它的体积又较大,总之在力的作用下使它的形状和大小发生了变化.但是在有些问题中, 这种变化很不明显,我们眼睛几乎发现不了.例如:一张桌子,人们经常爬在上边写字,但 在短时间,我们并没有发现它的形状和大小有明显的变化.这时就可以将它的微小形变 忽略掉,又将此物体简化为一种理想的模型 —— 刚体 .所谓刚体,就是在外力作用下, 形状和大小都不改变的物体.也就是说,刚体内各质点之间的距离保持不变,刚体的各部 分之间没有相对运动.本章主要研究刚体的基本运动规律. §3.1 刚体的运动 复杂运动(平面运动、定点转动) 转动 平动 刚体的基本运动 ⎯复合⎯→ 一、刚体的平动和转动 平动 刚体在运动过程中,如果各个时刻刚体中任意一条直线始终保持彼此平行, 这种运动称为刚体的平动(也称为平行移动). 刚体平动过程中,其上各点运动轨迹的形状相同,且彼此平行;每一瞬时各点的速 度、加速度相等.因此可用刚体上任意一点的运动 来描述平动刚体的运动. 对上述结论可作如下解释,如图 3.1 所示,由刚 体的定义及刚体的平动的定义知,矢量 BA 为常矢 量.由于 rA = rB + BA ，说明 A、B 两点的轨迹彼此 平行.而 A、B 两点是任意选定的,所以在刚体的平 动中,其上各点的轨迹形状相同且彼此平行,将 rA = rB + BA 两边对时间 t 求一阶导数得 A B A B dt dr dt dr = 即 = (3.1) (3.1)式对时间 t 再求一次导数得 A B A B a a dt d dt d = = 即 (3.2)
式(31)、(32)说明任一瞬时平动刚体上各点的速度加速度均相等 转动如果刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动就称这一运动为刚体转动此直 线称为转轴转轴固定于参考系(即转轴的位置和方向相对于参考系是固定的)的情况 称为定轴转动例如门窗、钟表指针、砂轮、电机轴子等的转动都属于定轴转动若转 轴上有一点静止于参考系而转轴的方向在变化这种转动称为定点转动例如气象雷达 天线的转动玩具陀螺的转动就属于定点转动 刚体的定轴转动是转动中基本而普遍的情况,也是本章的重点内容对于定点转动 只简单介绍陀螺的运动 二、刚体的定轴转动 描述刚体的运动首先要确定刚体的位置在定轴转动的情况下,转轴已固定,取垂 直于转轴的平面为转动平面如图3.2所示在此转动平面内取一坐标轴ax,这样就可以 对刚体转动作定量描述 1刚体角坐标和角位移 在转动平面内任选一点A,设A的位置矢量为r, 因其大小不变故其位置可用自x轴转至OA的角0 表示,此θ称为定轴转动刚体的角坐标规定自x轴 逆时针转向OA时0为正刚体定轴转动可用函数 图3.2刚体定轴转动 e=(1) (3.3) 描述,此即刚体绕定轴转动的运动学方程 绕定轴转动的刚体在Δt时间内角坐标的增量△称为该时间内的角位移面对z轴 观察若△0>0,刚体逆时针转动;若△0<0,刚体瞬时针转动在国际单位制中,角坐标和角 位移单位为弧度(rad) 2角速度 设t时刻刚体的角坐标为θ,t+Mt时刻刚体的角坐标为θ,则定轴转动刚体在Mt时 间内的平均角速度和△t→0的瞬时角速度 e(t+△)-6()△M0 >0逆时针 →0 (34) △t dk<0顺时针 上式说明定轴转动刚体的角速度等于其角坐标对时间t的一阶导数而且刚体上各点的 角速度都相同因此角速度是描述整个刚体转动快慢的物理量o为正,表示刚体沿逆时 针方向转动;0为负表示刚体沿顺时针方向转动角速度的单位为弧度/秒 在工程中把每分钟转动的圈数称为转速用n表示,单位为转/分,则o与n的关系
2 式(3.1)、(3.2) 说明任一瞬时平动刚体上各点的速度,加速度均相等. 转动 如果刚体上各质点都绕同一直线作圆周运动就称这一运动为刚体转动,此直 线称为转轴.转轴固定于参考系(即转轴的位置和方向相对于参考系是固定的)的情况 称为定轴转动.例如门窗、钟表指针、砂轮、电机轴子等的转动都属于定轴转动.若转 轴上有一点静止于参考系,而转轴的方向在变化,这种转动称为定点转动.例如气象雷达 天线的转动,玩具陀螺的转动就属于定点转动. 刚体的定轴转动是转动中基本而普遍的情况,也是本章的重点内容,对于定点转动, 只简单介绍陀螺的运动. 二、刚体的定轴转动 描述刚体的运动,首先要确定刚体的位置.在定轴转动的情况下,转轴已固定,取垂 直于转轴的平面为转动平面,如图 3.2 所示,在此转动平面内取一坐标轴 ox,这样就可以 对刚体转动作定量描述. 1 刚体角坐标和角位移 在转动平面内任选一点 A,设 A 的位置矢量为 r , 因其大小不变,故其位置可用自 x 轴转至 OA 的角 表示，此 称为定轴转动刚体的角坐标.规定自 x 轴 逆时针转向 OA 时 为正,刚体定轴转动可用函数 = (t) (3.3) 描述,此即刚体绕定轴转动的运动学方程 . 绕定轴转动的刚体在 t 时间内角坐标的增量 称为该时间内的角位移.面对 z 轴 观察,若 >0,刚体逆时针转动;若 <0,刚体瞬时针转动.在国际单位制中,角坐标和角 位移单位为弧度（rad）. 2 角速度 设 t 时刻刚体的角坐标为 ,t+ t 时刻刚体的角坐标为 ',则定轴转动刚体在 t 时 间内的平均角速度和 t →0 的瞬时角速度 ⎯ ⎯→ = = + − = → 顺时针 逆时针 0 0 0 dt d t t t t t t ( ) ( ) (3.4) 上式说明定轴转动刚体的角速度等于其角坐标对时间 t 的一阶导数.而且刚体上各点的 角速度都相同.因此角速度是描述整个刚体转动快慢的物理量.为正,表示刚体沿逆时 针方向转动; 为负,表示刚体沿顺时针方向转动,角速度的单位为弧度／秒. 在工程中,把每分钟转动的圈数称为转速,用 n 表示,单位为转／分,则与 n 的关系
3角加速度 设t时刻刚体的角速度为o,t+Mt时刻刚体的角速度为o’,则定轴转动的刚体在△t 时间内的平均角加速度和△t→0的瞬时角加速度为 do与o同号刚体加速转动 B=0M-0→8=d与o异号刚体减速转动 (3.5) 上式说明定轴转动刚体的角加速度等于其角速度对时间的一阶导数,亦等于角坐标对 时间的二阶导数当β与o同号时,刚体作加速转动β与异号时刚体作减速转动 角加速度的单位为弧度/秒(rad/s) 角速度和角加速度在描述刚体定轴转动中所起的作用与质点运动中速度和加速 度的作用相似因此常把它们对应起来看待速度与角速度相对应加速度与角加速度相 对应 与质点运动学相似对于定轴转动的刚体若已知运动方程θ=0(),容易求出角速 度和角加速度;若已知角加速度和初始条件亦很容易求出角速度和运动方程 对于匀速定轴转动有 O=常数,0=00+01 对于匀变速定轴转动,则有 O=00+βt,6=00+001+β 2P(0-60) (36) 式中θ。、为初始时刻的角坐标和角速度 4定轴转动的刚体上某点的速度和加速度 定轴转动刚体上的各点都在绕轴上的一点作圆周运动,具有相同的角速度o,设某 点M到转轴的距离为R,则由圆周运动的规律得该点的速率为 Ro 上式说明定轴转动的刚体上任意一点的速度大小等于转动半径R与刚体角速度o的乘 积速度的方向指向该点转动的方向 M点的加速度分别用切向加速度和法向加速度表示,由其定义得: du do R E R RB R
3 为 n n 0 1 60 2 . = 3 角加速度 设 t 时刻刚体的角速度为, t+ t 时刻刚体的角速度为 ',则定轴转动的刚体在 t 时间内的平均角加速度和 t →0 的瞬时角加速度为 ⎯ ⎯→ = = → 与 异号刚体减速转动 与 同号刚体加速转动 dt d t t 0 (3.5) 上式说明定轴转动刚体的角加速度等于其角速度对时间的一阶导数,亦等于角坐标对 时间的二阶导数.当与同号时,刚体作加速转动,与异号时,刚体作减速转动. 角加速度的单位为弧度／秒（rad/s）. 角速度和角加速度在描述刚体定轴转动中所起的作用与质点运动中速度和加速 度的作用相似.因此常把它们对应起来看待,速度与角速度相对应,加速度与角加速度相 对应. 与质点运动学相似,对于定轴转动的刚体,若已知运动方程 = (t) ,容易求出角速 度和角加速度;若已知角加速度和初始条件,亦很容易求出角速度和运动方程. 对于匀速定轴转动有 = = +t 常数， 0 对于匀变速定轴转动,则有 , , ( ) 0 2 0 2 2 0 0 0 2 2 1 = + t = + t + t − = − (3.6) 式中 0、0 为初始时刻的角坐标和角速度. 4 定轴转动的刚体上某点的速度和加速度 定轴转动刚体上的各点都在绕轴上的一点作圆周运动,具有相同的角速度,设某 点 M 到转轴的距离为 R,则由圆周运动的规律得该点的速率为 = R (3.7) 上式说明定轴转动的刚体上任意一点的速度大小等于转动半径 R 与刚体角速度的乘 积,速度的方向指向该点转动的方向. M 点的加速度分别用切向加速度和法向加速度表示,由其定义得： 2 2 2 = = = = = = R R R R a dt d R dt d a n ( ) , (3.8)
由(3.7)、(38)式可知,若已知角量(、β),就可以求出刚体上任意一点作圆周运 动的线量(υ、a、an),可见角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态 例题3.1某发动机转子在启动过程中的转动方程为0=13,式中0以弧度计,t以秒 计转子的半径为R=0.5m.试求转子的外缘上M点在t=2s时的速度和切向、法向加速 解:根据角速度和角加速度定义得 22-1=25>brad/s, B do 3-1=256rad/s2 据线量与角量的关系得M点的速度和加速度在切向、法向的投影为 u=oR=6×0.5=3m/s an=RB=0.5×6=3m/s2,an=Ro2=0.5×62=18m/s2 U与a,同号,说明M点作加速运动 作业(P79):3.5
4 由(3.7)、(3.8)式可知,若已知角量（、）,就可以求出刚体上任意一点作圆周运 动的线量（ 、a、an ）,可见,角量充分地描述了刚体绕定轴的转动状态. 例题3.1某发动机转子在启动过程中的转动方程为 3 2 1 = t ,式中 以弧度计, t以秒 计,转子的半径为 R=0.5m. 试求转子的外缘上 M 点在 t=2s 时的速度和切向、法向加速 度. 解：根据角速度和角加速度定义得 2 2 2 2 6rad s 3 6rad s 2 3 / , = ⎯ ⎯→ / = ⎯ ⎯→ = = t= s t= s t dt d t dt d 据线量与角量的关系得 M 点的速度和加速度在切向、法向的投影为 = R = 60.5 = 3m/s 2 2 2 2 0 5 6 3m s 0 5 6 18m s − − a = R = . = / , a = R = . = / n 与 a 同号,说明 M 点作加速运动. 作业（P79）：3.5
§32刚体动力学 一、刚体的转动动能 刚体绕定轴转动时,构成刚体的所有质点的动能和称为刚体的转动动能设某时刻 刚体绕轴转动的角速度为,刚体中任一质元的质量为离轴的垂直距离为,则其线 速率为该质元的动能为 △E1=△mu2=△mr2o 将此式对所有质元求和即得整个刚体的动能 E=∑AE=C∑ (3.9a) 定义J=∑△mr2为刚体对z轴的转动惯量 则E4=J02 (39b) 二、刚体的转动惯量 转动惯量由前面讨论可知刚体的转动惯量 (3.10) 也就是说,转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方 的乘积的和而与质元的运动速度无关与平动动能比较可知转动惯量相当于平动时的 质量是物体在转动中惯性大小的量度 如果刚体的质量是连续分布的需将(310)式的求和变为积分 J=∫rm-“→ Lapd (3.11) 转动惯量的单位在国际单位中为千克米2(kgm2) 由转动惯量的定义式可知刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴的位置 有关因此在谈及转动惯量时,必须明确哪一刚体对哪一转轴的转动惯量. 平行轴定理刚体对任意轴的转动惯量J等于它对通过刚体质心且与该轴平行的 轴的转动惯量J,加上刚体的质量与两轴距离d的平方的乘积即 J=J+ma (3.12) 这一关系称为平行轴定理 正交轴定理薄板状刚体的质量均匀分布时,它对于板面内的两条正交轴的转动 惯量之和等于过这两轴的交点且垂直于板面的轴的转动惯量
5 §3.2 刚体动力学 一、刚体的转动动能 刚体绕定轴转动时,构成刚体的所有质点的动能和,称为刚体的转动动能.设某时刻 刚体绕 轴转动的角速度为,刚体中任一质元的质量为,离 轴的垂直距离为 ,则其线 速率为 .该质元的动能为 2 2 2 2 1 2 1 Ei = mii = mi ri 将此式对所有质元求和即得整个刚体的动能 2 2 2 1 = = ( ) i k i i i E E m r (3.9a) 定义 J m r 为刚体对Z轴的转动惯量 i z = i i 2 2 2 1 则 Ek = Jz (3.9b) 二、刚体的转动惯量 转动惯量 由前面讨论可知,刚体的转动惯量 = i z i i J m r 2 (3.10) 也就是说,转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方 的乘积的和,而与质元的运动速度无关.与平动动能比较可知,转动惯量相当于平动时的 质量.是物体在转动中惯性大小的量度. 如果刚体的质量是连续分布的,需将(3.10)式的求和变为积分 = ⎯⎯⎯→ V J r dm r dV 2 体积分 2 (3.11) 转动惯量的单位在国际单位中为千克米 2（kgm2）. 由转动惯量的定义式可知,刚体的转动惯量与刚体的质量、质量分布、转轴的位置 有关.因此,在谈及转动惯量时,必须明确哪一刚体对哪一转轴的转动惯量. 平行轴定理 刚体对任意轴的转动惯量 J,等于它对通过刚体质心且与该轴平行的 轴的转动惯量 Jc,加上刚体的质量与两轴距离 d 的平方的乘积.即 2 J = Jc + md (3.12) 这一关系称为平行轴定理. 正交轴定理 薄板状刚体的质量均匀分布时,它对于板面内的两条正交轴的转动 惯量之和,等于过这两轴的交点且垂直于板面的轴的转动惯量