例7.1频率为100Mz的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿+z方向传播，其电场E=e,E。已知该媒质的相对介电常数6,=4，相对磁导率U,=1，且当t=0、z=1/8m时，电场为振幅值10-V/m。（1）求E的瞬时表示式：（2）求H的瞬时表示式：分析由于在t=0、z=1/8m时，电场为振幅值，因此初相位不为零。写出电场表达式，并根据t=0、z=1/8m时，电场为振幅值，即可确定其初相位。解（1）设E的瞬时表示为E(z,t)=e,E, =e,10- cos(ot-kz+0)式中0=2元f=2元×108rad/s2元×188V4-4ke元3x18832Crad/m对于余弦函数，当相角为零时达到振幅值。因此，考虑条件t=0、z=1/8m时，电场达到幅值，可得到4元1元Φ=kz=386所以4元2+″）E(z,1)=e, ×10- cos(2元×10%t- 4)V/m36=60元n=28（），因此H的瞬时表示式为(2)10-4Fco(210-=+m)**H(z,t)=e2+″）A/m60元评注本题涉及均匀平面波的基本概念，关键点就是初相位不为零。例7.2两个均匀平面电磁波沿自由空间e：方向传播，当t=0时，两波的电场在原点都达到最大值1000V/m，方向为e，频率i=920kHz，J=930kHz（1）问经过多少时间后两波在原点再次同时达到最大值？（2）求出正z轴上点的位置，使该点合成电场E合=2000V/m7
例 7.1 频率为 100Mz 的均匀电磁波，在一无耗媒质中沿+z 方向传播，其电场 E e = x x E 。 已知该媒质的相对介电常数 4 r = ，相对磁导率 r = 1 ，且当 t=0、z=1/8m 时，电场为振 幅值 4 10 V/m − 。（1）求 E 的瞬时表示式；（2）求 H 的瞬时表示式； 分析 由于在 t=0、z=1/8m 时，电场为振幅值，因此初相位不为零。写出电场表达式， 并根据 t=0、z=1/8m 时，电场为振幅值，即可确定其初相位。 解 （1）设 E 的瞬时表示为 ( ) ( ) 4 , 10 cos x x x z t E t kz − E e e = = − + 式中 8 = = 2 2 10 rad/s f 8 8 2 18 4 4 3 18 3 r r k c = = = = rad/m 对于余弦函数，当相角为零时达到振幅值。因此，考虑条件 t=0、z=1/8m 时，电场达到幅值， 可得到 4 1 3 8 6 kz = = = 所以 ( ) 4 8 4 , 10 cos(2 10 ) 3 6 x z t t z − E e = − + V/m （2） 60 = = （ ），因此 H 的瞬时表示式为 ( ) 4 10 4 8 , cos(2 10 ) 60 3 6 y z t t z − H e = − + A/m 评注 本题涉及均匀平面波的基本概念，关键点就是初相位不为零。 例 7.2 两个均匀平面电磁波沿自由空间 z e 方向传播，当 t = 0 时，两波的电场在原点 都达到最大值 1000 V/m ，方向为 x e ，频率 1 f = 920kHz， 2 f = 930kHz （1）问经过多少时间后两波在原点再次同时达到最大值？ （2）求出正 z 轴上点的位置，使该点合成电场 E合 = 2000 V/m
分析由于频率不同，两波在传播过程中存在相位差。当其时间相位差为2元时，在原点再次同时达到最大值。解依照题意0,=2元f,=1.84元×10%rad/s0,=2元=1.86元×10%rad/sV=C=3×108m/s故E=1000cos(o,t-k=)V/mEz,=1000cos(o,t-k,=) V/m式中184元=×10rad/mk=3c186元=_×10-rad/m3c所以184El=1000c0s(1.84元×10%×10-z)V/m3186E2=1000c0s(1.86元×10%tx10-z)V/m3（1）要在原点再次达到最大值，必须cos(1.84元×10°)=cos(1.86元×10%)=1此时1.84元×10°t-2m=1.86元×10%-2n元由此得到t=(n-m)x10-s (n>m)（2）在t=0时，欲使E合=2000，必须同相相加，即184186E合=1000cos(-元×10-2）=2000元×10=）+1000c0s(33则
分析 由于频率不同，两波在传播过程中存在相位差。当其时间相位差为 2 时，在原 点再次同时达到最大值。 解 依照题意 6 1 1 6 2 2 8 2 1.84 10 rad/s 2 1.86 10 rad/s 3 10 m/s f f v c = = = = = = 故 1 1 1 2 2 2 1000cos( ) V/m 1000cos( ) V/m x x E t k z E t k z = − = − 式中 1 4 1 2 4 2 184 10 rad/m 3 186 10 rad/m 3 k c k c − − = = = = 所以 6 4 1 6 4 2 184 1000cos(1.84 10 10 ) V/m 3 186 1000cos(1.86 10 10 ) V/m 3 x x E t z E t z − − = − = − （1）要在原点再次达到最大值，必须 cos(1.84 10 ) cos(1.86 10 ) 1 6 6 t = t = 此时 6 6 1.84 10 2 1.86 10 2 − = − t m t n 由此得到 4 t n m ( ) 10 s − = − （ n m ） （2）在 t=0 时，欲使 E合 = 2000 ，必须同相相加，即 184 186 4 4 1000cos( 10 ) 1000cos( 10 ) 2000 3 3 E z z − − 合 = − + − = 则
184186元×10-2)= cos(元×10-42)= 1cos(-33即184186元×10-z-2m元=元×10-4z-2n元33得z=30×10(m-n)取m-n=1,则z=30km评注两波相加时，若相位差为2元，则相干加强；若相位差为元，则相干减弱。例7.3在μ,=1、6,=4、=0的媒质中，有一均匀平面波，其电场强度E=e,Em sin(ot-k +")3若已知平面波的频率=150MHz，任意点的平均功率密度为0.265uW/m2。试求：（1）电磁波的波数、相速、波长、波阻抗：（2）t=0,z=0时的电场E(0,0等于多少？（3）经过t=0.1us后，电场E(0,0)值传到什么位置？分析由已知的平均功率密度可求得电场的振幅值，即可确定电场的表达式。解（1）波数1k=0/ug=2元×150×10°××2=2元rad/m3×108相速11=1.5×10%m/sV=Jeu2Eo波长2元=1 m元k波阻抗
10 ) 1 3 186 10 ) cos( 3 184 cos( 4 4 − = − = − − z z 即 z m 10 z 2n 3 186 10 2 3 184 4 4 − − = − − − − 得 30 10 ( ) 3 z = m − n 取 m− n =1 ，则 z = 30km 评注 两波相加时，若相位差为 2 ，则相干加强；若相位差为 ，则相干减弱。 例 7.3 在 r =1、 r = 4 、 = 0 的媒质中，有一均匀平面波，其电场强度 sin( ) 3 x m E t kz E e = − + 若已知平面波的频率 f =150MHz ，任意点的平均功率密度为 2 0.265 W/m 。试求： （1）电磁波的波数、相速、波长、波阻抗； （2） t = 0,z = 0 时的电场 E(0,0) 等于多少？ （3）经过 t = 0.1 s 后，电场 E(0,0) 值传到什么位置？ 分析 由已知的平均功率密度可求得电场的振幅值，即可确定电场的表达式。 解 （1）波数 6 8 1 2 150 10 2 2 rad/m 3 10 k = = = 相速 8 0 0 1 1 1.5 10 m/s 2 v = = = 波长 2 1 m k = = 波阻抗
Lo4=60元O2V80S（2）均匀平面波的平均坡印廷矢量1SIEP=e.0.265x10-W/mSm=e.2VA得[Em|=10x10-3 V/m当1=0,2=0时[|=|Em|sin()=10×10-×0.866=8.66×10-3 V/m(3）t=0.1uIS后，电场|E(0,0）值传到z=vt=1.5×10°×0.1x10-=15m例7.4已知一无界的均匀导电媒质的=10°S/m、μ,=2、6,=1，分别求出电磁波频率为60Hz、2MHz、3GHz时的趋肤深度及振幅减小到1/100的传播距离。a分析本题为导电媒质中波的传播参数计算，首先由の8判别是否可视为良导体或弱导电媒质，然后利用相应公式计算。106a-a=1.80×10l6 0%2元fg2元×8.85x10-12f解a=1.80×1016>>1可见对于=60Hz、=2×10°Hz、=3x10°Hz，均有0cf故都可视为良导体。衰减常数α=元fug=~元×60×4元×10-7×2×10%=21.75Np/m故趋肤深度
= = = 60 2 1 0 0 （2）均匀平面波的平均坡印廷矢量 2 1 6 2 0.265 10 W/m 2 av z m z E − S e e = = 得 3 E m 10 10 V/m − = 当 t = 0,z = 0 时 3 3 sin( ) 10 10 0.866 8.66 10 V/m 3 E E m − − = = = （3） t = 0.1 s 后，电场 E(0,0) 值传到 8 6 z vt 1.5 10 0.1 10 15m − = = = 例 7.4 已知一无界的均匀导电媒质的 6 =10 S/m 、 r = 2、 r =1 ，分别求出电磁 波频率为 60Hz、 2MHz 、3GHz 时的趋肤深度及振幅减小到 1/100 的传播距离。 分析 本题为导电媒质中波的传播参数计算，首先由 判别是否可视为良导体或弱导 电媒质，然后利用相应公式计算。 解 6 16 12 0 10 1 1.80 10 2 2 8.85 10 f f f − = = = 可见对于 1 f = 60Hz 、 6 2 f = 2 10 Hz 、 9 3 f = 3 10 Hz ，均有 1 1 1.80 1016 = f ， 故都可视为良导体。 衰减常数 7 6 1 1f 60 4 10 2 10 21.75 Np/m − = = = 故趋肤深度
= 4.6×10-2dma,1e-ai100时，传播距离为振幅衰减到In(1/100)=2.11×10-lm2_=-αi同理αz=元fzu=3.97×103Np/m1=2.52×10-4m8, =a2In(/100) =1.160×10-3m22 =α2αg=/元fsμ=1.538×105Np/m1=6.5x10-°m8, =3In(1/100)2=2.99×10-m23 =as评注电磁波的频率越高，趋肤深度越小。例7.5一线极化波的两个电场分量分别为E,=6cos(ot-kz-30°),E,=8cos(ot-kz-30)试将它分解为振幅相等、旋向相反的两个圆极化波。分析利用矢量的合成与分解原则，以及三角函数的积化和差公式，将每个电场分量分解为振幅相同的两部分。解取≥=0的平面上讨论，此时E,=6cos(ot-30°),E,=8cos(ot-30)由此可得合成电场的表示式
2 1 1 1 4.6 10 m − = = 振幅衰减到 1 1 1 100 z e − = 时，传播距离为 1 1 1 ln(1 100) z 2.11 10 m − = = − 同理 3 2 2 = = f 3.97 10 Np/m 4 2 2 1 2.52 10 m − = = 3 2 2 ln(1 100) z 1.160 10 m − = − = 5 3 3 = = f 1.538 10 Np/m 6 3 3 1 6.5 10 m − = = 5 3 3 ln(1 100) z 2.99 10 m − = − = 评注 电磁波的频率越高，趋肤深度越小。 例 7.5 一线极化波的两个电场分量分别为 6cos( 30 ) Ex = t − kz − ， 8cos( 30 ) Ey = t − kz − 试将它分解为振幅相等、旋向相反的两个圆极化波。 分析 利用矢量的合成与分解原则，以及三角函数的积化和差公式，将每个电场分量分 解为振幅相同的两部分。 解 取 z = 0 的平面上讨论，此时 6cos( 30 ) E t x = − ， 8cos( 30 ) E t y = − 由此可得合成电场的表示式