《电磁场》课程教学资源_教学教案_第四章 静态场边值问题解法

集国章赫态场边值问通舞法（拉氏方程）（泊松方程数值法解释法β=0=-/分保有电镜有边图离角限像限界解轴变变差法元元法法量换量84.1直角坐标中的分高变量法要求：给定边界与适当的坐标系相合（分段相合）当边界为直角坐标时，电位可表示为=0......4.1.1ax?ay?Oz2设β=f(x)·g().h(=)成立，代入上式，并除以有：()+8()+(日)=0f（）tg(a)（三)由于xy,z的任意性，要求每项都是常数df=-k,f..4.1.4dr?d'g=-k2g..4.1.5..dy?d'h-k."h*-4.1.6[ d?且：k+k2+k2=0...4.1.7三者仅有需个是独立变量，且不能都为实数。分商变量法（换二）以k为例：f(x)=cx+c2kx=0 为零f (x)= A sin(k,x)+ A, cos(k,x)kx为实数

第四章 静态场边值问题解法 2 2  0               =    = − 拉氏方程 泊松方 解 数 程 释法 值法 分 保 电 镜 离 轴 换 像 法 角 变 法 量 变 图 有 有 边 限 限 界 差 元 法 量 解 元 §4.1 直角坐标中的分离变量法 要求：给定边界与适当的坐标系相合（分段相合） 当边界为直角坐标时，电位  可表示为 222 2 2 2 0 4.1.1 x y z   + + =    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 h z h g y g y g y z h x z f f x f x     =   +  + = 设 成立，代入上式，并除以 有： 由于 x,y,z 的任意性，要求每项都是常数 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4.1.4 4.1.5 4.1.6 0 4.1.7 x y z y z x d g k g dy d h k d f k f dx k h dz k k      = −     = −  + = − 且： + = 三者仅有两个是独立变量，且不能都为实数。 分离变量法（续二） 以 kx 为例； kx =0 为零 ( ) 1 2 f x c x c = + kx 为实数 f x A k x A k x ( ) = + 1 2 sin( x x ) cos( )

B,sh(α,x)+B,ch(a,x)为纯虚数kx=jαxf(x)=[B'exp(α,x)+B, exp(αrx)g(y)与h(z)解的形式类似，并与kyk相4(px,y,z)=(x)g(y)h(=)所有待定常数可用边界条件确定。4Z例4.1.1求长方体内的电位函数。z=c时=0U(xv)其余为零。解：如图显见，为了满足x,y方向的(β=U(x, y)零边界条件，只能选sin(kxx)、sin(kyy)形式的解（kx=n/元a,ky=m/元b）nf(x)=.4.1.12A,sin4an=lx(m元g(t) =Z B, sin.4.1.13b0=mn1k,=±)(k2+k3)=±)(+()=±jα..：z=0,p=04 h(z)仅能选sh(αzz)形式m元0=224B.sm()sm(μ:.L[) ()4.1.14为了确定边界条件，令Z-Cm- B[() ()令2cms ()sis()- (x).4115有这正是函数U(x,y)的双重傅立叶展开式S元X1元式中的展开函数可sin乘上式两边并对x在(0.a)对y在(0,b)上积分.根据三角sinba函数的正交性,仅n=s和m=t的项除外,其余项积分均等于零

为纯虚数 kx =jx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 exp exp x x x x B sh x B ch x f x B x B x      + =     +  g(y)与 h(z)解的形式类似，并与 ky、kz 相 (x,y,z)=f(x)g(y)h(z) 所有待定常数可用边界 条件确定。 例 4.1.1 求长方体内的电位函数。z =c 时,=U(x,y),其余为零。 解：如图显见，为了满足 x,y 方向的 零边界条件，只能选 sin(kxx)、 sin(kyy) 形式的解（kx=na, ky=mb) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 2 2 sin 4.1.12 sin 4.1.13 n n n m z x y z n f x A x a m g x B y b n m k j k k j j a b       =  =   =       =            =  + =  + =                  ∵z=0,=  h(z)仅能选 sh(zz)形式 1 2 1 1 2 2 sin sin 4.1.14 n m n m n x m y A B a b n m sh z a b        = =      =                             +               为了确定边界条件，令 z=c 1 2 2 2 nm n m n m c A B sh c a b             = +                     令 ( ) 1 1 sin sin , 4.1.15 nm n m c U x n x a y m y b     = =             有    = 这正是函数 U(x,y)的双重傅立叶展开式 式中的展开函数可 sin sin t y b s x a    乘上式两边 并对 x 在(0,a),对 y 在(0,b)上积分.根据三角 函数的正交性,仅 n=s 和 m=t 的项除外,其余项积分均等于零. =U(x,y) z y x

abc.sin ()s()d=故-Iu()sin()sn()ay4rarS元u(x,y)sindxd:Cst=IsinlabJoJ几种特例：1)若U(x,)=U sinx.sinba则p的解只有n=S,m=t的项(c=U.)U.1元yS元xsin-.sinD：7ba[) ()c[) ()]2)U(x,y)=U。=常数$元x仅当s.t为奇数时，cos±0a16U。:.Crm(2n-1)(2m-1)元2若有多个表面不为零，可用叠加原理计算【x=αU→保留U，其余为零，得g如y=bU,→保留U，其余为零，得p2==cU，→保留U，其余为零，得β3则=例4.1.2求导体槽中的电位。槽由两块T形导体构成，两块间有狭缝，外加Uo。图4.1.2导本赠内的电解：因为z无限，故电位β仅与xy有关，所以我们可将原来的结构分解为以下两个部分LyAV0Uo-yUo/d线性梯度变d化的电位-yUb/d -

( ) 2 0 0 0 0 2 4 , sin sin sin sin b st st a a b ab c c s x t y U x y dxdy a b t y dy b s x dx a     =     =                         故 ( ) 0 0 4 , sin sin a b st s x t y c U x y dxdy ab a b        =           几种特例: ( ) 1 1 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 0 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1) , sin sin , ( ) sin sin s t s x t y U x y U a b n s m t c U U s x t y a b s t sh c a b s t sh z a b           =  = = = =                +                     +         若 则 的解只有 的项 ( )( ) 0 0 0 2 2) ( , ) , cos 0 16 2 1 2 1 a nm U x y U s x s t a U c n m   = =   = − − 常数 仅当 为奇数时， 若有多个表面不为零,可用叠加原理计算 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 2 3 x a U U y b U U z c U U         = →   = →   = → = + + 保留 ，其余为零，得 如 保留 ，其余为零，得 保留 ，其余为零，得 则 例 4.1.2 求导体槽中的电位。槽由两块 T 形导体 构成， 两块间有狭缝，外加 U0。 解：因为 z 无限，故电位  仅与 x,y 有关，所 以我们可将原来的结构分解为以下两个部分

Uo①.方程的解为=d②.先定边界：Uodoy2d若P2 (0, y) =U.dU.ydVd2d00≤y≤2则在x=0处P, +P2 =dUoysd2这样,在y=0,y=dx=0处均与原题一致：p=(P1P+2为原题的解，求P2：显然关于X对称，因此只需求Xc0的解即可。S元T2 (x,y)-ZA, exp..sird5=1代入x=0边界条件，有：UodO≤ysy2dST9=AsinU.d5=1sysdUod2用sin（晋y）乘上式并在0→d积分，有"A sin ()aS元-(-()+ ((u.-%y]sin(Sd=U. s()si(S元

①. 方程的解为 0 1 U y d  = ②. 先定边界: 若 ( ) 0 2 0 0 0 2 0, 2 U d y y d y U d U y y d d   −    =   −    则在 x=0 处 1 2 0 0 0 2 2 d y d U y d       + =      这样,在 y=0,y=d,x=0 处均与原题一致 ∴=1+为原题的解. 求  显然关于  对称 因此 只需求 的解即可。 2 ( ) 1 , exp sin s s s s x y A x y d d     =      = −           代入 x=0 边界条件，有： 0 2 1 0 0 0 2 sin 2 s s U d y y s d A y d U d U y y d d    =  −       = =       −     用 sin( ) s d y  乘上式并在 0→d 积分，有 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 sin sin sin sin sin d d d d s d d d s y A dy d U U s y s y y dy U y dy d d d d s y s y U U dy y dy d d d                    = − + −                     = −             

dS元A=UCOS-..22元2U。仅当s为偶数时，As0，且有A=S元s为偶数2U.(-1)"令2n=s,则A.n元U。(-1)"12n元2n..-expP2 =IsinXd元一n..=+2S4.2圆柱坐标中的分离变量法圆柱坐标中拉普拉斯方程为12(,2)+100+0=0rarlr?仅分析二维平面场，即与z无关，则有12()+10=0r or(orag?设=pf(r)g(),代入上式，并乘r2/p,有r a( af(r))1 a'g(g)0f(r)or(or J g(g) og?要对任意r.Φ均成立，仅当上面两部分都为常数则g"(Φ)+r'g(Φ)=0解为g()= Asin(r)+Bcos(rg)为保证中从0-→2元，必须是单值即[pr(β=])元2+r),则r必为整数n,g(g)= Asin(ng)+ Bcos(ng)..对于f(x)有(此时(2=-n2):

0 cos 2 2 s d d s A U s    = 仅当 s 为偶数时，As，且有 ( ) 0 2 2 1 S s s U A s = − 为偶数 令 2n=s, 则 ( ) 0 2 1 n n U A n = − ( ) 0 2 1 1 2 1 2 2 exp sin n n U n n x y n d d         = −      = −         = +  §4.2 圆柱坐标中的分离变量法 圆柱坐标中拉普拉斯方程为 2 2 2 2 2 1 1 r 0 r r r r z             + + =       仅分析二维平面场，即  与 z 无关，则有 2 2 2 1 1 r 0 r r r r           + =      设= f(r)g(),代入上式，并乘 r 2/有 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 0 r f r g r f r r r g           + =      要对任意 r, 均成立，仅当上面两部分都为常数 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 sin cos g r g g A r B r       + = = + 则 解为 为保证  从→  ， 必须是单值 即r((=)+r)则 r 必为整数 n,  = + g A n B n (   ) sin cos ( ) ( ) 对于 f(x)有(此时 r 2= -n 2):