《电磁场》课程教学资源（习题解答，共十章）

1cm1cm习题图2-4解根据叠加原理，P点的合成电位为q=2.5×10(v)Φ=2x4元r因此，将电量为2×10~C的点电荷由无限远处缓慢地移到P点，外力必须做的功为W=(=5()2-5通过电位计算有限长线电荷的电场强度。0解 建立圆柱坐标系。令先电荷沿=轴放置，由于结构以=轴对称，场Nr亚强与Φ无关。为了简单起见，令场点位于一平面。o设线电荷的长度为L，密度为yPr，线电荷的中点位于坐标原点，场点P的坐标为习题图2-5利用电位叠加原理，求得场点P的电位为diPL0=-4元2ro21

21 解 根据叠加原理， P 点的合成电位为 2.5 10 V 4 2 6 0     r q   因此，将电量为 2 10 C 6  的点电荷由无限远处缓慢地移到 P 点，外力必须 做的功为 W q  5J 2-5 通过电位计算有限长线电荷 的电场强度。 解 建立圆柱坐标系。 令先电 荷沿 z 轴放置，由于结构以 z 轴对称，场 强与  无关。为了简单起见，令场点位于 yz 平面。 设线电荷的长度为 L ，密度为  l ，线电荷的中点位于坐标原 点，场点 P 的坐标为       r ,z 2 ,  。 利用电位叠加原理，求得场点 P 的电位为   2 0 2 0 d 4 L L l r l      1cm P 1cm q q 1cm r 习题图 2-4 y 习题图 2-5 r 0 P z z r o dl l  1  2

式中r=V-1)+r2。故PLInl0=4元50LZ+O4元60LL+因E=-Vβ，可知电场强度的=分量为LLz+122apaPIE.-InOz4元800zLL+2C04元0+D4元0= + L/2-L/2)+D4元60Jr2 +(=+ L/2)/r2 +(-L/2)Pl(sin2 -sine)4元80电场强度的r分量为L→apPioE,=Inar4元50 0rLC22

22 式中   2 2 0 r  z l  r 。故   2 2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ln 4 ln 4 r L z L z r L z L z z l z l r l L L l                                      因 E   ，可知电场强度的 z 分量为 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ln 4 r L z L z r L z L z z z E l z                                                                   2 2 2 2 0 2 1 2 1 4 r L r z L z l                                      2 2 0 2 1 1 2 1 1 4 r z L r z L r l                      2 2 2 2 0 2 2 4 r z L r r z L r r l     2 1 0 sin sin 4       r l 电场强度的 r 分量为 2 2 2 2 0 2 2 2 2 ln 4 r L z L z r L z L z r r E l r                               

/(+L/2) +r2(z+ L/2+ /(2+ L/2) +r2V(-L/2) +r(2-L/2+ V(2-L/2) +r2P4元02+/2+/1+(++LL/2+1P4元60rtanetantan-tanetantan07-(1-cosq)-(1-coso,)4元0Pl(cose, -coso.)4元6式中の,=arctane,=arctan，那么，合成电强为LLz+2223

23                          2 2 2 2 0 2 2 2 4 z L r z L z L r r l                         2 2 2 2 z L 2 r z L 2 z L 2 r r                                       2 2 0 2 1 2 2 1 1 4 r z L r z L r z L r l                                      2 2 2 1 2 2 1 1 r z L r z L r z L                       1 2 1 1 2 0 tan 1 1 tan 1 tan 1 1 1 4      r l                    2 2 2 2 2 tan 1 1 tan 1 tan 1 1 1        1 2 0 1 cos 1 cos 4          r l   1 2 0 cos cos 4       r l 式中 2 , arctan 2 1 arctan 2 L z r L z r       ，那么，合成电强为

E=_Pl[sine - sine)e -(cose, -cos)e,]4元起当L→时，→0，→元，则合成电场强度为E=_Pe2元80r可见，这些结果与教材2-2节例4完全相同。2-6已知分布在半径为的半圆周上的电荷线密度P,=Psing，0≤≤元，试求圆心处的电场强度。dl4a习题图2-6解建立直角坐标，令线电荷位于xy平面，且以y轴为对称，如习题图2-6所示。那么，点电荷Pdl在圆心处产生的电场强度具有两个分量E，和Ey由于电荷分布以y轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的E，分量，即dE=dE, =Pd/-sind4元a?考虑到dl=ado,p,=PsinΦ，代入上式求得合成电场强度为APo, sin' odo=PoE=e,l. 4n8oa8ca2-7已知真空中半径为α的圆环上均匀地分布的线电荷密度为P，试求通过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。24

24      z r l r E e e 2 1 2 1 0 sin sin cos cos 4           当 L时， 1 0, 2  ，则合成电场强度为 r l r E e 20   可见，这些结果与教材 2-2 节例 4 完全相同。 2-6 已 知 分 布 在 半 径 为 a 的 半 圆 周 上 的 电 荷 线 密 度 l  0 sin, 0   ，试求圆心处的电场强度。 解 建立直角坐标，令线电荷位于 xy 平面，且以 y 轴为对称，如习题图 2-6 所示。那么，点电荷 l ld 在圆心处产生的电场强度具有两个分量 Ex和 Ey。 由于电荷分布以 y 轴为对称，因此，仅需考虑电场强度的 Ey 分量，即    sin 4 d d d 2 0a l E E l  y  考虑到 dl  ad,l  0 sin ，代入上式求得合成电场强度为 y y a a E e e 0 0 0 2 0 0 8 sin d 4           2-7 已知真空中半径为 a 的圆环上均匀地分布的线电荷密度为  l ，试求通 过圆心的轴线上任一点的电位及电场强度。 习题图 2-6 a y x o dl  E

S习题图2-7解建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图2-7所示。那么，点电荷p,dl在=轴上P点产生的电位为Pdl0=4元50r根据叠加原理，圆环线电荷在P点产生的合成电位为1PP,a[2m Pi d/ =[2mdl=p(=)=4元8004元60rJ0r280Va2+22因电场强度E=-V@，则圆环线电荷在P点产生的电场强度为0p(a)P,azE=-ee20(a2 +22)2Oz2-8设宽度为W，面密度为Ps的带状电荷位于真空中，试求空间任一点的电场强度。dw2JXdr'sw3888888822P(x.y)(a)(b)习题图2-825

25 解 建立直角坐标，令圆环位于坐标原点，如习题图 2-7 所示。那么，点电 荷 l ld 在 z 轴上 P 点产生的电位为 r l l 4 0 d     根据叠加原理，圆环线电荷在 P 点产生的合成电位为   2 2 0 2 0 0 2 0 0 2 d 4 d 4 1 a z a l r l r z l a l a l                因电场强度 E   ，则圆环线电荷在 P 点产生的电场强度为     3 2 2 2 2 0 a z az z z l z z          E e e 2-8 设宽度为 W，面密度为 S  的带状电荷位于真空中， 试求空间任一点的电场强度。 习题图 2-8 x y z 2 w 2 w  d x  o r y x 2 w  2 w dx x (a) (b) P(x,y) 习题图 2-7 x y z P r o a