《电磁场》课程教学资源_教学教案_第一章 矢量分析

《电磁场与电磁波》（第三版））谢处方电磁场与电磁波教学内容场：基本量及基本定律（cp2）、静电场（cp3）、边值问题（cp4）、恒定磁场（cp5）波：时变电磁场（cp6）、正弦平面电磁波(cp7)、导行波（cp8）、电磁辐射（cp9)基础：量分析微波技天线与电术基础波传播第一章矢量分析1.1标量场与失量场：标量：数学上：一实数域内任一代数量a(-c0,+o)物理上：代数量+物理意义：如电压电流等矢量：数学上：N维空间中既有大小又有方向的量物理上：如速度、电磁场等场：物理量数值的无穷集合（占有一定空间/除有限点外处处连续）标量场：物体的温度分布T(r,t)、电位分布p(rt)等矢量场：既具有大小又具有方向的场。如电场E(r,t)矢量的运算（加法/减法、点积、叉积）量的模：表示矢量的大小A矢量的方向a=A/A失量的相等：每个分量都相等即A=B则：Ai=Bi则：矢量的加法：每个分量对应相加如：A=i++4kB=6i+7+8kA+B=7i+10j+12k的和失量的点积：（标量积、投影积）对应分量相乘A*B=AB1+A2B2+A3B3=6+21+32=59失量的叉积：（矢量积）-行列式展开kkiAxB=-47 +167-11k2aaakb,b,be6场的特性标量场的等位面：在等位面（线）上的函数值相同即Φ（r）=常数失量场：力线流上任意点切线方向必然与失量方向相同。dlF(r)Fig 1. 1.4

《电磁场与电磁波》（第三版） 谢处方 一、电磁场与电磁波教学内容 场：基本量及基本定律（cp2）、静电场（cp3）、 边值问题（cp4）、 恒定磁场（cp5） 波：时变电磁场（cp6）、正弦平面电磁波(cp7)、导行波（cp8）、电磁辐射（cp9） 基础：矢量分析 第一章 矢量分析 1.1 标量场与矢量场： 标量:数学上：—实数域内任一代数量 a(-,+) 物理上：代数量+物理意义；如电压电流等 矢量:数学上：N 维空间中既有大小又有方向的量 物理上：如速度、电磁场等 场： 物理量数值的无穷集合（占有一定空间/除有限点外处处连续） 标量场：物体的温度分布 T(r,t)、电位分布 (r,t)等 矢量场：既具有大小又具有方向的场。如电场 E(r,t) 矢量的运算 （加法/减法、点积、叉积） 矢量的模：表示矢量的大小 A 矢量的方向： a A A = / 矢量的相等：每个分量都相等即 A=B 则：Ai=Bi 矢 量 的加 法： 每 个分 量对 应相 加 如 ：A=1i+3j+4k B=6i+7j+8k 则 ： A+B=7i+10j+12k 矢量的 点 积 ：（ 标 量 积 、 投 影 积 ） - 对应分量相乘 的 和 A*B=A1B1+A2B2+A3B3=6+21+32=59 矢量的叉积：（矢量积）-行列式展开 1 4 6 3 1 4 11 8 6 7 i k i k j j i i k k a a j j a j b B i b b A = = = − + − k 场的特性 标量场的等位面：在等位面（线）上的函数值相同 即 （r) = 常数 矢量场：力线流上任意点切线方向 必然与矢量方向相同。 微波技 术基础 天线与电 波传播 矢量场： dl F(r) Fig 1.1.4

×F()=0Udr×F(r)=0dle.ee,dxdydz=0FF,Fdz[dx dy]dxldydz= 0.= 0:=0:FFFF.FFdxF.-dyF=0:dxdy_dz(1.1.4)dxF.-dzF,=0,二-F.FF.dyF.-dzF =0;1.2天量场的不夹性描绘物理状态空间分布的标量函数/失量函数F(对于确定的时间是唯一的在正交坐标系：直角坐标(x,y,z,exey,ez)柱面坐标(r,o,zer,eo,ez)球面坐标(r,o, §, er,eo.es)F(r)=F(x,y,=)= F(r,0,=)=F(r,0,p)F()=F+F?+F?=F?+F?+F?=F+F?+F2例题1.2.1有一二维矢量场：F(r)=F(x,y)=é(-y)+é,(x)求此二维场的力线方程及场图__=K有：由力线方程1.1.4AFFFdx_dy= -xdx= ydy-yx即：x+y=c?标准圆方程eyF(r)= er F(r)可表示为：Xr= (x2+y2)1/2其中单位夫量er=F(r)/IF(r)I对于圆柱坐标有（附录坐标转换关系）Fig 1.2. 1

( ) 0 0 ( ) dr F r dr F r dl   =   = 0 x y z x y z e e e dx dy dz F F F = 0; 0; 0; x y y z x z dx dy dy dz dx dz F F F F F F  = = = 0; 0; 0; y x z x z y dxF dyF dxF dzF dyF dzF − = − = − =  (1.1.4) x y z dx dy dz F F F = = 1.2 矢量场的不变性 描绘物理状态空间分布的标量函数 (r)/矢量函数 F(r) 对于确定的时间是唯一的。 在正交坐标系： 直角坐标( x,y,z,ex,ey,ez )柱面坐 标( r, z,er,e,ez ) 球面坐标 ( r,  er,e,e ) F r F x y z F r z F r ( ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) = = =    2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) F r F F F F F F F F F = + + = + + = + + x y z r z r    例题 1.2.1 有一二维矢量场: ( ) ( , ) ) ( ) ( F r F x y x y = = + e −y e x 求此二维场的力线方程及场 图 由力线方程 1.1.4 x y z dx dy dz K F F F = = = 有： 2 2 2 dx dy xdx ydy y x x y c =  − = − 即： + = 标准圆方程 可表示为： F(r)= er F(r) 其中 r= (x2+y2)1/2 单位矢量 er=F(r)/|F(r)| 对于圆柱坐标有(附录坐标转换关系） y  ey ey x Fig 1.2.1

F(x,y)=(e, cos @-é, sinp).(-rsin p)+(e, sin p-e, cosp)-(rcosp)==é.r(sinp+cosp)=é.r=F(r,p)例题1.2.2求二维标量场u(xy)=y2-x的等值面由于z不影响u,故在任意z=const的面上场的分布是相同的。（片状分布）取u为某一常量时u=y2-x是一组抛物线→立体抛物柱面习题: 1.1,1.2,1.3,1.4

2 2 ( , ) ( sin cos ) ( cos ) ( sin ) (sin cos ) ( cos sin ) ( , ) F x y e e r r r e e e r F r e r r              =  + −  − − = = + = = 例题 1.2.2 求二维标量场 u(x,y)=y2-x 的等值面 由于 z 不影响 u,故在任意 z=const 的面上场的分布是相同的。(片状分布) 取 u 为某一常量 时 u = y2-x 是一组抛物线 → 立体抛物柱面 习题：1.1 , 1.2 , 1.3 , 1.4

1.3失量的通量、做度→分析失量穿过一个曲面的通量右手螺旋法则面元矢量dS=nds法向矢量n有两个要素：闭合面外法线（鸡蛋壳外表面）通量=A()·dS(r)=A(r)S(r)cos0,其中Q=(e,n)为面元法向矢量与失量A的夹角曲面通量（定义）[ A(r)·ds(r)= [ A·ndS = [ Acos ods闭合面:Φ,A(r)·ds(r)矢量流与穿越面积方向乘和的和如不为零：>0表示有净流出---体源<0表示有净流入-沟（负源）这些都是标志大范园体积的平均特性一收度空间茶点的特性一[A(r)·ds(r) divA(r)= V.AlimAtA→0由极限表示式可知散度与体积的取法无关是由闭合面收缩得到的。t Z效度的直角坐标表承：AZA设有如图的小立方体及矢量场AAX在y方向流出体积的总流量为：ZYaA,aA,Y- A,Axz+(A, +Ay)AxAz=AxAyAzXayay

1.3 矢量的通量、散度 → 分析矢量穿过一个曲面的通量 面元矢量 dS=n ds 法向矢量 n 有两个要素： 通量 =  = = A r dS r A r S r e n A ( ) ( ) ( ) ( )cos , ,   其中 （ ）为面元法向矢量与矢量 的夹角 曲面通量（定义） cos ( ( ( ) ( ) ) ) s s s s A dS r A ndS A dS A r S r r d • = • =  •    闭合面： ▪ 如不为零： >0 表示有净流出-体源 ▪ <0 表示有净流入-沟（负源） 这些都是标志大范围体积的平均特性 空间某点的特性-散度 0 ( ) ( ) ( ) lim s A r dS r divA r A  →  • = =   •  由极限表示式可知散度与体积的取法无关是由闭合面收缩得到的。 散度的直角坐标表示： 设有如图的小立方体及矢量场 A ) y ( y y y y A A y A A x z z x x y z y y  +  −   +  =        在 方向流出体积的总流量为： 右手螺旋法则 闭合面外法线（鸡蛋壳外表面） 矢量流与穿越面积方向乘积的和 Z Z A X Y Y X

aA类似的在X方向有：AxAyAzax在Z方向有.04AxAyAzOzaA,OA.aA.则体积的总流量为AxAyAzaxOzay由此：[A(r)·ds(r)OAOAA.divA= VA-lim△taxOzdyAr→0aaa为纳布拉算符其中：div=V=é+é+e.eyayOzax例题 1. 2.3 头量 场 A(t)=r 计算A 穿过球心在原点、半径为 a 的球面的通量并求出Vr解：首先要分清下面的重要概念：F表示位置失量（）表示矢量场：处场的大小正比于TZ即A(r)=kr本题k=1。r (r)在球坐标下：(r)=é,r=ée.ads=é,ds,é,.é,=l所以:dr(a)-ds =Φ(ae,).(e,·ds)=aΦds=4元a3(x, y, z)3Y直角坐标：aoadivr=V.r(r)(xe, + ye, +ze.)2+teOzaxay场的不变性axayaz=3axayOz1 a-(r2 .r) = 3球坐标：V·()=r2ar高斯效度定理

x z A X x y z x A Z x y z z           类似的 在 方向有： 在 方向有： x y z A A A x y z x y z        + +         则体积的总流量为 0 ( ) ( ) lim s x y z A r dS r A A A divA A  →  x y z •    =  = = + +      由此： x y z e e x z v e y di    = + +    其中： =  为纳布拉算符 例题 1.2.3 矢量 场 A(r)=r 计算 A 穿过球心在原点、半径为 a 的球面的通量并求出•r ( ) r r r r r    解：首先要分清下面的重要概念： 表示位置矢量 表示矢量场： 处场的大小正比于 即 A(r)=k r 本题 k=1。 3 r( ) ; 1 ( ) ( ) ( ) 4 r r r r r r r s s s r e r e ads e ds e e r a ds a e e ds a ds a  =  = = • = • =    = =    在球坐标下： 所以： ( ) ( ) 3 x y z x y z div r r r e e e xe ye ze x y z x y z x y z      =  • = + + • + +           = + + =    直角坐标： 2 2 1 r r r r ( ) ( ) 3 r r   • =  =  球坐标： 高斯散度定理 Z X Y (x,y,z) r (r) r 场的不变性