例3.1长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为e。。（1）计算线电荷平分面上任意点的电位：（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场E，并用E=-V核对。分析直接利用电位的积分公式计算电位β；计算电场时，线电荷元prod-的电场有e和e两个分量，由于电荷关于平分面对称分布，可在对称位置上再取一个线电荷元，两个对称线电荷元的电场只有e分量，而e.分量相互抵消，从而将矢量函数的积分化为标量函数的积分，简化了计算。解（1）建立如例3.1图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点P的电位为Piodzp(r,0)=-1/2 4元6 /r2 + 2/2= P0 In +(L/2) + L/2Pro-1n(2'+ VrP +224元8-L/24元80Jr2 +(L/2)2 - L/2/r2 +(L/2)* + L/2Pio2元8r（2）根据对称性，可得两个对称线电荷元Prode'Prorde'dE =e,dE, =e,cose:Prod-在点P的电场为2元80(2 + 2"2)3/22元82+22故长为L的线电荷在点P的电场为Piord-E=[dE2元80(r2 +2'2)3/2LZL/2OI0Pio4元80rJ2+(L/2)2元801Vr2+z2由E=-V求E，有In L/2 + /r2 +(L/2)PiovInE=-V0=--2元80rP% [In(L/2+ F2+(L/2))-In-e2元。d
例 3.1 长度为 L 的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为 l 0 。（1）计算线电荷平分 面上任意点的电位 ；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意点的电场 E ，并用 E = − 核对。 分析 直接利用电位的积分公式计算电位 ；计算电场时，线电荷元 0 dl z 的电场有 z e 和 r e 两个分量，由于电荷关于平分面对称分布，可在对称位置上再取一个线电荷元，两个 对称线电荷元的电场只有 r e 分量，而 z e 分量相互抵消，从而将矢量函数的积分化为标量函 数的积分，简化了计算。 解 （1）建立如例 3.1 图所示坐标系。根据电位的积分表达式，线电荷平分面上任意点 P 的电位为 2 0 2 2 2 0 d ( ,0) 4 L l L z r r z − = + 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 0 0 ( 2) 2 ln( ) ln 4 4 ( 2) 2 L l l L r L L z r z r L L − + + = + + = + − 2 2 0 0 ( 2) 2 ln 2 l r L L r + + = （2）根据对称性，可 得两个对称线电荷元 z l d 0 在点 P 的电场为 故长为 L 的线电荷在点 P 的电场为 2 0 2 2 3 2 0 0 d d 2 ( ) L l r r z r z = = + E E e 2 0 0 2 2 2 2 0 0 0 ( ) 2 4 ( 2) L l l r r z L r r r z r L = = + + e e 由 E = − 求 E ，有 2 2 0 0 2 ( 2) ln 2 l L r L r + + = − = − E ( ) 0 2 2 0 d ln 2 ( 2) ln 2 d l r L r L r r = − + + − e 0 0 2 2 3 2 2 2 0 0 d d d d cos 2 2 ( ) l l r r r r z r z E r z r z = = = + + E e e e
LDioe4元8rJr2+(L/2)2元60 [L/2 + rP +(L/2)1/r2 +(L/2)2评注由于对称性，线电荷平分面上的电场E只有e分量，因此根据线电荷平分面上的电位β，由E=-Vβ求出线电荷平分面上的电场E。而在其它平面上电场E不仅有e,分量，而且有e.分量，由此仅根据该平面上的电位β，由E=-Vβ不能求出电场E，只能得到E的e,分量。例3.2在无限大真空中，已知电位(n)=一e，求对应的电场强度及电荷分布。4元60分析r=0处是o(r)的奇异点，在该点应有一个点电荷。在r±0处，可由P=-SV求得电荷体密度，而位于r=0处的点电荷，则可应用高斯定律求得。解（1）电场强度为dqe-r1aq1E=-V@=-三d4元4元801（2）在r±0处，电荷体密度为1 d(rE)=VE=0=qld(11er/)er/21= Ir4元r2drrar4元个为了确定r=0处的点电荷，作一个半径为r的球面S。由高斯定律可得到球面s内的总电荷Q为Q=8od,EdS = 4元8r"E=q(1+)e-/球面S内的总体电荷Q为'= J, pdt =-°-e/dr= q(1+)el-/l -q—104元2故r=0处的点电荷g。为 =Q-Q=q评注在给定E或β=分布，可应用p=sV.E或p=-sV求电荷分布。但应注意：在E或β的奇异点处可能有点电荷，而在E的突变面上，可能有面分布的自由电荷
0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 1 2 4 [ 2 ( 2) ] ( 2) ( 2) l l r r r L L r L r L r L r r = − − = + + + + e e 评注 由于对称性，线电荷平分面上的电场 E 只有 r e 分量，因此根据线电荷平分面上 的电位 ，由 E = − 求出线电荷平分面上的电场 E 。而在其它平面上电场 E 不仅有 r e 分量，而且有 z e 分量，由此仅根据该平面上的电位 ，由 E = − 不能求出电场 E ，只 能得到 E 的 r e 分量。 例 3. 2 在无限大真空中，已知电位 0 ( ) 4 q r r e r − = ，求对应的电场强度及电荷分布。 分析 r = 0 处是 ( )r 的奇异点，在该点应有一个点电荷。在 r 0 处，可由 2 = − 0 求得电荷体密度，而位于 r = 0 处的点电荷，则可应用高斯定律求得。 解 （1）电场强度为 2 0 0 d 1 1 ( ) ( ) d 4 4 r r r r q q e e r r r r − − E e e = − = − = + （2） 在 r 0 处，电荷体密度为 2 0 0 2 1 d ( ) d r E r r = = E 2 2 2 2 1 d 1 1 [ ( ) ] 4 d 4 q q r r r e e r r r r r − − = + = − 为了确定 r = 0 处的点电荷，作一个半径为 r 的球面 S 。由高斯定律可得到球面 S 内的 总电荷 Q 为 2 0 0 d 4 (1 ) r S r Q r E q e − = = = + E S 球面 S 内的总体电荷 Q 为 2 0 d d (1 ) 4 r q r r r Q e r q e q r − − = = − = + − 故 r = 0 处的点电荷 0 q 为 q = Q −Q = q 0 评注 在给定 E 或 = 分布，可应用 = E 或 2 = − 求电荷分布。但应注意： 在 E 或 的奇异点处可能有点电荷，而在 E 的突变面上，可能有面分布的自由电荷
例3.3在半径分别为a和b的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度P=P.C/m3。已知外球壳接地，内球壳的电位为U。，如例3.3图所示。求两导体球壳间的电场和电位分布。分析在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由两导体球壳间的电位差确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。解在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称性，可用高斯定律求解。设内球壳的外表面上的感应电荷面密度。根据高斯定律，有4mepr" =4ad'o+(n-α)Pp3(a<r<b)U所以aa?Po(aE(r)=r360GorA例3.3图(a<r<b)aa2aPo(r-E(r)dr)jdr60r23605- a(b-a) + Po,b2 -α?a(b-a)3802bs.b得到cbU.Po(b2 + ab-2a)9=一a(b-a)6a故两导体球壳间的电位分布为aoa+ Po (r-[E(r)dr=)]drp(r)=r360Gorga (b-r)+ Po,b -r_ a(b-n)2brbr360评注此题的要点在于导体的表面上有未知的感应电荷分布，用高斯定律求电场时，必须注意考虑感应电荷产生的电场。例3.4两块无限大接地导体平面分别置于x=0和x=a处，其间在x=x处有一面
例 3.3 在半径分别为 a 和 b 的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度 3 = 0 C m 。已知外球壳接地，内球壳的电位为 U0 ，如例 3.3 图所示。求两导体球壳间 的电场和电位分布。 分析 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称 性，可用高斯定律求解。先假设内球壳的外表面上的感应电荷面密度，求出电场强度后，由 两导体球壳间的电位差确定出内球壳的外表面上的感应电荷面密度。 解 在内球壳的外表面和外球壳的内表面上都有感应电荷。由于电荷分布具有球对称 性，可用高斯定律求解。设内球壳的外表面上的感应 电荷面密度 。根据高斯定律，有 2 2 3 3 0 0 4 4 4 ( ) 3 r E a r a = + − (a r b) 所以 2 3 0 2 2 0 0 ( ) ( ) 3 a a E r r r r = + − (a r b) 2 3 0 0 2 2 0 0 ( )d [ ( )]d 3 b b a a a a U E r r r r r r = = + − 2 2 2 0 0 0 ( ) ( ) [ ] 3 2 a b a b a a b a b b − − − = + − 得到 0 0 0 2 2 ( 2 ) ( ) 6 bU b ab a a b a a = − + − − 故两导体球壳间的电位分布为 2 3 0 2 2 0 0 ( ) ( )d [ ( )]d 3 b b r r a a r E r r r r r r = = + − 2 2 2 3 0 0 0 ( ) ( ) [ ] 3 2 a b r b r a b r br br − − − = + − 评注 此题的要点在于导体的表面上有未知的感应电荷分布，用高斯定律求电场时，必 须注意考虑感应电荷产生的电场。 例 3.4 两块无限大接地导体平面分别置于 x = 0 和 x = a 处，其间在 0 x = x 处有一面 U0 b a 0 例 3.3 图
密度为。。C/m2的均匀电荷分布，如例3.4图所示。求两导体板之间的电场和电位。分析在两块无限大接地导体平面之间，除x=x。处有均匀面电荷分布外，其余地方均无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程。再根据导体平面上以及x=x。处的边界条件，即可求出电位分布。解在两块无限大接地导体平面之间，除x=x。。处有均匀面电荷分布外，其余地方均无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程d'o(α) =0(0<x<x)dx?d'g,(x)=0 (x<x<a)dx?由此可解得9(x)=Cx+ D(0<x<x)P2(x)=C2x+ D,(x<x<ap(x)(x)p(x)和g(x)满足的边界条件为09(0) = 0,P(a)= 0Xo(x)=(x),op2(x)_g(x)例3.4图00axaxx=X60于是有[D, = 0C,a+D, =0Cixo +D, =C2xo +D2C,-C, =-060由此得到C, =-0(% -a) ,D,=0SoaC, =-Coo'D, =CoaSoa60所以0(a)=0(α-0) x(0≤x≤x)Goa
密度为 2 0 C m 的均匀电荷分布，如例 3.4 图所示。求两导体板之间的电场和电位。 分析 在两块无限大接地导体平面之间，除 0 x = x 处有均匀面电荷分布外，其余地方均 无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程。再根据导体平面上以及 0 x = x 处的边界条件， 即可求出电位分布。 解 在两块无限大接地导体平面之间，除 0 x = x 处有均匀面电荷分布外，其余地方均 无电荷分布，电位满足一维拉普拉斯方程 2 1 2 0 d ( ) 0 (0 ) d x x x x = 2 2 2 0 d ( ) 0 ( ) d x x x a x = 由此可解得 1 1 1 0 ( ) (0 ) x C x D x x = + 2 2 2 0 ( ) ( ) x C x D x x a = + 1 ( ) x 和 2 ( ) x 满足的边界条件为 1 (0) 0, = 2 ( ) 0 a = 1 0 2 0 ( ) ( ) x x = ， 2 1 0 0 0 ( ) ( ) [ ] x x x x x x − = − = 于是有 1 2 2 1 0 1 2 0 2 0 2 1 0 0 0 D C a D C x D C x D C C = + = + = + − = − 由此得到 0 0 1 0 ( ) x a C a − = − ， D1 = 0 0 0 2 0 x C a = − ， 0 0 2 0 x D = 所以 0 0 1 0 ( ) ( ) a x x x a − = 0 (0 ) x x x 0 x y 0 a o 1 ( ) x 2 ( ) x 例 3.4 图
(x≤x≤a)P(x) = 00 (aα- x)Soadp,(x)_(0<x<xo)-e Co(a-x)E, =-Vq(x)=-edxSoado() =e, (x<x<a)E, =-V2(x)=-exdxGoa评注对于这种具有面分布电荷的问题，以电荷所在的曲面为边界划分求解区域，把电荷面密度归结到边界条件中，求出各区的电位通解后，再由边界条件确定系数，这是一种常用的处理方法；此外，由于电场分布具有平面对称性，此题也可用高斯定律求解。例3.5球形电容器的内导体半径为a，外导体内半径为b，其间填充介电常数分别为，和s，的两种均匀介质，如例3.5图所示。设内球带电荷为q，外球壳接地，求：（1）两S球壳间的电场和电位分布；（2）极化电荷分布：（3）导体表面上的自由电荷面密度。分析由于电场方向沿径向，所以在介质1与介质2的分界面上，电场与分界面平行，即为切向分量。根据边界条件可知E=E，但D,D,，故在半径为r(a<r<b)的球面上E相等，仍可用高斯定律求电场。解（1）由高斯定律，有(a<r<b)ΦD-dS=2元(D +D,)=qs由D,=6E、D,=6,E,以及E,=E,=E，可得两球壳间的电场和电位分别为q(a<r<b)E(r)=e, 2(6) +6)q门dr=p(r)=2元(6+82)g(b-r)(a<r<b)2元(6) +8,)br（2）介质中的极化强度(6 -60)qP =(6g -50)E,=l, 2元(6 +6,)(82 -80)gP,=(6,-50)E,=l, 2(6) +8)例3.5图故介质题内的极化电荷体密度
0 0 2 0 ( ) ( ) x x a x a = − 0 ( ) x x a 1 0 0 1 1 0 d ( ) ( ) ( ) d x x x a x x x a − E e e = − = − = − 0 (0 ) x x 2 0 0 2 2 0 d ( ) ( ) d x x x x x x a E e e = − = − = 0 ( ) x x a 评注 对于这种具有面分布电荷的问题，以电荷所在的曲面为边界划分求解区域，把电 荷面密度归结到边界条件中，求出各区的电位通解后，再由边界条件确定系数，这是一种常 用的处理方法；此外，由于电场分布具有平面对称性，此题也可用高斯定律求解。 例 3.5 球形电容器的内导体半径为 a ，外导体内半径为 b ，其间填充介电常数分别为 1 和 2 的两种均匀介质，如例 3.5 图所示。设内球带电荷为 q ，外球壳接地，求：（1）两 球壳间的电场和电位分布；（2）极化电荷分布；（3）导体表面上的自由电荷面密度。 分析 由于电场方向沿径向，所以在介质 1 与介质 2 的分界面上，电场与分界面平行， 即为切向分量。根据边界条件可知 E1 = E2 ，但 D1 D2 ，故在半径为 r(a r b) 的球面 上 E 相等，仍可用高斯定律求电场。 解 （1）由高斯定律，有 2 1 2 d 2 ( ) S = + = r D D q D S (a r b) 由 D E 1 1 1 = 、 D E 2 2 2 = 以及 E1 = E2 = E ，可得两球壳间的电场和电位分别为 2 1 2 ( ) 2 ( ) r q r r = + E e (a r b) 2 1 2 1 ( ) d 2 ( ) b r q r r r = = + 1 2 ( ) 2 ( ) q b r br − + (a r b) （2）介质中的极化强度 1 0 1 1 0 1 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) r q r − = − = + P E e 2 0 2 2 0 2 2 1 2 ( ) ( ) 2 ( ) r q r − = − = + P E e 故介质题内的极化电荷体密度 1 a b 例 3.5 图 2