(数学模型 §2、人口模型 设t时刻人口数为x(t),经过M时间后,人数变为 x(t)+△x,则从时刻到t+△时刻的平均增长速度为 △ 相对增长率为 △x x() △t △x t时刻的相对增长率:r(t)=Iim x'(t) △r>0△t·x()x(t)
11 §2 、人口模型
(数学模型 Malthus模型 基本假设:人口的相对增长率为常数r r=B-D x(0)=x B: Birth rate D: Death rate 人口函数 °x=Xae Malthus模型特点:在有限的时间内,在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的;但是,由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害,以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况 12
12 基本假设: 人口的相对增长率为常数 r. 0 (0) x rx x x r B D B：Birth rate D：Death rate 人口函数： 0 r t x x e Malthus模型 Malthus模型特点: 在有限的时间内, 在生存空间和食物供应充足 的环境下, Malthus人口模型是比较准确的; 但是, 由于生存空间 有限、食物短缺、战争、疾病、自然灾害, 以及人为控制人口增 长等等原因, Malthus人口模型不能准确地反映出人口的实际增 长情况
(数学模型 Logistic阻滞增长模型 基本假设:人口的相对增长率随着人口数量的增加而 减少,当人数超过某饱和值N后,相对增长率为负 x=rx(1---) A.直接法分析平衡点 令=∫(x)=n(1-)=0→x=0,x=N 当r>0时,f(0)>0,f(N)<0 故x=0是不稳定平衡点,x=N是稳定平衡点 13
13 Logistic阻滞增长模型 基本假设: 人口的相对增长率随着人口数量的增加而 减少, 当人数超过某饱和值 N 后, 相对增长率为负. (1 ) x x rx N ( ) (1 ) 0 x x f x rx N 令 x 0, x N 当r 0 时, f (0) 0, f (N ) 0 故x=0是不稳定平衡点, x=N是稳定平衡点. A. 直接法分析平衡点
(数学模型 B.间接法分析平衡点 rx(1-) d t x(t)= x(0)=x0 1+(-1)e imx()=N,故N是稳定平衡点
14 0 (1 ) (0) dx x rx dt N x x 0 ( ) 1 ( 1) r t N x t N e x lim ( ) , t x t N B. 间接法分析平衡点 故N是稳定平衡点
(数学模型 §3、捕鱼模型 记t时刻渔场中的鱼量为x(t),并假设: (i)在无捕捞条件下x(t)的增长服从 Logistic规律, x(t)=∫(x)=r(1-) 其中r为固有增长率,N为环境允许的最大鱼量 i)单位时间的捕捞量(x)与渔场鱼量成正比,比例系 数为E(捕捞强度),即,l(x)=Eκ x()=f(x)-h(x)=r(1-x)-Ex=F(x) N 15
15 §3 、捕鱼模型 ( ) ( ) (1 ) N x x t f x rx x(t) f (x) h(x) (1 ) x rx Ex N F(x)