第6章静电场中的导体和电介质 上一章已经讨论了真空中的静电场在实际中,电场中总有导体或电介质(即绝缘体) 存在本章将讨论静电场与导体、电介质的相互作用和影响对于导体本章只限于讨论 各向同性的均匀金属导体 s6.1静电场中的导体 、导体的静电平衡 金属导体的电结构特征是在它的内部有可以自由移动的电荷一一自由电子,将金 属导体放在静电场中,它内部的自由电子将受静电场的作用而产生定向运动,并在导 体侧面集结,使该侧面出现负电荷,而相对的另一侧面出现正电荷这就是静电感应现 象由静电感应现象所产生的电荷,称为感应电荷感应电荷同样在空间激发电场将这 部分电场称为附加电场而空间任一点的电场强度是外加电场和附加电场的矢量和在 导体内部附加电场与外电场方向相反随着感应电荷的增加,附加电场也随之增加,直至 附加电场与外电场完全抵消,使导体内部的场强为零,这时自由电子的定向运动也就停 止了在金属导体中,自由电子没有定向运动的状态称为静电平衡所以有如下的静电 平衡条件 (1)导体内部的场强处处为零(否则自由电子的定向运动不会停止 (2)导体表面上的场强处处垂直于导体表面(否则自由电子将会在沿表面分量的电 场力的作用下作定向运动) 由导体的静电平衡条件容易推出处于静电平衡状态的金属导体必具有下列性质 (1)整个导体是等势体,导体表面是等势面(这是由于导体上的任意两点a和b 因导体内各处电场强度为零而使其电势差为零) (2)导体内部不存在净电荷,电荷都分布在导体的表面上(这是由于导体内各处电 场强度为零,使得在导体内任意一闭面的电通量为零 二、导体表面的电荷和电场 处于静电平衡的金属导体电荷只分布在导体的表面上在导体表面上电荷的分布 与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关对于孤立导体实验表明导 体曲率愈大处(例如尖端部分)表面电荷面密度也愈大:导体曲率较小处,表面电荷面密 度也较小;在表面凹进去的地方(曲率为负)电荷 密度更小另外由高斯定理可以求出导体表面附近 E(n) 的场强与该表面处电荷面密度的关系 在导体表面紧邻处取一点P以E表示该处的 电场强度,如图6.1所示过P点做一个平行于导体 E=0 表面的小面积元△S,并以此为底,以过P点的导体 图61
1 第 6 章 静电场中的导体和电介质 上一章已经讨论了真空中的静电场.在实际中,电场中总有导体或电介质(即绝缘体) 存在.本章将讨论静电场与导体、电介质的相互作用和影响.对于导体本章只限于讨论 各向同性的均匀金属导体. §6.1 静电场中的导体 一、导体的静电平衡 金属导体的电结构特征是在它的内部有可以自由移动的电荷——自由电子,将金 属导体放在静电场中，它内部的自由电子将受静电场的作用而产生定向运动，并在导 体侧面集结，使该侧面出现负电荷，而相对的另一侧面出现正电荷,这就是静电感应现 象.由静电感应现象所产生的电荷,称为感应电荷.感应电荷同样在空间激发电场,将这 部分电场称为附加电场,而空间任一点的电场强度是外加电场和附加电场的矢量和.在 导体内部附加电场与外电场方向相反,随着感应电荷的增加,附加电场也随之增加,直至 附加电场与外电场完全抵消,使导体内部的场强为零,这时自由电子的定向运动也就停 止了.在金属导体中,自由电子没有定向运动的状态,称为静电平衡.所以有如下的静电 平衡条件： (1)导体内部的场强处处为零(否则自由电子的定向运动不会停止)； (2)导体表面上的场强处处垂直于导体表面(否则自由电子将会在沿表面分量的电 场力的作用下作定向运动). 由导体的静电平衡条件容易推出处于静电平衡状态的金属导体必具有下列性质： (1) 整个导体是等势体,导体表面是等势面(这是由于导体上的任意两点 a 和 b 因导体内各处电场强度为零而使其电势差为零)； (2) 导体内部不存在净电荷,电荷都分布在导体的表面上(这是由于导体内各处电 场强度为零,使得在导体内任意一闭面的电通量为零). 二、导体表面的电荷和电场 处于静电平衡的金属导体,电荷只分布在导体的表面上,在导体表面上电荷的分布 与导体本身的形状以及附近带电体的状况等多种因素有关.对于孤立导体,实验表明,导 体曲率愈大处(例如尖端部分),表面电荷面密度也愈大；导体曲率较小处,表面电荷面密 度也较小；在表面凹进去的地方(曲率为负),电荷 密度更小.另外由高斯定理可以求出导体表面附近 的场强与该表面处电荷面密度的关系. 在导体表面紧邻处取一点 P,以 E 表示该处的 电场强度,如图 6.1 所示.过 P 点做一个平行于导体 表面的小面积元 S ,并以此为底,以过P点的导体
表面法线为轴作一个封闭的扁筒扁筒的另一底面△S"在导体的内部由于导体内部的 场强为零,而表面紧邻处的场强又与表面垂直所以通过此封闭扁筒的电通量就是通过 ΔS面的电通量以σ表示导体表面上P点附近的面电荷密度据高斯定理可得 EAS g4S 表面临近处的场强与表面垂直 →= 其中n是导体表面法线方向上式表明带电导体表面附近的电场强度大小与该处面电 荷密度成正比 对于有尖端的导体由于尖端处电荷密度很大,尖端处的电场也很强,当这里的电场 强到一定值时,就可使空气中残留的离子在电场作用下发生激烈运动使得空气电离而 产生大量的带电粒子与尖端上电荷异号的带电粒子受尖端电荷的吸引,飞向尖端,使尖 端上的电荷中和掉;与尖端上电荷同号的带电粒子受到排斥而从尖端附近飞开从外表 上看,就好象尖端上的电荷被“喷射”出来放掉一样,这现象称为尖端放电在尖端放电 过程中还可使原子受激发光而出现电晕避雷针就是根据尖端放电的原理制成的在高 压设备中,为了防止因尖端放电而引起的危险和电能的浪费,可采取表面光滑的较粗导 体 三、静电屏蔽 1导体空腔 对于腔内没有带电体的空腔导体如图62(a)所示在导体内部作一包围空腔的高 斯面S由于S面上的场强在导 体处于静电平衡状态时处处为 零,由高斯定理可知导体空腔内 表面上的电荷代数和为零,导体 (b) 空腔内表面没有电荷分布[如图 图62 62(a否则若在导体内表面分 布着等量异号电荷[如图6.2(b)这时电力线就从导体空腔内表面某正电荷处出发而终 止到导体空腔内表面负电荷处,这与静电平衡时导体为等势体相矛盾;内表面上电荷密 度为零,内表面附近也不会有电场否则,若腔内空间存在电场,那么这种电场的电力线 就只能在腔内空间闭合这也是与静电场的性质相矛盾的所以,腔内没有电荷的导体 空腔在静电平衡时,其内表面没有电荷分布;空腔内没有电场、电势处处相等并等于导 体的电势 对于腔内有带电体的空腔导体,用高斯定理也不难证明,空腔内表面必定带有与腔 内带电体等量异号的电荷 静电屏蔽
2 表面法线为轴作一个封闭的扁筒,扁筒的另一底面 S' 在导体的内部.由于导体内部的 场强为零,而表面紧邻处的场强又与表面垂直,所以通过此封闭扁筒的电通量就是通过 S 面的电通量,以σ表示导体表面上 P 点附近的面电荷密度,据高斯定理可得 E n S E S ˆ 0 0 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ⎯→ = = 表面临近处的场强与表 面垂直 (6.1) 其中 n 是导体表面法线方向.上式表明带电导体表面附近的电场强度大小与该处面电 荷密度成正比 . 对于有尖端的导体,由于尖端处电荷密度很大,尖端处的电场也很强,当这里的电场 强到一定值时,就可使空气中残留的离子在电场作用下发生激烈运动,使得空气电离而 产生大量的带电粒子.与尖端上电荷异号的带电粒子受尖端电荷的吸引,飞向尖端,使尖 端上的电荷中和掉；与尖端上电荷同号的带电粒子受到排斥而从尖端附近飞开.从外表 上看,就好象尖端上的电荷被“喷射”出来放掉一样,这现象称为尖端放电.在尖端放电 过程中,还可使原子受激发光而出现电晕.避雷针就是根据尖端放电的原理制成的.在高 压设备中,为了防止因尖端放电而引起的危险和电能的浪费,可采取表面光滑的较粗导 体. 三、静电屏蔽 1 导体空腔 对于腔内没有带电体的空腔导体,如图 6.2(a)所示,在导体内部作一包围空腔的高 斯面 S,由于 S 面上的场强在导 体处于静电平衡状态时处处为 零,由高斯定理可知导体空腔内 表面上的电荷代数和为零,导体 空腔内表面没有电荷分布[如图 6.2 (a)],否则,若在导体内表面分 布着等量异号电荷[如图 6.2(b)],这时电力线就从导体空腔内表面某正电荷处出发,而终 止到导体空腔内表面负电荷处,这与静电平衡时导体为等势体相矛盾；内表面上电荷密 度为零,内表面附近也不会有电场.否则,若腔内空间存在电场,那么这种电场的电力线 就只能在腔内空间闭合,这也是与静电场的性质相矛盾的,所以, 腔内没有电荷的导体 空腔在静电平衡时,其内表面没有电荷分布；空腔内没有电场、电势处处相等并等于导 体的电势. 对于腔内有带电体的空腔导体,用高斯定理也不难证明,空腔内表面必定带有与腔 内带电体等量异号的电荷. 2 静电屏蔽
根据导体空腔的性质,在导体空腔内部若不存在其它带电体,则无论导体外部电场 如何分布也不管导体空腔自身带电情况如何,只要处于静电平衡,腔内必定不存在电场 另外,如果空腔内部存在电量为+q的带电体则在空腔内、外表面必将分别产生q和 q的电荷外表面的电荷+q将会在空腔外空间产生电场,如图6.3(a所示若将导体接 地,则由外表面电荷产生的电场随之消失,于是腔外空间将不再受腔内电荷的影响如图 63(b所示这种利用导体静电平衡性质使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影 响,或者将导体空腔接地使腔外空间免受腔内电荷和电场影响的现象,称为静电屏蔽. 分4 图63 静电屏蔽在电磁测量和无线电技术中有广泛的应用如常把测量仪器或整个实验 室用金属壳或金属网罩起来使测量免受外部的影响. 作业(P141)6.9
3 根据导体空腔的性质,在导体空腔内部若不存在其它带电体,则无论导体外部电场 如何分布,也不管导体空腔自身带电情况如何,只要处于静电平衡,腔内必定不存在电场. 另外,如果空腔内部存在电量为+q 的带电体,则在空腔内、外表面必将分别产生-q 和 +q 的电荷,外表面的电荷+q 将会在空腔外空间产生电场,如图 6.3(a)所示.若将导体接 地,则由外表面电荷产生的电场随之消失,于是腔外空间将不再受腔内电荷的影响,如图 6.3(b)所示.这种利用导体静电平衡性质使导体空腔内部空间不受腔外电荷和电场的影 响,或者将导体空腔接地,使腔外空间免受腔内电荷和电场影响的现象,称为静电屏蔽. 静电屏蔽在电磁测量和无线电技术中有广泛的应用.如常把测量仪器或整个实验 室用金属壳或金属网罩起来,使测量免受外部的影响. 作业(P141)：6.9
§62电容电容器 孤立导体的电容 理论和实践都证明任何一种孤立导体它所带的电量q与其电势V成正比,则孤立 导体所带的电量q与其电势Ⅴ的比值为一常数把这个比值称为孤立导体的电容用C 表示,即为 C=q∥ (6.2) 可见孤立导体的电容C只决定于导体自身的几何因素与导体所带的电量及电势无关 它反映了孤立导体储存电荷和电能的能力 例如,半径为R,带电为Q的孤立导体球,其电势,进而电容为 v=_0 BREx C C==4πER 在国际单位制中,电容的单位为法拉(F)常用的还有微法(μF)和皮法(PF 电容器及其电容 实际的导体往往不是孤立的在其周围还常存在着别的导体,且必然存在着静电感 应现象这时导体的电势V不仅与其所带的电量Q有关而且还与其它导体的位置、形 状以及所带电量有关也就是说,其它导体的存在将会影响导体的电容在实际中根据 静电屏蔽原理常常设计一导体组,使其电容不受外界的影响这种导体的组合就称为电 容器常用的电容器是由中间夹有电介质的两块金属板构成 设有两个导体A和B组成一电容器(常称导体A、B为电容器的两个极板)若A,B 分别带电+q和-q其电势分别为V和V2,电容器的电容定义为:一个极板的电量q与两 极板间的电势差之比,即 C=9=9 V1-V2 UAB (6.3) 孤立导体实际上也是一种电容器只不过另一导体在电势为零的无限远处 、几种常见的电容器及其电容 1平行板电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的平行金属板构成设金属板的面积为S,内侧 表面间的距离为d在极板间距d远小于板面线度的情况下,平板可看成无限大平面,因 而可忽略边缘效应若极板带等量异号电荷,电量大小为q面电荷密度为σ,则两极板间 的电势差为
4 §6.2 电容 电容器 一、孤立导体的电容 理论和实践都证明,任何一种孤立导体,它所带的电量 q 与其电势 V 成正比,则孤立 导体所带的电量 q 与其电势 V 的比值为一常数,把这个比值称为孤立导体的电容,用 C 表示,即为 C = q /V (6.2) 可见,孤立导体的电容 C 只决定于导体自身的几何因素,与导体所带的电量及电势无关, 它反映了孤立导体储存电荷和电能的能力. 例如,一半径为 R,带电为 Q 的孤立导体球 ,其电势，进而电容为 R V Q C R Q V 0 0 4 4 ⎯⎯⎯→ = = = 据定义 在国际单位制中,电容的单位为法拉(F).常用的还有微法(μF)和皮法(PF). 二、电容器及其电容 实际的导体往往不是孤立的,在其周围还常存在着别的导体,且必然存在着静电感 应现象,这时导体的电势 V 不仅与其所带的电量 Q 有关,而且还与其它导体的位置、形 状以及所带电量有关.也就是说,其它导体的存在将会影响导体的电容.在实际中,根据 静电屏蔽原理常常设计一导体组,使其电容不受外界的影响,这种导体的组合就称为电 容器.常用的电容器是由中间夹有电介质的两块金属板构成. 设有两个导体 A 和 B 组成一电容器(常称导体 A、B 为电容器的两个极板).若 A,B 分别带电+q 和- q,其电势分别为 V1和V2 ,电容器的电容定义为：一个极板的电量 q 与两 极板间的电势差之比,即 UAB q V V q C = − = 1 2 (6.3) 孤立导体实际上也是一种电容器,只不过另一导体在电势为零的无限远处. 三、几种常见的电容器及其电容 1 平行板电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的平行金属板构成.设金属板的面积为 S,内侧 表面间的距离为 d,在极板间距 d 远小于板面线度的情况下,平板可看成无限大平面,因 而可忽略边缘效应.若极板带等量异号电荷,电量大小为 q,面电荷密度为σ,则两极板间 的电势差为
C=JmE.d=Ed=°d= 据式63)得平行板电容器的电容为 q 80 S (64) 可见平行板电容器的电容与极板面积S成正比,与两极板间的距离d成反比 2同心球形电容器及其电容 这种电容器是由两个同心放置的导体球壳构成设内、外球壳的半径分别为RA和RB, 内球壳上带电量+Q,外球壳上带电量-Q据高斯定理可求得两球壳之间的电场强度大 小分布为 Q 方向沿径向向外两球壳间的电势差为 E·dl d 4 据式(63)得同心球形电容器的电容为 C Q_4π0RRB RB-R 当RB→∞时C=4x0RA此即为孤立导体球的电容 3同轴柱形电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的同轴导体圆柱面构成设内、外柱面的半径分 别为RA和RB圆柱的长为Z且内柱面上带电量+Q,外柱面上带电量Q当>RBRA 时,可忽略柱面两端的边缘效应,认为圆柱是无限长的据高斯定理可求得两柱面之间的 电场强度大小分布为 E 式中A是内柱面单位长度所带的电量两柱面间的电势差为 UR=Edi dr= R12 2 因为内柱面上的总电量为Q=1λ,所以同轴柱形电容器的电容为
5 d S q U E dl Ed d B B AB 0 0 = = = = 据式(6.3)得平行板电容器的电容为 d S U q C AB 0 = = (6.4) 可见平行板电容器的电容与极板面积 S 成正比,与两极板间的距离 d 成反比. 2 同心球形电容器及其电容 这种电容器是由两个同心放置的导体球壳构成.设内、外球壳的半径分别为 RA 和 RB , 内球壳上带电量+Q ,外球壳上带电量-Q .据高斯定理可求得两球壳之间的电场强度大 小分布为 2 0 4 r Q E = 方向沿径向向外.两球壳间的电势差为 ( ) A B R R B A AB r r Q dr r Q U E dl B A 1 1 4 4 0 2 0 − = = = 据式(6.3)得同心球形电容器的电容为 B A A B AB R R R R U Q C − = = 0 4 (6. 5) 当 RB→∞时,C=4πε0 RA ,此即为孤立导体球的电容. 3 同轴柱形电容器及其电容 这种电容器是由两块彼此靠得很近的同轴导体圆柱面构成.设内、外柱面的半径分 别为 RA 和 RB ,圆柱的长为 l,且内柱面上带电量+Q ,外柱面上带电量-Q .当 l>>RB -RA 时,可忽略柱面两端的边缘效应,认为圆柱是无限长的.据高斯定理可求得两柱面之间的 电场强度大小分布为 r E 0 2 = 式中λ是内柱面单位长度所带的电量.两柱面间的电势差为 A B R R R R AB R R dr r U E dl B A B A ln 0 0 2 2 = = = 因为内柱面上的总电量为 Q=l ,所以同轴柱形电容器的电容为