《电磁场》课程教学资源_习题解答_典型例题_2-电磁场中的基本物理量

例2.1在球坐标系中，电流密度为J=e,10r-1.5 A/m2求：（1）通过半径r=1mm的球面的电流值：（2）在半径r=1mm的球面上电荷密度的增加率：（3）在半径r=1mm的球体内总电荷的增加率。分析本题是已知电流密度求电荷的增加率，可利用电流连续性方程求解。I=ΦJ.dS=[10r-1-5r2 sin 0d0d gl-mm= 40元r0-5],-Ir=lmm = 3.97 A解(1)s00（2）在球面坐标系中1dV.J=-d(r210r-1-5)= 5r-2.5r2 dr由电流连续性方程（2.3.2)，得到apl=-V.J|r=lmm=-1.58x108A/m3Otr=lmm（3）由式（2.3.1)，得到半径r=1mm的球体内总电荷的增加率dg=-JdS=3.97 AdtS例2.2如例2.2图所示，一个半径为a的半圆环上均匀分布线电荷，其电荷线密度为P，，求垂直于圆平面的轴线dE上的电场强度E(-)。分析本题属面电荷系统的电场问题，由于半圆环电荷分布不是关于轴线对称的，所以轴线上的电场不仅仅只有z分量，只能由基于线电荷场源所产生的电场强度公式（2.4.5）计算。dl解半圆环上的电荷元p,d"=P,ad在轴线上产生的P,电场为例2.2图r-rdE=Pa4ne, (+a') dg"其中r=e.z,r'=a(e,cosp'+e, sinp)故

例 2.1 在球坐标系中，电流密度为 1.5 10 r r − J e = 2 A m 求：（1）通过半径 r =1mm 的球面的电流值； （2）在半径 r =1mm 的球面上电荷密度的增加率； （3）在半径 r =1mm 的球体内总电荷的增加率。 分析 本题是已知电流密度求电荷的增加率，可利用电流连续性方程求解。 解 （1） 2 1.5 2 0.5 1mm 1mm 0 0 d 10 sin d d 40 3.97 A r r S I r r r       − = = = =    = = J S （2）在球面坐标系中 2 1.5 2.5 2 1 d ( 10 ) 5 d r r r r r − −  = = J 由电流连续性方程（2.3.2），得到 8 3 1mm 1mm r 1.58 10 A m r t  = =  = − = −   J （3）由式（2.3.1），得到半径 r =1mm 的球体内总电荷的增加率 d d 3.97 A d S q t = − =  J S 例 2.2 如例 2.2 图所示，一个半径为 a 的半圆环上均匀 分布线电荷，其电荷线密度为  l ，求垂直于圆平面的轴线 上的电场强度 E( )z 。 分析 本题属面电荷系统的电场问题，由于半圆环电荷分 布不是关于轴线对称的，所以轴线上的电场不仅仅只有 z 分量，只能由基于线电荷场源所产生的电场强度公式 （2.4.5）计算。 解 半圆环上的电荷元 d d l l    l a   = 在轴线上产生的 电场为 2 2 3 2 0 d d 4 ( ) l a z a    −  =  + r r E 其中 , ( cos sin ) z x y r e r e e = = + z a      故 a z x y dl  l P dE r r 例 2.2 图

dE = Pa e=-ale, cosp'+e, sing)dd(22 +α°)3/24元在半圆环上对上式积分，得到JdE= Pa e-ale coss'+e, sing)E(2)= [do(22 +a)3/24元8。-元/2Pae元z-e,2a4元8(2* +a)3/2评注半圆环电荷在轴线上产生的电场除了有z分量外，还有X分量，并不等于整个圆环电荷在轴线上的产生电场的一半，但其z分量等于整个圆环电荷在轴线上的产生电场的一半，这是由于电荷分布不是关于轴线对称的，X分量不能抵消掉。此外，本题中电荷分布关于xOz平面是对称的，所以轴线上的电场没有y分量。例2.3如例2.3图所示，一个均匀带电的环形薄圆盘，dE内半径为α，外半径为b，电荷面密度为。，求环形P(0,0,2)薄圆盘轴线上任一点的电场强度。R分析：本题属面电荷系统的电场问题，可以直接由基O于面电荷场源所产生的电场强度公式（2.4.6）计算；a由于电荷分布关于待求场点（圆盘轴线上任一点）是对称的，也可以利用对称性和叠加原理来计算。a解：方法一，直接由公式（2.4.6）计算例2.3图在环形薄圆盘上，位于(r,Φ,0)的面积元ds"上的电荷元为odS=ordr'dg"，此电荷元到轴线上P(0,0,=）点的距离矢量R=r-r'=e.z-e,r，其大小r-r=(z+r"2)/2。由式(2.4.6)，得P(0,0,z)点的电场强度E(a)=%"T-err'dr'doa Jo (22+r'2)/24元aC"2near'dr-"2r"dr4n J(+y-4m,(+ryedo由于e,=excos+e,sinp，所以J."e, dp'=f."(e. cosp'+e, sinp)dp'=0于是E(a)=e. [_r'dr"2C2(+y2o+a+by

2 2 3 2 0 ( cos sin ) d d 4 ( ) l z x y a z a z a      − +  =  + e e e E 在半圆环上对上式积分，得到 2 2 2 3 2 2 0 ( cos sin ) ( ) d d 4 ( ) l z x y a z a z z a        − − +  = =  +   e e e E E 2 2 3 2 0 2 4 ( ) l z x a z a z a    − = + e e 评注 半圆环电荷在轴线上产生的电场除了有 z 分量外，还有 x 分量，并不等于整个圆 环电荷在轴线上的产生电场的一半，但其 z 分量等于整个圆环电荷在轴线上的产生电场的一 半，这是由于电荷分布不是关于轴线对称的， x 分量不能抵消掉。此外，本题中电荷分布关 于 xoz 平面是对称的，所以轴线上的电场没有 y 分量。 例2.3 如例2.3图所示，一个均匀带电的环形薄圆盘， 内半径为 a ，外半径为 b ，电荷面密度为  0 ，求环形 薄圆盘轴线上任一点的电场强度。 分析：本题属面电荷系统的电场问题，可以直接由基 于面电荷场源所产生的电场强度公式（2.4.6）计算； 由于电荷分布关于待求场点（圆盘轴线上任一点）是 对称的，也可以利用对称性和叠加原理来计算。 解：方法一，直接由公式（2.4.6）计算 在环形薄圆盘上，位于 ( , ,0) r    的面积元 dS 上 的电荷元为 0 0    dS r r     = d d ，此电荷元到轴线上 P z (0,0, ) 点的距离矢量 z r R r r e e = − = −    z r ，其大小 2 2 1 2 r r − = +   ( ) z r 。由式（2.4.6），得 P z (0,0, ) 点的电 场强度 2 0 2 2 3 2 0 ( ) d d 4 ( ) b z r a o z r z r r z r     −   =    +    e e E 2 2 0 0 2 2 3 2 2 2 3 2 0 0 0 2 d 2 d d 4 ( ) 4 ( ) b b z r a a zr r r r z r z r             = −   + +      e e 由于 cos sin e e e r x y    = +   ，所以 2 2 0 0 d ( cos sin )d 0 r x y            = + =   e e e 于是 0 0 2 2 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 0 0 d ( ) [ ] 2 ( ) 2 ( ) ( ) b z z a z r r z z z z r z a z b       = = − + + +   E e e x r r P z (0,0, ) R a b o ds   0 y z dE 例 2.3 图

方法二，利用对应于待求场点（圆盘轴线上任一点）处场源分布的对称性来计算根据场源分布的对称性可知，在轴线上的电场只有z分量。位于(r,Φ,0)的面积元ds"上的电荷元为dS=rdr'd在轴线上P(0,0,=)点产生的电场的z分量为dE.(a)=00r"'dr'dg2z0-r'dr'd4元。2 +（2+2)/2=4元(22 +"2)52在环形薄圆盘上积分，即得到轴线上P(O,0,=）点的电场强度2E(2)= JdE(a)= % J(2+r")"'dr'dg"4元0o28(22+a2)/2~(22+b3)/2讨论在以上结果中，若保持内半径α不变，令外半径b一→>8o，则可得到具有圆形孔的无限大均匀带电平面在圆孔轴线上的电场强度Z0oE(z)=e.28(=+a)/2若保持外半径b不变，令内半径a一→0，则得到半径为b的均匀带电圆盘在轴线上的电场强度00rzE(z)=e. 2%间（+6）若令内半径α→0且外半径b一→oo，则得到无限大均匀带电平面外任一点的电场强度E(2)=e. 0 =280-评注（1）直接应用公式（2.4.6）计算时，应注意矢量的运算规则，特别是e不是常矢量，其方向是随变化的，不能直接从积分符号中移出来；（2）当电荷分布关于待求场点对称时，利用对称性可将矢量积分简化为标量积分，简化计算过程；例2.4求如例2.4图所示的线电流1在点P所产生的磁感应强度。分析本题是半无限长的直线电流与圆弧电流的组1合，可先分别求出两者在点P所产生的磁感应强1度，然后进行叠加，求出点P处的总磁感应强度例2.4图解圆弧中的电流在点P所产生的磁感应强度为B, = 2(元-α) 4/ _ (z-α)Mal2元2a2元

方法二，利用对应于待求场点（圆盘轴线上任一点）处场源分布的对称性来计算 根据场源分布的对称性可知，在轴线上的电场只有 z 分量。位于 ( , ,0) r    的面积元 dS 上的电荷元为 0 0    dS r r     = d d 在轴线上 P z (0,0, ) 点产生的电场的 z 分量为 0 0 2 2 2 2 1 2 2 2 3 2 0 0 d d d ( ) d d 4 ( ) 4 ( ) z r r z z E z r r z r z r z r          = =    + + +    在环形薄圆盘上积分，即得到轴线上 P z (0,0, ) 点的电场强度 2 0 2 2 3 2 0 0 ( ) d ( ) d d 4 ( ) b z z a z E z E z r r z r     = =    +     0 2 2 1 2 2 2 1 2 0 [ ] 2 ( ) ( ) z z z a z b   = − + + 讨论 在以上结果中，若保持内半径 a 不变，令外半径 b → ，则可得到具有圆形孔 的无限大均匀带电平面在圆孔轴线上的电场强度 0 2 2 1 2 0 ( ) 2 ( ) z z z z a   = + E e 若保持外半径 b 不变，令内半径 a →0 ，则得到半径为 b 的均匀带电圆盘在轴线上的电 场强度 0 2 2 1 2 0 ( ) [ ] 2 ( ) z z z z z z b   = − + E e 若令内半径 a →0 且外半径 b → ，则得到无限大均匀带电平面外任一点的电场强度 0 0 ( ) 2 z z z z   E e = 评注 （1）直接应用公式（2.4.6）计算时，应注意矢量的运算规则，特别是 r e 不是常 矢量，其方向是随  变化的，不能直接从积分符号中移出来； （2）当电荷分布关于待求场点对称时，利用对称性可将矢量积分简化为标量积分，简 化计算过程； 例2.4 求如例2.4图所示的线电流 I 在点 P 所产 生的磁感应强度。 分析 本题是半无限长的直线电流与圆弧电流的组 合，可先分别求出两者在点 P 所产生的磁感应强 度，然后进行叠加，求出点 P 处的总磁感应强度 解 圆弧中的电流在点 P 所产生的磁感应强度为 0 0 1 2( ) ( ) 2 2 2 I I B a a         − − = = I I P  a  例 2.4 图

两根半无限长线电流1在点P所产生的磁感应强度为Hol(coso -cosα)= 4ol(l-cosa)B, = 24元asinα2元asinα故点P的磁感应强度为(-α)l+Hl(-cosα)B= B, +B, =2元a2元asinα评注直线电流产生的磁场和载流圆环在其轴线上产生的磁场是典型电流分布的磁场，利用它们可以很容易求出一些简单的线电流组合所产生的磁场。例2.5如例2.5图所示，半径为α的均匀带电薄圆盘的电荷面密度为，若圆盘绕其轴线（=轴）以角速度の旋转，求轴线上任一点的磁感应强度。分析当圆盘绕其轴线（=轴）以角速度の旋转时，形成4二面分布电流，因此本题属于面分布电流的磁场问题，可以[P(0,0,=)直接面电流的磁场公式（2.5.3）计算。也可将圆盘划分成无数个载流细圆环，利用载流圆环轴线上的磁场公式来计算。解方法一，利用载流圆环轴线上的磁场公式来计算当圆盘绕其轴线（z轴）以角速度の旋转时，其电流例2.5图线密度为Js(r')=egor'将圆盘划分成无数个同心细圆环，则半径为r、宽度为dr的细圆环上的电流为dI=J,(r)dr=のor'dr"，在圆盘轴线上P(0,0,z)点产生的磁感应强度为dB=dB, = poor"dr2(22 + r"2)3/2在整个圆盘面上对上式积分，得到轴线上任一点的磁感应强度r"drB(0,0, )= B(0,0,2)=[ dB, = 4o- [2 Jo (-2 +r"2)3/222a=4000N2+r+2N22+r2=40002z* +a2)2+a方法二，直接面电流的磁场公式（2.5.3）计算位于(r,5,0)的面积元ds上的电流元为Js(r)dS'=e,or'or'dr'do，此电流元到轴线上P(0,0,z)点的距离矢量R=r-r'=ez-er，其大小R=r-r=(z2+r")/2。由

两根半无限长线电流 I 在点 P 所产生的磁感应强度为 0 0 2 (1 cos ) 2 (cos0 cos ) 4 sin 2 sin I I B a a         − = − = 故点 P 的磁感应强度为 0 0 1 2 ( ) (1 cos ) 2 2 sin I I B B B a a         − − = + = + 评注 直线电流产生的磁场和载流圆环在其轴线上产生的磁场是典型电流分布的磁场， 利用它们可以很容易求出一些简单的线电流组合所产生的磁场。 例 2.5 如例 2.5 图所示，半径为 a 的均匀带电薄圆盘的电荷面密度为  ，若圆盘绕其轴线 （ z 轴）以角速度  旋转，求轴线上任一点的磁感应强度。 分析 当圆盘绕其轴线（ z 轴）以角速度  旋转时，形成 面分布电流，因此本题属于面分布电流的磁场问题，可以 直接面电流的磁场公式（2.5.3）计算。也可将圆盘划分 成无数个载流细圆环，利用载流圆环轴线上的磁场公式来 计算。 解 方法一，利用载流圆环轴线上的磁场公式来计算 当圆盘绕其轴线（ z 轴）以角速度  旋转时，其电流 线密度为 ( ) S r r J e   =   将圆盘划分成无数个同心细圆环，则半径为 r  、宽度为 dr  的细圆环上的电流为 d ( )d d S I J r r r r = =      ，在圆盘轴线上 P z (0,0, ) 点产生的磁感应强度为 3 0 2 2 3 2 d d d 2( ) z r r B B z r     = = +  在整个圆盘面上对上式积分，得到轴线上任一点的磁感应强度 3 0 2 2 3 2 0 d (0,0, ) (0,0, ) d 2 ( ) a z z r r B z B z B z r     = = = +    2 0 2 2 2 2 0 [ ] 2 a z z r z r   = + +  +  2 2 0 2 2 2 ( 2 ) 2 z a z z a   + = − + 方法二，直接面电流的磁场公式（2.5.3）计算 位于 ( , ,0) r    的面积元 dS 上的电流元为 ( )d d d S r S r r r J e        =    ，此电流元到轴 线上 P z (0,0, ) 点的距离矢量 z r R r r e e = − = −    z r ，其大小 2 2 1 2 R z r = − = + r r  ( ) 。由 dr  r  a  z x y 例 2.5 图  P z (0,0, )

式（2.5.3)，有B(0.0. ) = Lea"x(er2 rard4元J。J(22 +r2)3/2Hooo2"ez+e1r"drdp4元+由于"e,dp'=f"(e,cosp'+e,sing)dp'=o所以322* +a2HooB(0,0,2)=e, 4o00 r+-2|=)22N?+a?评注利用载流圆环轴线上的磁场公式来计算，只涉及标量积分运算，较为简单；而直接应用公式（2.5.3）计算时，涉及量积分运算，要复杂一些

式（2.5.3），有 2 0 2 2 2 3 2 0 0 ( ) (0,0, ) d d 4 ( ) a z r z r z r r z r           − =    +    e e e B 2 0 2 2 2 3 2 0 0 d d 4 ( ) a r z r z r r r z r        + =    +    e e 由于 2 2 0 0 d ( cos sin )d 0 r x y            = + =   e e e 所以 3 0 2 2 3 2 0 (0,0, ) d 2 ( ) a z r z r z r    =  +   B e 2 2 0 2 2 2 ( 2 ) 2 z a z z a   + = − + 评注 利用载流圆环轴线上的磁场公式来计算，只涉及标量积分运算，较为简单；而直 接应用公式（2.5.3）计算时，涉及矢量积分运算，要复杂一些