11.2基本迭代学习控制算法 Arimoto等首先给出了线性时变连续系统的D型迭代学习控制 律[24] ug(t)=u(t)+Ter(t) (11.6) 式中，「为常数增益矩阵。在D型算法的基础上，相继出现了P型、 PI型、PD型迭代学习控制律。从一般意义来看它们都是PD型迭 代学习控制律的特殊形式，PID迭代学习控制律表示为 un()=u,0+「e,(④)+De,(0+Ψe(rHr (11.7) 式中，「、Φ、平为学习增益矩阵。算法中的误差信息使用称为开 环迭代学习控制，如果使用则称为闭环迭代学习控制，如果同时 使用和则称为开闭环迭代学习控制
11.2 基本迭代学习控制算法 Arimoto 等首先给出了线性时变连续系统的D型迭代学习控制 律[24] (11.6) 式中， 为常数增益矩阵。在D 型算法的基础上，相继出现了P 型、 PI 型、PD 型迭代学习控制律。从一般意义来看它们都是PID型迭 代学习控制律的特殊形式，PID迭代学习控制律表示为 (11.7) 式中, 、 、 为学习增益矩阵。算法中的误差信息使用称为开 环迭代学习控制，如果使用 则称为闭环迭代学习控制，如果同时 使用和则称为开闭环迭代学习控制。 1( ) ( ) ( ) k k k t t t u u Γe Γ 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )d t k k k k k t t t t 0 u u Γe Φe Ψ e Γ Φ Ψ
此外，还有高阶迭代学习控制算法、最优迭代学习控制算 法、遗忘因子迭代学习控制算法和反馈-前馈迭代学习控制算法 等。 11.3迭代学习控制的关键技术 11.3.1学习算法的稳定性和收敛性 稳定性与收敛性问题是研究当学习律与被控系统满足什么 条件时，迭代学习控制过程才是稳定收敛的。算法的稳定性保 证了随着学习次数的增加，控制系统不发散，但是，对于学习 控制系统而言，仅仅稳定是没有实际意义的，只有使学习过程 收敛到真值，才能保证得到的控制为某种意义下最优的控制。 收敛是对学习控制的最基本的要求，多数学者在提出新的学习 律的同时，基于被控对象的一些假设，给出了收敛的条件。例 如，Arimoto在最初提出PID型学习控制律时，仅针对线性系统 在D型学习律下的稳定性和收敛条件作了证明
此外，还有高阶迭代学习控制算法、最优迭代学习控制算 法、遗忘因子迭代学习控制算法和反馈-前馈迭代学习控制算法 等。 11.3 迭代学习控制的关键技术 11.3.1 学习算法的稳定性和收敛性 稳定性与收敛性问题是研究当学习律与被控系统满足什么 条件时，迭代学习控制过程才是稳定收敛的。算法的稳定性保 证了随着学习次数的增加，控制系统不发散，但是，对于学习 控制系统而言，仅仅稳定是没有实际意义的，只有使学习过程 收敛到真值，才能保证得到的控制为某种意义下最优的控制。 收敛是对学习控制的最基本的要求，多数学者在提出新的学习 律的同时，基于被控对象的一些假设，给出了收敛的条件。例 如，Arimoto在最初提出PID型学习控制律时，仅针对线性系统 在D型学习律下的稳定性和收敛条件作了证明
11.3.2初始值问题 运用迭代学习控制技术设计控制器时，只需要通过重复操 作获得的受控对象的误差或误差导数信号。在这种控制技术中， 迭代学习总要从某初始点开始，初始点指初始状态或初始输出。 几乎所有的收敛性证明都要求初始条件是相同的，解决迭代学 习控制理论中的初始条件问题一直是人们追求的目标之一。目 前已提出的迭代学习控制算法大多数要求被控系统每次运行时 的初始状态在期望轨迹对应的初始状态上，即满足初始条件： x(0)=x(0),k=0,12,… (11.8)
11.3.2 初始值问题 运用迭代学习控制技术设计控制器时，只需要通过重复操 作获得的受控对象的误差或误差导数信号。在这种控制技术中， 迭代学习总要从某初始点开始，初始点指初始状态或初始输出。 几乎所有的收敛性证明都要求初始条件是相同的，解决迭代学 习控制理论中的初始条件问题一直是人们追求的目标之一。目 前已提出的迭代学习控制算法大多数要求被控系统每次运行时 的初始状态在期望轨迹对应的初始状态上，即满足初始条件： （11.8） d (0) (0), 0,1,2, k x x k …
当系统的初始状态不在期望轨迹上，而在期望轨迹的某 一很小的邻域内时，通常把这类问题归结为学习控制的鲁棒 性问题研究。 11.3.4鲁棒性问题 迭代学习控制理论的提出有浓厚的工程背景，因此仅 仅在无干扰条件下讨论收敛性问题是不够的，还应讨论存在 各种干扰的情形下系统的跟踪性能。一个实际运行的迭代学 习控制系统除了存在初始偏移外，还或多或少存在状态扰动、 测量噪声、输入扰动等各种干扰。鲁棒性问题讨论存在各种 干扰时迭代学习控制系统的跟踪性能。具体地说，一个迭代 学习控制系统是鲁棒的，是指系统在各种有界干扰的影响下， 其迭代轨迹能收敛到期望轨迹的邻域内，而当这些干扰消除 时，迭代轨迹会收敛到期望轨迹
当系统的初始状态不在期望轨迹上，而在期望轨迹的某 一很小的邻域内时，通常把这类问题归结为学习控制的鲁棒 性问题研究。 11.3.4 鲁棒性问题 迭代学习控制理论的提出有浓厚的工程背景，因此仅 仅在无干扰条件下讨论收敛性问题是不够的，还应讨论存在 各种干扰的情形下系统的跟踪性能。一个实际运行的迭代学 习控制系统除了存在初始偏移外，还或多或少存在状态扰动、 测量噪声、输入扰动等各种干扰。鲁棒性问题讨论存在各种 干扰时迭代学习控制系统的跟踪性能。具体地说，一个迭代 学习控制系统是鲁棒的，是指系统在各种有界干扰的影响下， 其迭代轨迹能收敛到期望轨迹的邻域内，而当这些干扰消除 时，迭代轨迹会收敛到期望轨迹
11.4机械手轨迹跟踪迭代学习控制仿真实例 11.4.1控制器设计 考虑一个关节的机器人，其动态性能可以由以下二阶非线性 微分方程描述： D(q)q+C(q.qq+G(q)=t-td (11.9) 式中：q∈R"为关节角位移量，D(q)eR为机器人的惯性矩阵，C(q,)∈R 表示离心力和哥氏力，G(q)eR"为重力项，t∈R"为控制力矩，ta∈R"为 各种误差和扰动。 设系统所要跟踪的期望轨迹为yd),t∈[0，t]。系统第次输出 为y,()）令e,()=ya()-y,()
11.4 机械手轨迹跟踪迭代学习控制仿真实例 11.4.1控制器设计 考虑一个关节的机器人，其动态性能可以由以下二阶非线性 微分方程描述： （11.9） 式中： 为关节角位移量， 为机器人的惯性矩阵， 表示离心力和哥氏力， 为重力项， 为控制力矩， 为 各种误差和扰动。 设系统所要跟踪的期望轨迹为 ， 。系统第次输出 为 令 。 d D q q C q,q q G q τ τ n q R nn D q R , n C q q R n G q R n τ R d n τ R yd t t 0,T yi t ei t yd t yi t