《电磁场》课程教学资源（习题解答，共十章）

a90::rzsin g)= ((rzsing)+raasingdd2adOVdrsingaea0OrOr002r-sin2A2sing)(sincoso)a1a1+0r2arr3r?singa0l. cos? -sin?012singrsinerr sine1-24若A(x, y,2)=xy2'e, +x ze +xy?eA(r,p,z)=e,r? cosp+e.r3 sinpA(r,0,p)=e,rsino+e =sin+eCOS6试求V·A，V×A及VA。aAyaA+OA.解①V.A-= v22 +0+0=y22;axayazexaeoeaeoloe-8aVxA=axay02axA.rzAA.xy23xy?=(2xy-x)le +(3xy222 -2xy2)e, +(3x*2-2xyz )e. :VA=e,VA +e,VA, +e'A-(2x2 +6xy22le +6xze, +(2y2 +2x2)e: :@ V.A=1%(4)+1+=1%(-cosp)+0=3rcosprorrαror16

16 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 r r z r r r                                 sin  0 1 sin 1 2        rz  r rz r r                                 2 3 2 2 2 3 2 2 3 3 2 2 sin 1 sin sin 1 1           r r r r r r 0 sin cos sin 1 2sin 1 3 2 2 2 2                   r r r r r r           sin 1 sin 2sin cos sin 4 4 2 2 4 r r r     1-24 若 y z A x y z xy z e x ze x y e x 2 3 3 2 2 ( , , )    ( ,, ) cos sin 2 3 A e e r r z r z  r        cos 1 sin 1 ( , , ) sin 2 r r r rr A  e e e 试求  A，  A 及 A 2  。 解 ① 2 3 2 3 y z 0 0 y z z A y A x Ax y z             A ； 2 3 3 2 2 xy z x z x y x y z A A A x y z x y z x y z x y z                e e e e e e A       x y z x y x e xy z xy e x z xyz e 2 3 2 2 2 2 3  2   3 2  3 2 ； x Ax y Ay z Az 2 2 2 2  A e  e  e      x y z xz xy z e xze y x e 3 2 2 2  2 6 6  2 2 ； ②   z A A r rA r r z r            1 1  A  cos 0 3 cos 1 3 r r r r     

e.ee.esesro1roro-aaVxA:arazarapazapA.MrA.r?cosd0rsind(r2 coss)+e,(-2rsing)+三(r2 sing)=e,rcosg-2esrsing+e.rsingVA=e,/A-4-24)e/vs-4+2a4)+e.VA+er2 0dy-2=2e,cosp-2e.sinp+3e.sing;（此处利用了习题26中的公式）1-(2A)+1. % (sin 0)+③ V.A=-2arrsinaersineCd11a二(r sin?0)+03 sing)+rsineaear=3sin0+ 2cos0r2e.e.eee,egr’sinersingrsinersineroraaaaaVxA:arodarad0000A.rAgrsinAArsinesiner-lsinecosesinecososine2cos0sinecosO-PA2aA22(sin GA,)V?A:rsineae2singd+ 2 0A - 2cosO aA,A./V?Ageolsin0sin017

17        cos 0 sin 2 2 r r r z r r A rA A r z r r r z r z r z                e e e e e e A               cos 2 sin sin cos 2 sin sin 2 2 r r r r r r r r r z r z e e e e e e        z z r r r r A A r r A A A r r A A 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2                            A e    e e        2er cos 2e sin 3ez sin ； （此 处 利用 了 习 题 26 中 的 公式 ） ③                              A r A r r A r r r sin 1 sin sin 1 2 1 A 2    sin  0 sin 1 sin 1 3 1 2 2             r r r r r 2 2cos 3sin r     ；                    sin sin sin cos sin sin sin sin sin 1 2 2                 r r r r r r A rA r A r r r r r r r e e e e e e A                             cos sin 2cos sin 3 3 2 r r r r e e e            3 3 2 sin cos sin 2cos r r r r       e e e ；                          A r A r A r r Ar r sin 2 sin sin 2 2 2 2 2 2 2 A e                         A r A r r A A r 2 2 2 2 2 2 sin 2 2cos sin e

A2aA2coso aAgrsin0rsinea"rsinead将矢量A的各个坐标分量代入上式，求得[2cos0 2sinの]cOsAcos24cos0VA:sinersin6rr1-25 若量A=e,os,1<r<2,试求[,-Adv，式中V为A所在的区域。解在球坐标系中，dV=r sinedrdedp，&(cs/ma)oV.A=r2 r1114将矢量A的坐标分量代入，求得[y(a-'ddorsinodr--f' dl'os sinodo =-I"cos dp=-21-26试求(e,3sin)·dS，式中S为球心位于原点，半径为5的球面。解利用高斯定理，fA.dS=JVAdV，则fAds=JAd=I'df'dof6singp sinodr=75m第二章静电场2-1若真空中相距为d的两个电荷q及q2的电量分别为q及4q，当点电荷q位于91及92的连线上时，系统处于平衡状态，试求g的大小及位置。解要使系统处于平衡状态，点电荷q受到点电荷q1及q2的力应该大小相qq2q'等，方向相反，即Fgg=Fgg。那么，由r2=2r,4元804元8018

18                          A r A r r A A r 2 2 2 2 2 2 sin 2cos sin 2 sin e 将矢 量 A 的各 个 坐标 分量 代 入上 式 ，求 得        3  3  4 2 2 sin 4cos 2cos 2sin cos sin cos2 r r r r r r A e e e                  1-25 若矢 量 , 1 2 cos 3 2   r  r r  A e ，试 求   V AdV ，式中 V 为 A 所 在 的区 域 。 解 在 球 坐标 系 中， d sin d d d 2 V  r r ，                              A r A r r A r r r sin 1 sin sin 1 2 1 A 2 将矢 量 A 的坐 标 分量 代入 ， 求得                          2 0 0 2 1 2 4 2 4 2 sin d cos d d d cos d r r r V r V V V A           2 0 0 2 sin d 2 cos d          2 0 2 cos d 1-26 试 求   S (er 3sin) dS ，式中 S 为球 心 位于 原 点，半径 为 5 的 球面 。 解 利 用 高斯 定 理， V S V d d   A S  A ，则 V S V d d   A S  A           2 0 0 5 0 2 sin d 6sin d d r r r 2  75 第二章 静电场 2-1 若真空中相距为 d 的两个电荷 q1 及 q2 的电量分别为 q 及 4q，当点电 荷 q  位于 q1及 q2的连线上时，系统处于平衡状态，试求 q  的大小及位置。 解 要使系统处于平衡状态，点电荷 q  受到点电荷 q1 及 q2的力应该大小相 等，方向相反，即 Fq q   Fq q  1 2 。那么，由 2 2 1 0 2 2 2 0 1 1 2 4 4 r r r q q r q q       

同时考虑到r+r2=d，求得201d,r=r=33可见点电荷可以任意，但应位于点电荷q,和q,的连线上，且与点电荷q相距d32-2已知真空中有三个点电荷，其电q92量及位置分别为：q3OE3qi =1C, P(0,0,1)EVq2 = 1C, P(1,0,1)7+ E2q3 = 4C, P(0,1,0)习题图2-2试求位于P(0,-1,O)点的电场强度。解令r,r,r,分别为三个电电荷的位置P,P,P到P点的距离，则r=/2,r=/3,n=2。q利用点电荷的场强公式E=e,，其中e.为点电荷q指向场点4元601P的单位矢量。那么，1qiq在P点的场强大小为E方向为8元504元80e,=21q292在P点的场强大小为E2方向为4元00212元80er2=1/3193q3在P点的场强大小为E,=方向为e,=-e,4元804元8013则P点的合成电场强度为19

19 同时考虑到 r1 r2  d ，求得 r d r d 3 2 , 3 1 1  2  可见点电荷 q  可以任意，但应位于点电荷 q 1和 q 2的连线上，且与点电荷 q1 相距 d 3 1 。 2-2 已知真空中有三个点电荷，其电 量及位置分别为： 4 , (0,1,0) 1 , (1,0,1) 1 , (0,0,1) 3 3 2 2 1 1 q C P q C P q C P    试求位于 P(0,1,0) 点的电场强度。 解 令 1 2 3 r ,r ,r 分别为三个电电荷的位置 1 2 3 P,P ,P 到 P 点的距离，则 r1  2 ， r2  3 ，r3  2。 利用点电荷的场强公式 r E e 2 4 0 r q   ，其中 r e 为点电荷 q 指向场点 P 的单位矢量。那么， q1 在 P 点的场强大小为 0 2 0 1 1 1 8 1 4    r q E ， 方 向 为   r y z e   e e 2 1 1 。 q2 在 P 点 的 场 强 大 小 为 0 2 0 2 2 2 12 1 4    r q E ，方向为   r x y z e   e e e 3 1 2 。 q3 在 P 点的场强大小为 0 2 0 3 3 3 4 1 4    r q E ，方向为 r y e  e 3 则 P 点的合成电场强度为 习题图 2-2 z x q1 q2 q3 P E3 E2 E1

E=E.+E,+E,111.1er（8/212/3）（8/212/34元12/32-3直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。解令点电荷-g位于坐标原点，r为点电荷-q至场点P的距离。再令点电荷+q位于+z坐标轴上，r为点电荷+q至场点P的距离。两个点电荷相距为l，场点P的坐标为（r,0,)。根据叠加原理，电偶极子在场点P产生的电场为2rE=4元（r考虑到r>>l，e,=e，r=r-lcoso，那么上式变为114((i -r)(ri +r)qqE:e4元起4元6rr(+-2.00)式中=(μ2+72-2rlcos0)-. 4r12111+以一为变量，并将-coso在零点作泰勒展开。由于r2rr1<<r，略去高阶项后，得7171-cos6cosr7r利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为- e neqE=cOsO3e+4元0r34元2-4已知真空中两个点电荷的电量均为2×10-C，相距为2cm，如习题图2-4所示。试求：①P点的电位：②将电量为2×10-6C的点电荷由无限远处缓慢地移至P点时，外力必须作的功。20

20                                 z e e e E E E E x y 12 3 1 8 2 1 4 1 12 3 1 8 2 1 12 3 1 1 0 1 2 3  2-3 直接利用式（2-2-14）计算电偶极子的电场强度。 解 令点电荷q 位于坐标原点， r 为点电荷q 至场点 P 的距离。再令点 电荷  q 位于+ z 坐标轴上， 1 r 为点电荷  q 至场点 P 的距离。两个点电荷 相距为 l ，场点 P 的坐标为（r,  ,）。 根据叠加原理，电偶极子在场点 P 产生的电场为           3 1 1 3 4 0 r r q r r E  考虑到 r >> l， 1 r e = er，r1  r l cos ，那么上式变为 r r r r q r r r r r r q r r E e e                      2 1 2 1 1 0 2 1 2 2 2 1 0 ( )( ) 4 4 式中   2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 cos 1 2 cos                    r l r l r r r l rl 以 r l 为变量，并将 2 1 2 2 1 2 cos             r l r l 在零点作泰勒展开。由于 l  r ，略去高阶项后，得  cos 1 1 cos 1 2 1 1 r l r r l r r            利用球坐标系中的散度计算公式，求出电场强度为 r θ E e e 3 0 3 0 2 0 4 sin 2 1 cos cos 1 4 r ql r ql r r l r q                                2-4 已知真空中两个点电荷的电量均为 6 2 10   C，相距为 2cm， 如习题图 2-4 所示。试求：①P 点的电位；②将电量为 6 2 10   C 的点电荷由无限远 处缓慢地移至 P 点时，外力必须作的功