《电磁场》课程教学资源（习题解答，共十章）

=@.A+A.V@;即.(@A)=QV.A+A.VΦ1-10试求距离lri-r/在直角坐标、圆柱坐标及圆球坐标中的表示式。解在直角坐标系中[i -r= /(x2 -x) +(2 -) +(z2 -z,)在圆柱坐标系中，已知x=rcosp，y=rsinp，z=z，因此[-= /(r cos -i cos)+(r sin -i sin) +(22 -z)= /n +r2-2nri cos(-)+(2-z,)在球坐标系中，已知x=rsinocosp，y=rsinosinp，z=rcoso因此=sin,cosin,c+sinsinsn, sin+(coi)=r2 +r?-2rr[sing, sine, cos(g-d)+coso, coso,1-11已知两个位置矢量及r的终点坐标分别为(,,)及(2,2,)，试证与之间的夹角为cosy=sinG, sin, cos(d -Φ)+coso, coso,证明根据题意，两个位置矢量在直角坐标系中可表示为=erisine,cosd+erisine,sing+ericoso=ersing,cosp+eyrsin,sing+e.rcoso已知两个矢量的标积为ri·r=cos，这里为两个矢量的夹角。因此夹角为cosy=2Ii12l式中6

6 A A ； 即 AA A 1-10 试 求 距 离 | | 1 2 r  r 在 直 角 坐 标 、 圆 柱 坐 标 及 圆 球 坐 标中 的 表示 式 。 解 在直 角 坐标 系 中       2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 r r  x  x  y  y  z  z 在圆 柱 坐标 系 中 ，已知 x  r cos ， y  rsin ， z  z ，因此       2 2 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 r r  r cos r cos  r sin r sin  z  z     2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2  r r 2rr cos   z z 在球 坐 标系 中，已 知 x  rsin cos , y  rsin sin , z  r cos , 因此       2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 r r  r sin cos r sin cos  r sin sin r sin sin  r cos r cos     2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2  r r 2r r sin sin cos   cos cos 1-11 已 知 两 个 位 置 矢 量 1 r 及 2 r 的 终 点 坐 标 分 别 为 ( , , ) 1 1 1 r 及 ( , , ) 2 2 2 r ，试 证 1 r 与 2 r 之 间的 夹角  为 1 2 1 2 1 2 cos sin sin cos(  )cos cos 证 明 根据 题 意， 两 个位 置 矢量 在 直角 坐标 系 中可 表 示为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 r  ex r sin cos ey r sin sin ez r cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 r  ex r sin cos ey r sin sin ez r cos 已 知 两 个 矢 量 的 标 积 为 cos 1 2 1 2 r r  r r ， 这 里 为 两 个 矢 量 的 夹角 。 因此 夹 角为 1 2 1 2 cos r r r r   式中

r r, =rr(sing, cosd sing, cosd, +sing, sind, sing, sin g2+coso,coso,)i2/=r2因此，cos=sin,sin,(cosocosp+sinsing)+cosd,coso= sin, sin, cos(d-)+cosQ, cos021-12试求分别满足方程式.(f(r)r)=0及V×(f2(r)r)=0的函数fi(r)及f2(n)。解在球坐标系中，为了满足V[()]=[()+()r=r+3()=0Or =df().即要求rdiC)+3()=03dr求得fi()drrIn f.()=-3lnr+InC10)-%即在球坐标系中，为了满足Vx[f()]=[vf,(0)]xr+f()Vxr=0由于[vf(r)]xr=0，Vxr=0，即上式恒为零。故f(r)可以是r的任意函数。1-13试证式（1-7-11）及式（1-7-12)。证明①式（1-7-11）为Vx(CA)=CVxA（C为常数）CA=CAe,+CA,e,+CAe.,则令A=Ae+Ae,+Ae,eoeaeaeoeoeyaV×(CA)--CV×AaxazaxayayaCA.CAA.MA.CA.②式（1-7-12）为V×(@A)=@V×A+VΦxA7

7 cos cos ) (sin cos sin cos sin sin sin sin 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2            r r  rr  1 2 1 2 r r  rr 因此 ， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 sin sin cos( ) cos cos cos sin sin (cos cos sin sin ) cos cos                      1-12 试 求 分 别 满 足 方 程 式 f 1 (r)r  0 及 f 2 (r)r  0 的 函 数 ( ) 1 f r 及 ( ) 2 f r 。 解 在球 坐 标系 中 ， 为了 满 足            3 1   0 1 1 1 1            f r r f r f r r f r r f r r r 即要 求   3   0 d d 1 1  f r  r f r r     r r f r d f r 3d 1 1    ，求 得 ln f 1 r  3lnr lnC 即   1 3 r C f r  在球 坐 标系 中 ，为 了满 足 f 2 rrf 2 rr  f 2 rr  0 由于 f 2 rr  0， r  0 ，即 上 式恒 为零 。 故 f r 2 可以 是 r 的 任意 函 数。 1-13 试证 式 （1-7-11）及 式 （1-7-12）。 证 明 ①式 （1-7-11）为 CACA （ C 为常 数） 令 x y z A e e e  Ax  Ay  Az ， C CAx x CAy y CAz z A e  e  e ，则   A e e e e e e A                  C A A A x y z C CA CA CA x y z C x y z x y z x y z x y z ②式 （1-7-12） 为 AAA

令A=Aer+Ae,+Ae,A=Ae +dAe,+Ae.,则eaeae-[aa(pA,(@A.)-V×(dA)=azaxayayarDA.DA.DA,O(@A.)(DA))--(@4)OzaxaxOad(ad)adadaddA.A.AAOzaxazayaxoaA,aAaA.aAdA.aAaxaaxOvOzav=VΦxA+VxA若将式（1-7-12）的右边展开，也可证明。Vxr=0,41-14试证证明已知在球坐标系中，矢量A的旋度为ee.egPsinersingroaaVxA=arad00A.rAgrsinaA对于矢量r，因A=r，A=0，A=0，代入上式，且因r与角度，Φ无关，那么，由上式获知xr=0。对于矢量=，因4=1，A=0，A=0，显然V>1对于矢量一3，因A=，A=0，A,=0，同理获知1-15若C为常数，A及k为常矢量，试证：9

8 令 x y z A e e e  Ax  Ay  Az ， Ax x Ay y Az z A e  e  e ， 则       z y x x y z x y z A z A y A A A x y z e e e e A                                   z x y y Ax z y A x A z A x e e                            z y x z x y y Ax z y A x A z A x A z A y e e e                                               z y x y z x x z y y A x A z A x A z A y A e e e                                              A A 若将 式 （1-7-12） 的 右边 展 开， 也 可证 明。 1-14 试 证 r  0，   0       r r 及 0 3         r r 。 证 明 已知 在 球坐 标 系中 ， 矢 量 A 的旋 度为          A rA r A r r r r r r sin sin sin 2         e e e A 对于 矢 量 r ，因 A r r  ， A  0， A  0 ，代 入 上式 ， 且 因 r 与 角度 ， 无 关， 那 么， 由 上式 获知 r  0。 对于 矢 量 r r ，因 Ar 1， A  0， A  0 ，显 然   0       r r 。 对于 矢 量 3 r r ，因 2 1 r Ar  ， A  0， A  0 ，同 理 获知 0 3         r r 。 1-15 若 C 为 常数 ， A 及 k 为 常 矢量 ， 试证 ：

① Veckr =Ckeckr;② V(Aeckr)=Ck·Aeckr;③ V×(Aer)=Ck×Aeckr证明①证明Veckr=Ckeckr。利用公式VF(@)=F(@)V@，则Veckr =eckrv(Ck·r)=Ceckrv(k·r)而 V(k.r)=v(k,x+k,y+kz)=e,k,+e,k,+ek,=k求得 Veckr =Ckeckr。②证明 V.(Aeckr)-Ck· Aekr 。利用公式V.(@A)=@V·A+A.VD，则V.(Aer)= A.v(ecr)+earV.A= A.(ecr)再利用①的结果，则.(Aekr)=Ck·Aer③证明 Vx(Aeckr)=Ckx Aeckr 。利用公式Vx(dA)=VΦxA+V×A，则Vx(Aea)-V(ea)xA+ek×A=V(ea)×AJVx(Aeckr)=CkxAeckr。再利用①的结果，则试证式中k为常数。1-16证明已知在球坐标系中1 (r2@)1%(sno0)1V@r?arlarrsin0l)sin0则()[([(-]

9 ① k r k r k     c c e C e ； ② k r k r A k A      c c ( e ) C e ； ③ k r k r A k A      c c ( e ) C e 。 证 明 ①证 明 k r k r k     C C e C e 。 利用 公 式 F F ，则  k r k r k r k r k r        C  C  C  e e C Ce 而 krkx xky ykz zex kx ey ky ez kz  k 求得 k r k r k     C C e C e 。 ②证 明   k r k r A k A      C C e C e 。 利用 公 式 AA A ，则       k r k r k r k r A A A A            C C C C e e e e 再利 用 ①的 结 果， 则   k r k r A k A      C C e C e ③证 明   k r k r A k A      C C e C e 。 利用 公 式 AAA ，则 A    A A   A k r k r k r k r          C  C  C  C  e e e e 再利 用 ①的 结 果， 则   k r k r A k A      C C e C e 。 1-16 试 证 r e k r e kr kr          2 2 ，式 中 k 为 常 数。 证 明 已知 在 球坐 标系 中 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1                                   r r r r r r 则                              r e r r r r r e kr kr 2 2 2 1                  kr kr e r k e r r r r 2 2 2 1 1

-(- )-[-(1- )+-一=k2e即1-17 试证 (V×E)×E=(E.V)E-Iv|EP证明利用公式V(A·B)=(A.V)B+(B.V)A+Ax(V×B)+B×x(V×A)令上式中的A=B=E，则VE=2(E·V)E+2E×(V×E)=2(E·V)E-2(V×E)×E将上式整理后，即得(V×E)xE=(E-V)E->E)。1-18已知失量场F的散度V.F=q(r)，旋度VxF=0，试求该失量场。解根据亥姆霍兹定理，F(r)=-Vd(r)+VxA(r)，其中Fav;Ao)=xFavd(r)=4元Jr-r4元Jr-rl当×F=0时，则A(r)=0，即F(r)=-Vd(r)。那么因V.F=qo(r)，求得d)=d=4元J-4m则qF(r)=-Vd(r)=4元1-19已知某点在圆柱坐标系中的位置为4,试元，3／3求该点在相应的直角坐标系及圆球坐标系中的位置。解已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换关系为10

10   kr kr e kre r r        2 1        kr kr k e kr k e r     1   1 2 r e k kr  2 即 r e k r e kr kr          2 2 1-17 试 证 2 | | 2 1 (E)E  (E)E   E 证 明 利用 公 式 ABABBAABBA 令上 式 中的 AB E ， 则  E  2EE  2EE  2EE  2EE 2 将上 式 整理 后 ，即 得     2 2 1 E E  E E E 。 1-18 已知 矢 量 场 F 的 散度 F  q(r) ， 旋度 F  0， 试求 该 矢量 场 。 解 根据 亥 姆霍 兹 定理 ， FrΦrAr ，其 中     Φ V V         d 4 1 r r F r r  ；     V V         d 4 1 r r F r A r  当 F  0 时，则 Ar  0 ， 即 Fr Φr 。那么因 F qr ，求 得     r q V q Φ V    4 d 4 1         r r r r 则     r r q F r Φ r e 2 4    1-19 已 知 某 点 在 圆 柱 坐 标 系 中 的 位 置 为       , 3 3 2 4,  ， 试 求该 点 在相 应 的直 角坐 标 系及 圆 球坐 标系 中 的位 置 。 解 已知直角坐标系和圆柱坐标系坐标变量之间的转换 关系 为