《电磁场》课程教学资源（习题解答，共十章）

x=rcosp，y=rsinp, z=z因此，该点在直角坐标下的位置为2元）2元=2/3;z=3x=4cos-2; y=4sin33同样，根据球坐标系和直角坐标系坐标变量之间的转换关系，x?+y2r=/x?+y?+2;0=arctanΦ=arctan-Zx可得该点在球坐标下的位置为4r=5；~53°Φ=120°①=arctan31-20已知直角坐标系中的矢量A=ae,+be,+ce.，式中a，b，c均为常数，A是常失量吗？试求该矢量在圆柱坐标系及圆球坐标系中的表示式。解由于A的大小及方向均与空间坐标无关，故是常矢量。已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为r=/x +y;=arctanZ = Zxbr=Va?+b2；Φ=arctan-求得z=Cabasing=cosp=Va? +b2Va?+b2又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为A.cosdsind0TAsingcosdAA.001JA.A.将上述结果代入，求得11

11 x  r cos ， y  rsin ， z  z 因此 ， 该点 在 直角 坐标 下 的位 置 为 2 3 2 4cos           x ; 2 3 3 2 4sin          y ; z = 3 同 样 ， 根 据 球 坐 标 系 和 直 角 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转换 关 系， 2 2 2 r  x  y  z ； z x y 2 2 arctan    ； x y   arctan 可得 该 点在 球 坐标 下的 位 置为 r  5 ；  53 3 4   arctan  ；   120 1-20 已 知 直 角 坐 标 系 中 的 矢 量 y z A ae be ce  x   ， 式 中 a, b, c 均 为 常数 ， A 是常 矢 量吗 ？ 试 求该 矢 量在 圆 柱坐 标系 及 圆球 坐 标系 中的 表 示式 。 解 由 于 A 的 大 小 及 方 向 均 与 空 间 坐 标 无 关 ， 故 是 常 矢 量。 已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关系 为 2 2 r  x  y ； x y   arctan ； z  z 求得 2 2 r  a b ； a b   arctan ； z c 2 2 sin a b b    ； 2 2 cos a b a    又知 矢 量 A 在 直角 坐标 系 和圆 柱 坐标 系中 各 个坐 标 分量 之 间的 转 换关 系为                                 z y x z r A A A A A A 0 0 1 sin cos 0 cos sin 0      将上 述 结果 代 入， 求得

baVa?+b2Va?+bA6a04:Va?+b2Na?+b2A00即该矢量在圆柱坐标下的表达式为A=e,Va?+b+e.c直角坐标系和球坐标系的坐标变量之间的转换关系为/x?+/x2+y?+=0=arctanaretarZ由此求得Va?+b?br=Va?+b?+c?;0=arctararctarC矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为[A.[sincosdcososinesingAcosocosdcoso sinp-sineA0-sinpcospAA求得Na?+b? +c?singsingcosoAsincosdla0-sincosAcosdcososingA.P00-singcosdACA=e.Va+b?+c?.即该失量在球坐标下的表达式为1-21已知圆柱坐标系中的矢量A=ae,+be。+ce.，式中a,b,c均为常数，A是常矢量吗？试求V·A及V×A以及A在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的表示式。解因为虽然a，b，c均为常数，但是单位矢量er和e均为变矢，所以A不是常矢量。12

12                                                           c a b c b a a b a a b b a b b a b a A A A z r 0 0 0 1 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  即该 矢 量在 圆 柱坐 标下 的 表达 式 为 a b c r z A e  e 2 2 直 角 坐 标 系 和 球 坐 标 系 的 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关 系 为 2 2 2 r  x  y  z ；           z x y 2 2  arctan ；        x y  arctan 由此 求 得 2 2 2 r  a b c ；           c a b 2 2  arctan ；        a b  arctan 矢 量 A 在直 角 坐标 系和 球 坐标 系 中各 个坐 标 分量 之 间的 转 换关 系 为                                  z y r x A A A A A A sin cos 0 cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos               求得                                                 0 0 sin cos 0 cos cos cos sin sin sin cos sin sin cos 2 2 2 a b c c b a A A Ar               即该 矢 量在 球 坐标 下的 表 达式 为 2 2 2 a b c Aer   。 1-21 已 知 圆 柱 坐 标 系 中 的 矢 量 r z A ae be ce  ， 式 中 a, b, c 均 为 常数 ，A 是常 矢 量吗 ？ 试求  A 及 A 以及 A 在相 应 的直 角 坐标 系及 圆 球坐 标 系中 的表 示 式。 解 因为 虽 然 a, b, c 均为 常 数， 但 是单 位矢 量 er 和 e均 为变 矢 ，所 以 A 不是 常矢 量

已知圆柱坐标系中，矢量A的散度为-1%(r4)+104 +4V.A=o0ararV.A=1%(ar)+0+0=将A=ae,+be+ce.代入，得r ar1量A的旋度为e.e.eye.eseproro1oraaabVxA-eazOzaraorad1aA.A.rbrAc已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为x=rcosd;y=rsing;Z=Zx-X.ycosΦ=sin@==aaVx?+y2Vx?+y?又知矢量A在直角坐标系和圆柱坐标系中各个坐标分量之间的转换关系为A0TA[cosd-singsing0AA.cosd001LA.A将上述接结果代入，得b[x-yx-0aAaaabyx06A.y+xaoaao1 Lc]LA.c即该失量在直角坐标下的表达式为".b.)bA=x-y+=xe,+ce.,其中x+y2=a?。-ylex+laa矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系13

13 已知 圆 柱坐 标 系中 ，矢 量 A 的 散 度为   z A A r rA r r z r            1 1  A 将 r z A ae be ce  代入 ，得   r a ar r r        0 0 1 A 矢 量 A 的旋 度 为 r z r z A rA A r z r r            e e e A z r z r b a rb c r z r r e e e e           已 知 直 角 坐 标 系 和 圆 柱 坐 标 系 坐 标 变 量 之 间 的 转 换 关系 为 x  r cos ; y  rsin ; z  z a x x y x    2 2 cos ; a y x y y    2 2 sin 又知 矢 量 A 在 直角 坐标 系 和圆 柱 坐标 系中 各 个坐 标 分量 之间 的 转换 关 系为                                 z r z y x A A A A A A      0 0 1 sin cos 0 cos sin 0 将上 述 接结 果 代入 ，得                                                            c x a b y y a b x c b a a x a y a y a x A A A z y x 0 0 1 0 0 即该 矢 量在 直 角坐 标下 的 表达 式 为 x y z x c a b y y a b A x e e  e                ，其 中 2 2 2 x  y  a 。 矢 量 A 在圆 柱 坐标 系和 球 坐标 系 中各 个坐 标 分量 之 间的 转 换关 系

sing0cosocosoA0sineA.010A.A以及sino=αc求得cosO=r1aCI?+c?0r[A1CIarra600Ag0ro1o[b]6cA1即该矢量在球坐标下的表达式为A=re,+be。。1-22已知圆球坐标系中矢量A=ae,+be.+ce，式中a,b,C均为常数，A是常矢量吗？试求V·A及V×A，以及A在直角坐标系及圆柱坐标系中的表示式。解因为虽然a,b,c均为常数，但是单位矢量er，eo，e均为变，所以A不是常矢量。在球坐标系中，矢量A的散度为11%(24)+(sin eA,)+CAV.A=r2 Orrsingaersine2ab将失量A的各个分量代入，求得V·A=-coto。17矢量A的旋度为ee,egrsingrsineroaaVxA=adar00A.rsinGArAgeeregr?singrsineraaabarapa0rbarsinec14

14                                 z r r A A A A A A        0 1 0 cos 0 sin sin 0 cos 以及 r a sin  ， r c cos  ，求 得                                                                    b r b r a c c b a r a r c r c r a A A Ar 0 0 0 1 0 0 0 2 2   即该 矢 量在 球 坐标 下的 表 达式 为  A re be  r  。 1-22 已 知圆 球 坐 标系 中 矢量   A ae be ce  r   ，式中 a, b, c 均 为 常数 ，A 是 常矢 量 吗？ 试 求  A 及  A ，以 及 A 在直 角 坐标 系 及圆 柱坐 标 系中 的 表示 式。 解 因为 虽 然 a, b, c 均为 常 数，但 是 单 位矢 量 er，e，e 均为 变 矢， 所 以 A 不是常 矢 量。 在球 坐 标系 中 ，矢 量 A 的 散度 为                              A r A r r A r r r sin 1 sin sin 1 2 1 A 2 将矢 量 A 的 各 个分 量代 入 ，求 得 cot 2 r b r a A  。 矢 量 A 的旋 度 为          A rA r A r r r r r r sin sin sin 2         e e e A         e e e e r b a rb r c r r r r r         sin sin sin 2

利用矢量A在直角坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系A.[sincosdcosocosd-singdA.singsindcososingA.cosdM-sine0cosoAA.2+y2x2+y2xcosbsineVx+y2aVx?+y?+2?以及，求得yNNsinpcosOVx?+y0Vx?+y?+该矢量在直角坐标下的表达式为byzbxzcycxNy+ayx?+y/x? +ya/x?+vx2a利用矢量A在圆柱坐标系和球坐标系中各个坐标分量之间的转换关系b1三0r+2asinecosoOAA.aaoaob00AAcrN.60A.ccoso-sine0A.aaN-1a求得其在圆柱坐标下的表达式为1-23 若标量函数d(x,y,2)=xyz，@(x,p,z)=rzsinp,sing试求，及。Φ(r.0.@)=r?adadad0=解=0+2xz+0=2xzax?0z2ay?15

15 利用 矢 量 A 在 直角 坐标 系 和球 坐 标系 中各 个 坐标 分 量之 间 的转 换 关系                                                A A A A A A r z y x cos sin 0 sin sin cos sin cos sin cos cos cos sin 以及            2 2 2 2 sin cos x y y x y x   ，                  a z x y z z a x y x y z x y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin   ，求 得 该矢 量 在直 角 坐标 下的 表 达式 为 z x y a b x y z x y cx a x y byz y x y cy a x y bxz x e A e e                                      2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 利用 矢 量 A 在 圆 柱 坐标 系 和球 坐 标系 中各 个 坐标 分 量之 间 的转 换 关系                                                                            r a b z c z a b r c b a a r a z a z a r A A A A A A r z r 0 0 0 1 0 cos sin 0 0 0 1 sin cos 0        求得 其 在圆 柱 坐标 下的 表 达式 为 r z r a b z c z a b A r e e e                  。 1-23 若 标 量 函 数 x y z xy z 2 1  ( , , )  ， 2 (x,,z)  rzsin ， 3 2 sin ( , , ) r r      ，试 求 1 2   ， 2 2   及 3 2   。 解 xz xz x y z 0 2 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2                  